Мы видим, что любой процесс измерения должен удовлетворять следующим трем требованиям: 1) он должен включать в себя взаимодействие между объектом и измерительным прибором, 2) после своего завершения он должен приводить систему «объект + измерительный прибор» в конечное состояние, в котором имеется взаимно-однозначное соответствие между значениями измеряемой величины и состояниями измерительного прибора, 3) он должен давать возможность наблюдателю определить путем макроскопической констатации конечное состояние измерительного прибора.

Типичным измерением такого вида является проанализированное фон Нейманом измерение магнитного момента атома методом Штерна и Герлаха. При таком методе магнитный момент определяется по отклонению атома в неоднородном магнитном поле. Определяется проекция магнитного момента атома на направление магнитного поля. Координаты \( y \) положения центра тяжести атома будут играть здесь роль положения стрелки прибора, если эти

непривычные для старых физиков и столь трудно поддающиеся точному определению из-за своего слишком «философского» внешнего вида, неизбежно возникают, как только мы принимаем, что знанием волны \( \psi \), ценность которой как инструмента статистических предсказаний неоспорима, исчерпывается все то, что мы можем знать о физической реальности и что все распределения вероятностей, которые вычисляются на основе \( \psi \) в соответствии с общими принципами, связанными с вероятностной интерпретацией волновой механики, потенциально существуют в состоянии, определяемом волновой функцией \( \psi \). В результате возникает теория, все наблюдаемые предсказания которой при нынешнем уровне наших знаний представляются строго и точно выполняющимися и которая позволяет ответить на все вопросы физика. Но, сводя описание реальности к величине \( \psi \), являющейся лишь формой представления вероятностей, изменяющихся в зависимости от состояния знаний исследователя, работающего с ней, мы с неизбежностью приходим к «субъективистской» интерпретации, которая с большей или меньшей степенью явности отвергает объективность физического мира, достойным сожаления образом поддается «философскому» пустословию и вынуждает видеть в согласии наблюдений разных наблюдателей некую «предустановленную гармонию», причина которой остается загадочной.

Некоторые ученые и, в частности, Эйнштейн отказываются рассматривать принятую интерпретацию квантовой физики как окончательную. Приводя доводы, нередко заставляющие задуматься, Эйнштейн доказывал, что, хотя метод, основанный на функции \( \psi \), носящей статистический характер, и приводит к несомненно точным результатам, тем не менее он дает не полное описание физической реальности, а лишь статистический ее аспект, который пока еще далеко не точен. Более полное описание того типа, к которому стремился Эйнштейн, возможно, даст теория волны-пилота (в форме двойного решения), вернув тем самым квантовую физику к более объективным и более точным понятиям. Будущее покажет, так ли это. – Л.Б.

координаты можно будет определить путем макроскопического наблюдения \( { }^{11} \).
Внутренние координаты атома – это координаты \( x \) объекта. Проекция магнитного момента атома на направление магнитного поля характеризуется оператором \( M\left(x, p_{x}\right) \). Волновое уравнение в рассматриваемом случае имеет следующий вид:
\[
\left\{-\frac{h^{2}}{8 \pi^{2} m} \Delta_{y}+H_{0}\left(x, p_{x}\right)+\left(M\left(x, p_{x}\right), F(y)\right)\right\} \psi(x, y, t)=\frac{h \partial \psi}{2 \pi i \partial t} .
\]

Здесь \( H_{0} \) – гамильтониан атома в отсутствие поля после отделения переменных центра тяжести; оператор \( \left(-h^{2} / 8 \pi^{2} m\right) \Delta_{y} \) соответствует кинетической энергии центра тяжести, \( (M, F) \) – энергия взаимодействия магнитного поля с магнитным моментом атома. Так как магнитное поле \( F \) постоянно, т.е. не зависит от \( y \), движение центра тяжести отделяется от внутреннего состояния объекта и последнее характеризуется уравнением на собственные значения
\[
\left\{H_{0}+(M, F)\right\} u_{k}(x)=E_{k} u_{k}(x) .
\]

Предположим, что атом находится в состоянии с минимальной энергией. Если это состояние вырождено, то, согласно квантовой теории эффекта Зеемана,
\[
E_{k}=E_{0}+(k \mu / j) F,
\]

где \( E_{0} \) – энергия основного состояния в отсутствие поля, \( \mu \) – магнитный момент атома, \( j \) – полный угловой момент атома (включая спин) в единицах \( h / 2 \pi \), а \( k \) – магнитное квантовое число, которое может принимать значения \( -j,-j+1, \ldots,+j-1,+j \).
Если магнитное поле \( F \) не постоянно, то собственные значения имеют вид
\[
E_{k}(y)=E_{0}+\frac{k \mu}{j} F(y) .
\]

Они зависят от локального значения \( F \), и то же самое можно сказать о соответствующих собственных функциях \( u_{k}(x, y) \). Но на практике возмущение функций \( u_{k} \) локальными изменениями магнитного поля является настолько слабым, что их можно оставить в виде \( u_{k}(x) \).
Волновую функцию, рассматриваемую как функция координаты \( x \), можно
1)Как нетрудно видеть, Луи де Бройль еще сохраняет традиционный способ выражения, который несколько лет спустя сам будет критиковать: все время упоминается измерительный прибор, обо всем говорится в форме достаточно расплывчатой и искусственной, поскольку слишком большое внимание уделяется акту регистрации. Между тем позднее он сам показал, что наиболее существенным актом в процессе измерения физической величины, действительно вносящим возмущение в систему, является подготовка, состоящая в разделении начальной волны на отдельные волновые пакеты при помощи анализатора, выбранного соответственно измеряемой величине. Измерение в собственном смысле этого слова сводится тогда к констатации наличия частицы в одном из пакетов волн, выходящих из анализатора. – Ж.Л.

Волновую функцию, рассматриваемую как функция координаты \( x \), можно разложить в ряд по \( u_{k}(x) \), так что
\[
\psi(x, y, z)=\sum_{k} v_{k}(y, t) u_{k}(x) .
\]

Подставляя это разложение в волновое уравнение, с учетом равенства \( \left(H_{0}+(M, F)\right) u_{k}=E_{k} u_{k} \) находим
\[
\left\{-\frac{h^{2}}{8 \pi^{2} m} \Delta_{y}+E_{k}(y)\right\} v_{k}(y, t)=\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial v_{k}(y, t)}{\partial t} .
\]

Это – волновое уравнение, описывающее движение только центра тяжести, причем \( E_{k}(y) \) в нем играјет роль потенциала. Из выражения для \( E_{k}(y) \) можно видеть, что при каждом значении \( k \) будет свое отклонение электронного пучка; он может отклоняться либо в направлении магнитного поля, ‘либо в противоположном направлении в зависимости от знака \( k \). Отклонение может также равняться нулю, если для \( k \) возможно нулевое значение ( \( j \) – целое). Если, например (при \( j=1 \) ), квантовое число \( k \) может принимать значения \( -1,0,+1 \), то начальный пучок атомов делится на три пучка в соответствии со схемой, изображенной на рис. 14.

Пусть \( v_{0}(y) \) – волновая функция, характеризующая движение центра тяжести атома перед измерением, а \( \sum_{k} C_{k} u_{k}(x) \) – внутренняя волновая функция атома \( \left(\sum_{k}\left|C_{k}\right|^{2}=1\right. \) ). Тоѓда начальная волновая функция \( \psi \) для атома перед вхождением в зону действия магнитного поля будет иметь вид
\[
\psi(x, y)=v_{0}(y) \sum_{k} C_{k} u_{k}(x) .
\]

Мы только что видели, что если начальная волновая функция \( \psi \) дается выражением \( v_{0}(y) u_{k}(x) \), то эволюция функции \( v_{k}(y, t) \) относительно начального вида \( v_{0}(y) \) во время процесса измерения определяется индексом \( k \). В силу линейности волнового уравнения волновая функция системы, имевшая начальный вид \( v_{0}(y) \sum_{k} C_{k} u_{k}(x) \), будет иметь конечный вид
\( \Psi(x, y)=\sum_{k} C_{k} v_{k}(y) u_{k}(x) \),
так что будет существовать взаимно однозначное соответствие между значениями величины \( M \) и конечным движением центра тяжести атома.

Но мы видели, что, выходя из зоны действия поля, центр тяжести атома оказывается в разных областях пространства при разных значениях индекса \( k \). Поэтому путем макроскопической констатации можно будет установить, какое значение индекса \( k \) реализуется для центра тяжести атома, и тем самым определить его магнитный момент. Предположим, например, что \( k=0 \) или \( k= \pm 1 \). Тогда у нас будут три возможных направления движения для атома, выходящего из магнитного поля. Если установить экран перпендикулярно начальному пучку атомов и проделать в экране три отверстия, соответствующиє трем возможным отклонениям атомов, то, поместив за каждым из отверстий устройство, которое могло бы срабатывать при попадании в него атома (например, счетчик электрических зарядов, если атомы заряжены), мы можем макроскопическим путем констатировать, какое из них срабатывает, и на
Рис. 14

этом основании установить, какое из трех значений \( k \) оказывается реализованным на выходе из магнитного поля, а тем самым определить значение магнитного момента, которое атом будет иметь после измерения. Разумеется, можно заменить счетчики одной фотопластинкой, наложенной на экран, поскольку всякую чувствительную область фотопластинки можно рассматривать как некий счетчик, допускающий макроскопическую констатацию.

Рассматривая по-прежнему случай трех возможных значений 0 и \( \pm 1 \) для числа \( k \), мы можем сказать, что перед измерением козффициенты волновой функции полной системы \( x+y \) имеют вид ( \( k \) – индекс столбцов, а \( \rho \) – строк матрицы)
\[
C_{k \rho}=C_{k} \delta_{\rho 0}=\left\|\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
C_{-1} & C_{0} & C_{1} \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right\|\left(\Psi=\sum_{k} C_{k} v_{0} u_{k}\right),
\]

а после измерения мы имеем
\[
C_{k \rho}^{\prime}=C_{k} \delta_{k \rho}=\left\|\begin{array}{ccc}
C_{-1} & 0 & 0 \\
0 & C_{0} & 0 \\
0 & 0 & C_{1}
\end{array}\right\|\left(\Psi=\sum_{k} C_{k} v_{k} u_{k}\right) .
\]

Перед измерением статистические матрицы \( P_{\mathrm{I}} \) и \( P_{\mathrm{II}} \) соответствуют чистым состояниям и имеют вид
\( \left(P_{\mathrm{I}}\right)_{l k}=\sum_{\rho} C_{l \rho} C_{k \rho}^{*} ; \quad\left(P_{\mathrm{II}}\right)_{\rho \sigma}=\sum_{k} C_{k \sigma} C_{k \rho}^{*} \), а именно:
\[
P_{\mathrm{I}}=\left\|\begin{array}{ccc}
C_{-1} C_{-1}^{*} & C_{-1} C_{0}^{*} & C_{-1} C_{1}^{*} \\
C_{0} C_{-1}^{*} & C_{0} C_{0}^{*} & C_{0} C_{1}^{*} \\
C_{1} C_{-1}^{*} & C_{1} C_{0}^{*} & C_{1} C_{1}^{*}
\end{array}\right\|, \quad P_{\mathrm{II}}=\left\|\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right\| .
\]

После прохождения атома через неоднородное магнитное поле они принимают вид
\[
P_{\mathrm{I}}=\left\|\begin{array}{ccc}
\left|C_{-1}\right|^{2} & 0 & 0 \\
0 & \left|C_{0}\right|^{2} & 0 \\
0 & 0 & \left|C_{1}\right|^{2}
\end{array}\right\|, P_{\mathrm{II}}=\left\|\left\lvert\, \begin{array}{ccc}
\left|C_{-1}\right|^{2} & 0 & 0 \\
0 & \left|C_{0}\right|^{2} & 0 \\
0 & 0 & \left|C_{1}\right|^{2}
\end{array}\right.\right\|=P_{\mathrm{I}} \text {, }
\]

что ясно показывает наличие взаимно однозначного соответствия между \( u_{k} \) и \( v_{k} \), установившегося в результате взаимодействия между \( x \) и \( y \).

В связи с рассмотренным примером можно сделать следующее интересное замечание. Если пропустить через магнитное поле в установке типа Штерна Герлаха не один атом, а пучок одинаковых атомов, то мы получим за каждым из отверстий в экране пучок атомов, имеющих одинаковую ориентацию магнитного момента. Таким образом, подобная установка дает возможность формировать чистые состояния для составляющей магнитного момента в направлении поля, причем здесь не требуется какой-либо констатации наблюдателем. В этом можно увидеть противоречие тому, что говорилось выше о важном значении констатации, осуществляемой наблюдателем. Но нужно учитывать, что здесь нет речи о том, чтобы приписать некое значение магнитного момента некоему определенному атому, т.е. здесь не производится «измерение» магнитного момента атома. Речь идет о том, чтобы получить пучок атомов с одинаковой магнитной ориентацией: магнит типа Штерна – Герлаха, играя роль фильтра, дает чистые состояния в «анонимной» форме, тогда как любое измерение физической величины, характеризующей определенный объект, требует макроскопической констатации.