Арнус обратил внимание на то, что распределение вероятностей, соответствующее физической величине \( \boldsymbol{A} \) для состояния системы, описываемого волновой функцией \( \psi(q, t) \) (где через \( q \) обозначена совокупность переменных, характеризующих систему и изменяюшихся в области \( D \) ), можно найти, если известна характеристическая функция
\( \varphi(u)=\int_{D} \psi^{*}(q, t) e^{i u A} \psi(q, t) d \tau \),
где \( e^{\text {іиA }} \) — оператор, который определяется формулой
\[
e^{i u A}=1+i u A+\frac{(i u)^{2}}{2} A^{2}+\ldots+\frac{(i u)^{n}}{n !} A^{n}+\ldots
\]

В самом деле, рассмотрим случай дискретного спектра, когда \( A \) имеет собственные значения \( \alpha_{k} \) и собственные функции \( \varphi_{k} \) и \( \psi=\sum_{k} c_{k} \varphi_{k} \). Имеем
\[
\varphi(u)=\int_{D} \sum_{k} c_{k}^{*} \varphi_{k}^{*} e^{i u A} \sum_{j} c_{j} \varphi_{j} d \tau=\sum_{j, k} c_{k}^{*} c_{j} \int_{D} \varphi_{k}^{*} e^{i u A} \varphi_{j} d \tau .
\]
Но поскольку
\[
\begin{aligned}
e^{i u A} \varphi_{j}=\left(1+i u A+\frac{(i u)^{2}}{2}\right. & \left.A^{2}+\ldots\right) \varphi_{j}= \\
& =\left(1+i u \alpha_{j}+\frac{(i u)^{2}}{2} \alpha_{j}^{2}+\ldots\right) \varphi_{j}=e^{i u \alpha_{j}} \varphi_{j}
\end{aligned}
\]

мы получаем
\[
\begin{array}{l}
\varphi(u)=\sum_{j, k} c_{k}^{*} c_{j} e^{i u \alpha_{j}} \int_{D} \varphi_{k}^{*} \varphi_{j} d \tau=\sum_{j, k} c_{k}^{*} c_{j} e^{i u \alpha_{j}} \delta_{j k}, \\
\varphi(u)=\sum_{k}\left|c_{k}\right|^{2} e^{i u \alpha_{k}}=\overline{e^{i u \alpha}} .
\end{array}
\]

Это вполне соответствует определению характеристической функции, которая представляет собой среднее значение величины ехр (iu \( \alpha \) ).
В случае непрерывного спектра получим
\[
\varphi(u)=\int|c(\alpha)|^{2} e^{i u \alpha} d \alpha=\overline{e^{j u \alpha}}
\]
(доказательство этой формулы основывается на использовании собственных дифференциалов).

Можно считать, что введение характеристической функции, дающей возможность одновременно определять как собственные значения величины \( A \), так и соответствующие им вероятности, эквивалентно двум фундаментальным принципам — принципу квантования и принципу спектрального разложения \( { }^{1)} \).

Арнус предложил простой способ вычисления характеристической функции \( \varphi(u) \). Рассмотрим уравнение
\[
\frac{1}{i} \frac{\partial \chi}{\partial u}=A \chi
\]

характеризующее зависимость от \( u \) функции \( \chi(q, u) \) координат \( q \) и переменной \( u \). Если \( \chi(q, 0 \) ) есть значение величины \( \chi \) при \( u=0 \), то (поскольку \( A \) не зависит от \( u \) ) имеем
\[
\chi(q, u)=e^{i u A} \chi(q, 0) .
\]
1) В добавленном позднее замечании о приведенных в тексте вычислениях автор показывает, что определения Арнуса остаются справедливыми и в случае оператора \( A \), зависящего от времени, но при условии, что он не действует на временну́ переменную \( t \). — Л.
В самом деле, как нетрудно убедиться, функция \( \chi(q, u) \) удовлетворяет уравнению (8) и к тому же при \( u=0 \) мы получаем начальное выражение \( \chi(q, 0) \). Предположим теперь, что начальное выражение \( \chi(q, 0) \) совпадает с волновой функцией \( \psi \) системы в интересующий нас момент времени \( t \), т. е. положим \( \chi(q, 0)=\psi(q, t) \). В результате получим \( \chi(q, u)=\exp (i u A) \psi(q, t) \) и
\[
\varphi(u)=\int_{D} \psi^{*}(q, t) e^{i u A} \psi(q, t) d \tau=\int_{D} \chi^{*}(q, 0) \chi(q, u) d \tau .
\]

Если воспользоваться терминологией теории гильбертовых пространств, то можно сказать, что \( \varphi(u) \) есть скалярное произведение вектора \( \chi(q, 0) \) на вектор \( \chi(q, u) \). Поэтому самый простой способ найти характеристическую функцию — написать уравнение \( \partial \chi / i \partial u=A \chi \), найти его решение, которое сводилось бы к \( \psi \) при \( u=0 \), а затем вычислить скалярное произведение:
\[
\varphi(u)=\int_{D} \chi^{*}(q, 0) \chi(q, u) d \tau .
\]

Если \( \chi(q, u) \) можно разложить по полной системе собственных ортонормированных функций в виде \( \chi(q, u)=\sum_{m} c_{m}(u) \varphi_{m}(q) \), то будем иметь
\[
\varphi(u)=\sum_{m} c_{m}^{*}(0) c_{m}(u) .
\]

Примеры
1. Энергия
Если наблюдаемой \( A \) является энергия, то \( A=H \) и
\[
\varphi(u)=\int_{D} \psi^{*} e^{i u H} \psi d \tau
\]

В случае когда \( H \) не зависит от времени, уравнение \( (1 / i)(\partial \chi / \partial u)=H \chi \) сводится к волновому уравнению, если только положить \( u=(2 \pi / h) t \), а поэтому \( \chi \) можно отождествить с \( \psi \). Тогда
\[
\psi(q, t)=e^{(2 \pi i / h) H t} \psi(q, 0), \chi(q, u)=e^{i u H} \chi(q, 0)=e^{i u H} \psi(q, 0)
\]

и, следовательно,
\( \varphi(u)=\int_{D} \psi^{*}(q, 0) e^{j u H} \psi(q, 0) d \tau \).
Если возможно разложение
\[
\psi(q, 0)=\sum_{n} c_{n} \psi_{n}(q),
\]
где \( \psi_{n} \) — собственные функции оператора \( H \), то получим
\[
\begin{array}{l}
\varphi(u)=\sum_{m, n} c_{m}^{*} c_{n} \int_{D} \psi_{m}^{*} e^{i u H} \psi_{n} d \tau=\sum_{m, n} c_{m}^{*} c_{n} e^{j u E_{n}} \int_{D} \psi_{m}^{*} \psi_{n} d \tau= \\
=\sum_{n}\left|c_{n}\right|^{2} e^{i u E_{n}}=e^{i u E} .
\end{array}
\]
2. Составляющая импульса

Пусть, например, \( A=-(h / 2 \pi i)(\partial / \partial x) \). Если положить \( s=h u / 2 \pi \), то уравнение \( \partial \chi / i \partial u=A \chi \) примет вид
\[
\frac{\partial \chi}{\partial s}=-\frac{\partial \chi}{\partial x}, \text { откуда } \chi(x, s)=\chi(x-s) \text {. }
\]

Полагая \( \chi(x, 0)=\psi(x, t) \), получаем
\[
\varphi(u)=\int_{D} \psi^{*}(x, t) \psi(x-s, t) d \tau .
\]

Оператор \( \exp ( \) іи \( A \) ), примененный к какой-либо функции \( f(x) \), дает
\[
\begin{aligned}
\exp (i u A) f(x)=\exp \left(-s \frac{\partial}{\partial x}\right) f(x) & =\left(1-s \frac{\partial}{\partial x}+\frac{s^{2}}{2} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\cdots\right. \\
& \left.+(-1)^{n} \frac{s^{n}}{n !} \frac{\partial^{n}}{\partial x^{n}}+\ldots\right) f(x)=f(x-s)
\end{aligned}
\]

в силу формулы Маклорена.
Таким образом, оператор \( \exp \) (iиA) есть оператор смещения, и это указывает на связь операторов, соответствующих компонентам импульса, с группой трансляций.
3. Составляющая \( M_{z} \) углового момента

В сферической системе координат \( r, \theta, \varphi \) с углами \( \theta \) и \( \varphi \), отсчитываемыми относительно оси \( O z \), имеем
\[
A=-\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial \varphi} \text {. }
\]

Положив \( s=h u / 2 \pi \), из уравнения \( \partial \chi / i \partial u=A \chi \). получим равенство \( \partial \chi / \partial s=-\partial \chi / \partial \varphi \), откуда следует, что \( \chi(\varphi, s)=\chi(\varphi-s) \). Если \( \chi(\varphi, 0)=\psi(\varphi, t) \), тo
\[
\varphi(u)=\int_{D} \psi^{*}(\varphi, t) \psi(\varphi-s, t) d \tau .
\]
8-782
В результате действия оператора \( \exp ( \) іи \( A) \) на некую функцию \( f(\varphi) \) получим \( \exp (i u A) f(\varphi)=\exp \left(-s \frac{\partial}{\partial \varphi}\right) f(\varphi)=f(\varphi-s) \)

Таким образом, он представляет собой оператор вращения вокруг оси \( O z \), и мы видим связь между оператором, отвечающим одной из компонент углового момента, и группой вращений вокруг соответствующей оси.
4. Onepamop \( p_{x}^{2} \)

Если \( A=\left(h^{2} / 4 \pi^{2}\right)\left(\partial^{2} / \partial x^{2}\right) \), то, положив \( s=2 \pi u / h \), уравнение \( \partial \chi / i \partial u=A \chi \) можно записать в виде
\[
\frac{\partial \chi}{\partial s}=-\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial^{2} \chi}{\partial x^{2}},
\]
т. е. в виде уравнения теплопроводности с мнимым коэффициентом теплопроводности.

Решение, которое при \( s=0 \) совпадает с функцией \( \psi(x, t) \), было найдено еще Фурье и имеет вид
\[
\chi(x, s)=\int_{-\infty}^{\infty} \psi(x-v, t) \frac{\exp \left(-\pi h v^{2} / 2 i s\right)}{\sqrt{2 i s / h}} d v,
\]

откуда
\[
\varphi(u)=\int_{D} \psi(x, t) \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x-v, t) \frac{\exp \left(-h^{2} v^{2} / 4 i u\right)}{\sqrt{(4 \pi i / h) u}} d v d \tau
\]

Такая же формула справедлива и для оператора \( M_{z}^{2} \), если только \( x \) заменить величиной \( \varphi \).
Частица Дарвина
Арнус привел интересные примеры применения своего общего метода. В частности, он рассмотрел случай частицы Дарвина. Приведем некоторые из этих результатов, ограничиваясь случаем одного измерения \( x \).

Частица Дарвина — это свободная частица, для которой волна \( \psi \) является решением уравнения
\[
\frac{h \partial \psi}{2 \pi i}=-\frac{h^{2}}{8 \pi^{2} m}-\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}} \text { (одно измерение), }
\]
причем начальное выражение для \( \psi \) (в момент времени \( t=0 \) ) имеет вид
\[
\psi(x, 0)=\left(\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\right)^{1 / 2} \exp \left(-\frac{x^{2}}{4 \sigma^{2}}\right) \exp \left(-\frac{2 \pi i}{h} m v_{x} x\right) .
\]

Положив \( a=h / 4 \pi m \sigma^{2} \), для момента \( t \) получим
\[
\begin{array}{l}
\psi(x, t)=\left[\sigma \sqrt{2 \pi}\left(1+a^{2} t^{2}\right)\right]^{-1 / 2} \times \\
\times \exp \left(-\frac{1}{4 \sigma^{2}} \frac{\left(x-v_{x} t\right)^{2}}{1+a^{2} t^{2}}\right) \exp \left[\frac{\pi i m}{h t}\left(\frac{\left(x-v_{x} t\right)^{2}}{1+a^{2} t^{2}}-x^{2}\right)\right] .
\end{array}
\]

В таком случае плотность вероятности присутствия соответствует распределению Гаусса (функция \( \psi \) и была выбрана так, чтобы выполнялось это условие):
\[
\rho(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi} \sqrt{1+a^{2} t^{2}}} \exp \left(-\frac{1}{2 \sigma^{2}} \frac{\left(x-v_{x} t\right)^{2}}{1+a^{2} t^{2}}\right) .
\]

Это — распределение Гаусса, средняя точка \( x=v_{x} t \) которого равномерно перемещается со временем. Соответствующая дисперсия имеет вид
\[
\sigma_{x}=\sigma \sqrt{1+a^{2} t^{2}} .
\]

C течением времени она возрастает, т. е. волновой пакет расплывается.
Интересным примером применения метода Арнуса может служить вычисление распределения вероятностей для величины \( p_{x} \). В этом случае характеристическая функция имеет вид (см. с. 225)
\[
\varphi(u)=\int_{D} \psi^{*}(x, t) \psi(x-s, t) d x, \text { где } s=(h / 2 \pi) u .
\]

Но поскольку здесь составляющая импульса \( p_{x} \) является полным интегралом, ее распределение вероятностей не зависит от времени (ибо в любой момент времени \( \overline{A^{n}}=\int_{D} \psi^{*} A^{n} \psi d \tau \) есть постоянная величина), как будет показано несколько ниже. В связи с этим можно написать
\[
\varphi(u)=\int_{D} \psi^{*}(x, 0) \psi(x-s, 0) d x
\]

что дает
\[
\varphi(u)=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}+\frac{s x}{2 \sigma^{2}}-\frac{s^{2}}{4 \sigma^{2}}+\frac{2 \pi}{h} m i v_{x} s\right) d x
\]

В результате интегрирования, сводящегося к известным формулам, легко получим
\( \varphi(u)=e^{-\frac{s^{2}}{8 \sigma^{2}} e^{\frac{2 \pi i}{h} m v_{x} s}}=e^{i u m v_{x}} e^{-\frac{h^{2} u^{2}}{32 \pi^{2} \sigma^{2}}} \).

Но это именно то, что мы должны получить (см. с. 197) для некой величины \( p_{x} \) с гауссовым распределением вероятностей:
\[
\varphi(u)=\exp \left(i u \bar{p}_{x}\right) \exp \left(-\sigma_{p_{x}}^{2} \frac{u^{2}}{2}\right) .
\]

Следовательно, величине \( p_{x} \) тоже соответствует гауссово распределение вероятностей со средним значением и дисперсией
\[
\bar{p}_{x}=m v_{x}, \sigma_{p_{x}}=h / 4 \pi \sigma .
\]

Поскольку в начальный момент времени \( \sigma_{x}=\sigma \), мы имеем \( \sigma_{x} \sigma_{p_{x}}=h / 4 \pi \). Таким образом, произведение дисперсий принимает минимальное возможное значение. Можно показать, что оно достижимо только в данном случае. С течени́ем времени же пакет расплывается и величина \( \sigma_{x} \) становится больше \( \sigma \), так что \( \sigma_{x} \cdot \sigma_{p_{x}}>h / 4 \pi \).