Арнус рассмотрел общие теоремы волновой механики с точки зрения использования введенной им характеристической функции. Рассмотрим несколько заимствованных у него примеров.
a) Интегралы движения (см. с. 84)
Согласно нашему определению, величина \( A \) есть интеграл движения, если все матричные элементы
\[
\alpha_{i j}=\int_{D} \psi_{i}^{*} A \psi_{j} d \tau
\]
не меняются с течением времени, причем для \( \boldsymbol{A} \) мы получили условие
\[
\frac{\partial A}{\partial t}+\frac{2 \pi i}{h}(A H-H A) \equiv 0 .
\]
Теперь мы покажем, что из этого определения вытекает независимость от времени распределения вероятностей величины \( A \). С этой целью прежде всего отметим, что если \( \psi \) есть некая линейная комбинация \( \sum_{i} c_{i} \psi_{i} \), то
\[
\hat{A}=\int_{D} \psi^{*} A \psi d \tau=\sum_{i, k} \hat{c_{i}} c_{k} \int_{D} \psi_{i}^{*} A \psi_{k} d \tau,
\]
так что если \( A \) – интеграл движения, то первый момент \( \overline{\boldsymbol{A}} \) распределения вероятностей случайной величины \( A \) не будет зависеть от времени.
В более общем случае если
\( \frac{\partial A^{k}}{\partial t}+\frac{2 \pi i}{h}\left(A^{k} H-H A^{k}\right) \equiv 0 \) при \( k=1, \ldots, n \),
то мы также имеем
\[
\frac{\partial A^{n+1}}{\partial t}+\frac{2 \pi i}{h}\left(A^{n+1} H-H A^{n+1}\right) \equiv 0 .
\]
В самом деле, умножив обе части слева \( n \)-го уравнения на \( A \), получим
\[
A \frac{\partial A^{n}}{\partial t}+\frac{2 \pi i}{h}\left(A^{n+1} H-A H A^{n}\right) \equiv 0 .
\]
Ho
\( A H=H A-\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial A}{\partial t} \),
откуда
\( A \frac{\partial A^{n}}{\partial t}=-\frac{2 \pi i}{h}\left(A^{n+1} H-H A^{n+1}\right)-\frac{\partial A}{\partial t} A^{n} \),
и, поскольку
\( \frac{\partial}{\partial t}\left(A^{n+1}\right)=\frac{\partial}{\partial t}\left(A \cdot A^{n}\right)=\frac{\partial A}{\partial t} A^{n}+A \frac{\partial A^{n}}{\partial t} \),
получаем
\[
\frac{\partial A^{n+1}}{\partial t}+\frac{2 \pi i}{h}\left(A^{n+1} H-H A^{n+1}\right) \equiv 0,
\]
что и требовалось доказать.
Отсюда в силу рекуррентности данных соотношений получим, что если
\[
\frac{\partial A}{\partial t}+\frac{2 \pi i}{h}(A H-H A) \equiv 0,
\]
то выполняется также равенство
\[
\frac{\partial A^{n}}{\partial t}+\left(A^{n} H-H A^{n}\right) \equiv 0
\]
при любом целом \( n \). Таким образом, если А есть интеграл движения, то интегралом движения является и \( A^{n} \). И еще: если \( A \) есть интеграл движения, то все моменты
\[
\overline{A^{n}}=\int_{D} \psi^{*} A^{n} \psi d \tau
\]
распределения вероятностей случайной величины \( \boldsymbol{A} \) не зависят от времени. Поскольку же задание всех моментов распределения эквивалентно заданию самого распределения, последнее тоже не зависит от времени, что и требовалось доказать. Отметим, что из независимости распределения вероятностей для случайной величины \( A \) от времени следует постоянство как собственных значений величины \( A \), так и соответствующих вероятностей.
Поскольку распределение вероятностей величины \( A \) не меняется в том и только в том случае, если \( A \) есть интеграл движения, соответствующая характеристическая функция
\( \varphi(u)=\int_{D} \psi^{*} e^{i u A} \psi d \tau \)
тоже не должна меняться. Но так как функция \( \psi \), являющаяся решением волнового уравнения
\[
\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial \psi}{\partial t}=H \psi,
\]
определяется своим начальным значением \( \psi_{0} \), существует унитарный оператор \( U(t) \), являющийся функцией времени, который преобразует \( \psi_{0} \) в \( \psi \) :
\( \psi(q, t)=U(t) \psi(q, 0) \),
где \( q \) – совокупность переменных с областью изменения \( D \), а оператор \( U \) удовлетворяет условию \( U^{-1}(t)=U^{+}(t) \).
Если оператор \( H \) не зависит от времени, то
\[
U(t)=\cdot \exp \left(\frac{2 \pi i}{h} H t\right) .
\]
Если \( H \) зависит от времени, то \( U \) имеет более сложный вид. Постоянство характеристической функции по отношению к времени выражается формулой
\[
\int_{D} \psi^{*}(q, t) e^{i u A(t)} \psi(q, t) d \tau=\int_{D}^{\zeta} \psi^{*}(q, 0) e^{i u A(0)} \psi(q, 0) d \tau,
\]
или
\[
\begin{array}{l}
\int_{D} U^{*}(t) \psi^{*}(q, 0) e^{i u A(t)} U(t) \psi(q, 0) d \tau= \\
=\int_{D} \psi^{*}(q, 0) U^{+} e^{i u A(t)} U \psi(q, 0) d \tau=\int_{D} \psi^{*}(q, 0) e^{i u A(0)} \psi(q, 0) d \tau,
\end{array}
\]
или также
\[
\int_{D} \psi^{*}(q, 0)\left[U^{+} e^{i u A(t)} U-e^{i u A(0)}\right] \psi(q, 0) d \tau=0 .
\]
Поскольку данное соотношение должно выполняться вне зависимости от вида функции \( \psi(q, 0) \), мы имеем
\[
U^{+} e^{i u A(t)} U \equiv e^{i и A(0)}, \text { или } e^{j u A(t)} U \equiv U e^{i u A(0)} .
\]
Если \( H \) не зависит от \( t \), то
\( U=\exp (2 \pi i H t / h)=\exp (i v H) \), где \( v=2 \pi t / h \),
и выполняется условие \( e^{i u A(t)} e^{i v H} \equiv e^{i v H} e^{i u A(0)} \). Если \( A \) тоже не зависит от времени, то \( A(t)=A(0)=A \) и \( e^{i u A} e^{i v H} \equiv e^{i v H} e^{i u A} \). Данное перестановочное соотношение может выполняться (что легко доказывается путем разложения экспонент в ряды) лишь в том случае, если \( A \) и \( H \) коммутируют. Таким образом, условие существования интеграла движения имеет вид \( A H=H A \), что нам известно.
Рассмотрим теперь общий случай, когда и \( A \), и \( H \) зависят от времени. Условие существования интеграла движения может быть записано в виде \( e^{i u A(t)}=U e^{i u A(0)} U^{-1} \), и, как нетрудно видеть, оно эквивалентно соотношению \( A(t)=U(t) A(0) U^{-1}(t) \). Но из определения оператора \( U(t) \) следует, что он удовлетворяет уравнению
\[
\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial U}{\partial t}=H U,
\]
тогда как обратный оператор \( U^{-1} \) подчиняется уравнению
\[
-\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial U^{-1}}{\partial t}=U^{-1} H \text {. }
\]
Поэтому
\[
\begin{array}{l}
\frac{2 \pi i}{h} \frac{\partial A(t)}{\partial t}=\left[\frac{\partial U(t)}{\partial t} A(0) U^{-1}(t)+U(t) A(0) \frac{\partial U^{-1}(t)}{\partial t}\right] \frac{2 \pi i}{h}= \\
=H U A(0) U^{-1}-U A(0) U^{-1} H=H A-A H,
\end{array}
\]
откуда получаем известное условие
\[
\frac{\partial A(t)}{\partial t}+\frac{h}{2 \pi i}[A(t) H-H A(t)]=0 .
\]
[Уравнение \( -(h / 2 \pi i)\left(\partial U^{-1} / \partial t\right)=U^{-1} H \) сразу же следует из формулы \( \psi(q, 0)=U^{-1}(t) \psi(q, t) \), если продифференцировать ее по времени, что дает \( 0=\left(\partial U^{-1} / \partial t\right) \psi+U^{-1}(2 \pi i / h) H \psi \) для любой функции \( \psi \).]
б) Принцип интерференции
Этот принцип следует прямо из определения характеристической функции, так как если \( A=x \), то
\( \varphi(u)=\int_{D} \psi^{*} e^{i u x} \psi d \tau=1+i u \bar{x}+\ldots \),
где
\( \ddot{x}=\int_{D} x|\psi|^{2} d \tau \),
откуда и явствует, что вероятность обнаружения частицы в точке \( x \) равна \( |\psi|^{2} \).
в) Распределения вероятностей для величин \( p_{x}, M_{z}, p_{x}^{2} \) и \( M_{z}^{2} \)
Арнус исследовал связь между характеристической функцией и распределениями вероятностей для величин \( p_{x}, M_{z}, p_{x}^{2} \) и \( M_{z}^{2} \). Это позволило ему сделать ряд интересных математических выводов. Но мы их не рассматриваем, поскольку результаты, существенные для физика, нам уже известны.
2) Теоремы о чентре тяжести системы частиц
Рассмотрим систему частиц с массами \( m_{1}, \ldots, m_{n} \), и пусть \( x_{1}, y_{1} \), \( z_{1}, \ldots, x_{n}, y_{n}, z_{n} \) – их координаты. Можно всегда (по крайней мере в рассматриваемой здесь нами волновой механике) ввести координаты центра тяжести такой системы
\[
x_{g}=\frac{\sum_{1}^{n} m_{i} x_{i}}{\sum_{1}^{n} m_{i}}, y_{g}=\frac{\sum_{1}^{n} m_{i} y_{i}}{\sum_{1}^{n} m_{i}}, z_{g}=\frac{\sum_{1}^{n} m_{i} z_{i}}{\sum_{1}^{n} m_{i}}
\]
и относительные координаты \( k \)-й частицы
\[
\xi_{k}=x_{k}-x_{g}, \quad \eta_{k}=y_{k}-y_{g}, \quad \zeta_{k}=z_{k}-z_{g} .
\]
Очевидно, что выполняются равенства
\[
\begin{array}{l}
\sum_{1}^{n} m_{k} \xi_{k}=\sum_{1}^{n} m_{k} x_{k}-\sum_{1}^{n} m_{k} x_{g}=0, \\
\sum_{1}^{n} m_{k} \eta_{k}=\sum_{1}^{n} m_{k} \zeta_{k}=0 .
\end{array}
\]
Путем рассуждений, детальное изложение которых читатель найдет, например, в моей книге о системах частиц в волновой механике, можно доказать теоремы, которые в волновой механике систем частиц аналогичны теоремам классической механики систем. Арнус дал для этих теорем синтетическое доказательство (опирающееся на использование характеристической функции), которое мы здесь приводим.
Рассмотрим величину
\[
P_{x}=\sum_{1}^{n} p_{x_{k}} .
\]
Соответствующий оператор имеет вид
\( -\frac{h}{2 \pi i} \sum_{1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_{k}} \),
а характеристическая функция такова:
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{P_{X}}(u)=\int_{D} \psi^{*} \exp \left(-\frac{h}{2 \pi} u \sum_{k} \frac{\partial}{\partial x_{k}}\right) \psi d \tau= \\
=\int_{D} \psi^{*} \exp \left(-s \sum_{k} \frac{\partial}{\partial x_{k}}\right) \psi d \tau,
\end{array}
\]
где \( s=h u / 2 \pi \). Но по теореме Тейлора имеем
\[
\exp \left(-s \frac{\partial}{\partial x}\right) f(x)=\left(1-s \frac{\partial}{\partial x}+\frac{s^{2}}{2} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\ldots\right) f(x)=f(x-s)
\]
так что
\[
\varphi_{P_{x}}(u)=\int_{D} \psi^{*}\left(\ldots, x_{k}, \ldots\right) \psi\left(\ldots, x_{k}-s, \ldots\right) d \tau
\]
или, после замены переменных \( \left(x_{1}, \ldots, z_{n}\right) \rightarrow\left(x_{g}, \ldots, \zeta_{n}\right) \),
\[
\varphi_{P_{x}}(u)=\int_{D} \psi^{*}\left(\ldots, \xi_{k}+x_{g}, \ldots\right) \psi\left(\ldots, \xi_{k}+x_{g}-s, \ldots\right) d \tau .
\]
Ho
\[
\begin{array}{r}
\psi\left(\ldots, \xi_{k}+x_{g}-s, \ldots\right)=\exp \left(\frac{2 \pi i}{h} s p_{x_{g}}\right) \psi\left(\ldots, \xi_{k}+x_{g}, \ldots\right)= \\
=\exp \left(i u p_{x_{g}}\right) \psi\left(\ldots, \xi_{k}+x_{g}, \ldots\right)
\end{array}
\]
и окончательно
\[
\varphi_{P_{x}}(u)=\int_{D} \psi^{*}\left(\ldots, \xi_{k}+x_{g}, \ldots\right) \exp \left(\text { iup }_{x_{g}}\right) \psi\left(\ldots, \xi_{k}+x_{g}, \ldots\right) d \tau .
\]
Таким образом, характеристическая функция для \( P_{x} \) совпадает с характеристической функцией для \( p_{x_{g}} \). Отсюда следует первая теорема, аналогичная классической теореме об импульсе центра тяжести (первой теореме Кенига). Теорема. Полный импульс системы равен импульсу ее центра тяжести. Рассмотрим теперь составляющую \( M_{z} \) углового момента системы
\[
\left(M_{z}\right)_{\text {onep }}=\sum_{k=1}^{n}\left\{-\frac{h}{2 \pi i}\left(x_{k} \frac{\partial}{\partial y_{k}}-y_{k} \frac{\partial}{\partial x_{k}}\right)\right\} \text {. }
\]
Соответствующая характеристическая функция имеет вид ( \( s=h u / 2 \pi \) )
\[
\begin{aligned}
\varphi_{M_{z}}(u)= & \int \psi^{*}\left(\ldots, x_{k} y_{k} z_{k}, \ldots\right) \times \\
& \times \psi\left(\ldots, x_{k} \cos s-y_{k} \sin s, y_{k} \cos s+x_{k} \sin s, z_{k}, \ldots\right) d \tau .
\end{aligned}
\]
После замены переменных \( \left(x_{1}, \ldots, z_{n}\right) \rightarrow\left(x_{g}, \ldots, \zeta_{n}\right) \) получим
\[
\begin{array}{l}
x_{k} \cos s-y_{k} \sin s \rightarrow\left(x_{g}+\xi_{k}\right) \cos s-\left(y_{g}+\eta_{k}\right) \sin s= \\
=x_{g} \cos s-y_{g} \sin s+\xi_{k} \cos s-\eta_{k} \sin s .
\end{array}
\]
Тогда
\[
\varphi_{M_{z}}(u)=\int_{D} \psi^{*}\left(\ldots, x_{k}, y_{k}, z_{k}, \ldots\right) \exp \left[i u\left(M_{g_{z}}+M_{\zeta}\right)\right] \psi\left(\ldots, x_{k}, y_{k}, z_{k}, \ldots\right) d \tau
\]
где
\[
\begin{array}{l}
M_{g_{z}}=-\frac{h}{2 \pi i}\left(x_{g} \frac{\partial}{\partial y_{g}}-y_{g} \frac{\partial}{\partial x_{g}}\right), \\
M_{\zeta}=\sum_{k=1}^{n}\left\{-\frac{h}{2 \pi i}\left(\xi_{k} \frac{\partial}{\partial \eta_{k}}-\eta_{k} \frac{\partial}{\partial \xi_{k}}\right)\right\} .
\end{array}
\]
Отсюда \( M_{z}=M_{g_{z}}+M_{\zeta} \).
Тем самым доказана теорема, аналогичная второй классической теореме Кенига:
Теорема. Полный угловой момент системы равен сумме углового момента центра тяжести и углового момента движения относительно центра тяжести.
В диссертации Арнуса много и других интересных доказательств, но мы на них здесь не будем останавливаться.
Рассмотрим теперь более детально вопрос о приложении обычного аппарата теории вероятностей к случаю двух некоммутирующих переменных, что даст нам возможность внести ясность в некоторые очень важные моменты теории.
