В самом начале развития волновой механики теоретики пришли к необходимости рассматривать величину \( \psi \psi^{*}=|\psi|^{2} \) как вероятность присутствия частицы в данной точке. Этот принцип, носящий название принципа интерференции или принципа локализации, есть не что иное, как обобщение на волновую механику того принципа, который всегда применяется в волновых теориях света: в этих теориях всегда считается, что плотность энергии в каждой точке дается интенсивностью волны в этой точке, а интенсивность по определению равна квадрату амплитуды волны. Но, как нетрудно сообразить, в случае плоской монохроматической волны и в случае суперпозиции плоских волн одинаковой частоты величина \( |\psi|^{2} \) в точности равна интенсивности. Если считать, что свет состоит из фотонов, то тогда в световой волне плотность (числа) фотонов в каждой точке пространства должна быть пропорциональна величине \( |\psi|^{2} \), где \( \psi \) – переменная волновая функция для света, записанная в комплексной форме, и мы видим, что принцип интерференции волновой механики есть не что иное, как прямое обобщение на случай любых частиц (например, электронов) принципа, который справедлив для световых фотонов.

Явления дифракции частиц (дифракция электронов на кристалле, Дэвиссон и Джермер [11]; дифракция протонов и других частиц на кристалле, Штерн, Эстерман [27]; дифракция электронов на крае экрана, Берш [15]; дифракция нейтронов, Амальди и др., 1945 – 1947, . . . ) могут быть объяснены лишь на основе принципа интерференции, в чем можно видеть опытное доказательство данного принципа \( { }^{1)} \).

Но речь идет не только об этом. Выше мы рассуждали, предполагая, что имеем дело с волной (световой или с волной \( \psi \) ), с которой связано большое число частиц, таких, как фотоны или частицы с конечной массой. Это дает возможность говорить о плотности числа таких частиц. Но очень важные опыты Тейлора [31] и Демпстера и Бато [32] показывают, что картина интерференции света всегда одинакова независимо от того, будет ли очень спабый свет действовать в течение очень долгого времени или сильный свет в течение короткого промежутка времени. Хотя аналогичного рода опыты с электронами или другими частицами конечной массы еще не проводились, они, несомненно, приведут к такому же результату2). В подобного рода опытах фотоны приходят в интерференционный прибор лишь по одному и каждый из фотонов следует считать соответствующим некоему цугу световых волн. Таким образом, здесь уже нельзя говорить о плотности (числа) фотонов, соответствующих падающей волне, и, чтобы сохранить принцип интерференции и основанную на нем интерпретацию, приходится принять, что в волновом пакете, соответствующем фотону, величина \( |\psi|^{2} \) пропорциональна вероятности того, что фотон обнаружит свое присутствие в данной точке, локально воздействуя на вещество.

Итак, данные опытов, подобных опытам Тейлора, вынуждают нас в виде обобщения допустить, что с каждой частицей связан протяженный волновой пакет и что величина \( |\psi|^{2} \) дает вероятность обнаружения на опыте частицы в рассматриваемой точке пространства. Поскольку волновой пакет в общем случае занимает определенную область пространства, а величина \( |\psi|^{2} \), вообще говоря, отличается от нуля во всей области, занимаемой волновым пакетом в заданный момент времени, можно сделать вывод, что положение частицы в волновом пакете априори является в какой-то мере неопределенным и что можно приписать лишь некоторую вероятность каждому из возможных положений.

Но тогда возникает вопрос, имеющий большое познавательное и общефилософское значение: является ли такое отсутствие детерминированности лишь кажущимся, обусловленным лишь тем, что мы не знаем истинной траектории частицы, или же, напротив, оно связано с реальной неопределенностью, с тем, что частица, так сказать, приобретает положение в пространстве лишь в тот момент, когда она в результате взаимодействия проявляет свое присутст-
1) Добавим также работы более позднего времени [28, 29]. С данным вопросом можно ознакомиться также по коллективной монографии [30]. – Ж. Л.
2) На самом деле незадолго до того Биберман, Сушкин и Фабрикант [33] провели опыт, в котором был получен результат, предсказанный Луи де Бройлем. – Ж. Л.
вие в виде наблюдаемого

явления? Первый взгляд на вещи соответствует представлениям классической физики, в которой вероятность вводится лишь как следствие того, что мы не знаем точной детерминированности данного явления. В противоположность этому вторая точка зрения, предполагающая ограниченную детерминированность явления, быстро распространилась среди специалистов по квантовой физике и, по-видимому, сейчас хорошо обоснована \( { }^{1)} \).

В’ период 1926 – 1927 гг., когда дискутировался этот важный вопрос, было естественно попытаться сохранить классические представления, приписав частицам такие траектории, для которых плотность «вероятности присутствия» характеризовалась бы величиной \( |\psi|^{2} \). Попытка подобного рода, намеченная Маделунг и носящая название гидродинамической теории волновой механики, была в этот период продолжена мною под названием «теории волныпилота»2).

Мы видели, что волне \( \psi=a \exp [i \varphi] \) можно сопоставить фиктивную жидкость с плотностью \( \rho=|\psi|^{2} \) и плотностью потока
\( \mathbf{f}=\rho \mathbf{v}=-\frac{h}{4 \pi i m}\left(\psi^{*} \operatorname{grad} \psi-\psi \operatorname{grad} \psi^{*}\right) \)
и что для такой фиктивной жидкости выполняется закон сохранения. Траектории молекул этой фиктивной жидкости можно, как это принято в гидродинамике, записать в виде уравнения
\[
\mathbf{v}=-\frac{h}{4 \pi i m|\psi|^{2}}\left(\psi^{*} \operatorname{grad} \psi-\psi \operatorname{grad} \psi^{*}\right)=-\frac{h}{2 \pi m} \operatorname{grad} \varphi .
\]

для скорости в каждой точке. В случае монохроматической (не обязательно плоской) волны, соответствующей постоянному полю, мы имеем \( \psi \sim \exp (2 \pi i E t / h) \) и \( v \) не зависит от времени. В этом случае траектории молекул жидкости совпадают с линиями тока (т. е. с линиями, в каждой точке которых в заданный момент времени касательной является локальный вектор скорости \( v \) ), что соответствует хорошо известному в гидродинамике результату. Но тогда заманчиво было бы допустить, что если с волной \( \psi \) связано большое число частиц, то эти частицы описывают гидродинамические траектории, уравнение которых мы только что нашли. Мы сразу же получили бы, что \( |\psi|^{2} \) есть плотность (числа) частиц в волне и что соотношение
\[
\int|\psi|^{2} d \tau=\text { const }
\]
1) Позднее автор поставил на полях в данном месте знак вопроса. – Ж. Л.
2) Позднее после слова «волны-пилота» автор вписал карандашом «развить. Гипотеза двойного решения». – Ж. ЛI.

выражает закон сохранения числа частиц в процессе распространения волны\”).
Но мы знаем, что мы должны иметь возможность связать с каждой частицей отдельный волновой пакет. Тогда для волнового пакета можно будет определить бесконечное число гидродинамических траекторий, но так как по предположению в волне имеется только одна частица, то последняя фактически опишет лишь одну из траекторий, а другие останутся виртуальными. Как нетрудно видеть, величина \( |\psi|^{2} \) при этом не теряет полностью смысла. Очевидно, что она уже не будет характеризовать локальную плотность (числа) частиц, но если мы совершенно не знаем описываемую частицей траекторию, то, как нетрудно сообразить, в каждый момент времени величина \( \rho d \tau=|\psi|^{2} \) будет пропорциональна вероятности найти частицу в рассматриваемый момент времени в элементе объема \( d \tau \). Это интерпретация классического типа, поскольку она основана на предположении, что частица действительно имеет траекторию и что вероятность приходится вводить лишь постольку, поскольку мы не знаем этой траектории, так что, если в момент времени \( t \) мы обнаруживаем частицу в точке \( P \) пространства, это происходит по той причине, что действительно в этот момент она пришла по своей траектории в точку \( P \).

При этом можно сказать, что волна управляет движением частицы, так как это движение, по предположению совершенно детерминированное, определяется по известной волне \( \psi \). Отсюда и возникло данное мною название «теория волны-пилота»2).

К сожалению, эта теория, хотя на первый взгляд и представляется весьма привлекательной, при детальном рассмотрении наталкивается на непреодолимые трудности \( { }^{3} \). Прежде всего она на самом деле значительно менее класси-
1) При движении частицы на нее действовал бы не только внешний потенциал \( V(x \), \( y, z, t) \), но и «квантовый потенциал», равный – \( \left(h^{2} / 8 \pi^{2} m\right)(\square a / a) \), характеризующий своего рода реакцию волны на частицу. – Л.Б.
2) От «piloter» (франц.) – вести, указывать путь. – Прим. ред.
3) Здесь интересно проследить «последовательные слои» мысли автора. В самом деле, прежде всего сам факт упоминания волны-пилота, хотя бы даже критического – уже’ нечто новое по сравнению с первой частью данной работы (написанной за год до этого), где не было даже намека на попытки автора в 1926 – 1927 гг. \”сохранить классические представления\”, как об этом говорилось несколько выше. Кроме тoro, появились примечания или существенные исправления, сделанные другими чернилами. Сюда относится введение фазы волны в скорость жидкости Маделунг, где автор возвращается к обозначениям теории волны-пилота; сюда относится также короткое примечание о квантовом потенциале. И здесь в строке, к которой относится данное примечание, автор зачеркнул слово «непреодолимые» и написал «которые в настоящее время кажутся мне непреодолимыми» (учитывая точность стиля де Бройля, это важный нюанс). Но нужно отметить, что он говорит пока еще только о теории волныпилота, которую он позднее охарактеризует как «урезанный, вырожденный вариант теории двойного решения\” [11, 26, с. 107]; \”теория немного половинчатая\”, – скажет он в другом месте. Помня о своей неудаче на Сольвеевском конгрессе 1927 г., он, повидимому, еще соединяет с ней обе теории и не говорит о двойном решении; но он упоминает о нем после другого прочтения в карандашных пометках: это следующий этап развития его мысли. – Ж. Л.

ческая, чем это может показаться, поскольку движение частицы описывается функцией \( \psi(x, y, z, t) \), которая вычисляется по начальной форме \( \psi\left(x, y, z, t_{0}\right) \) на основе волнового уравнения. При этом величина \( \left|\psi\left(x, y, z, t_{0}\right)\right|^{2} \) характеризует вероятность присутствия частицы в точке \( x, y, z \) в начальный момент \( t_{0} \). Таким образом, движение частицы в момент \( t \) должно зависеть не только от ее положения и скорости в момент \( t_{0} \), как это имеет место в классической механике, но еще и от вероятности, которую она имела в момент \( t_{0} \), оказаться в какой-либо точке \( x, y, z \). Такая странная ситуация полностью противоречит классическим представлениям!

В более общем случае движение частицы должно будет зависеть от глобального выражения для волны \( \psi \), которое определяется всеми случайностями, встречающимися на ее пути в пространстве. Возьмем, например, опыт Юнга. В теории волны-пилота фотон, имея определенную траекторию, пройдет через одно из отверстий в экране, но при выходе из отверстия на его движение повлияет наличие второго отверстия, поскольку форма волны \( \psi \) за экраном симметрично зависит от существования двух отверстий. Таким образом, мы приходим к парадоксальным выводам, весьма далеким от классических представлений \( { }^{1)} \). К тому же фактическое построение гидродинамических траекторий, по-прежнему возможное, может дать, например, в случае интерференции вблизи зеркала (опыт Винера) очень сложные и неправдоподобные траектории частицы со скоростью, иногда превышающей скорость света2).

Однако имеются и еще более серьезные возражения, препятствующие \( { }^{3} \) принятию теории волны-пилота. Далее мы увидим, что развитие волновой механики приводит к принципу обобщенного спектрального разложения (частным случаем которого является принцип интерференции), который необходим для интерпретации всей совокупности квантовых явлений. Указанный принцип приводит к необходимости приписать всем связанным с частицами величинам (а не только ее координатам) ряд возможных значений с соответствующими вероятностями. Другими словами, каждой величине ставится в соответствие некая функция распределения (вероятностей), зависящая от функции \( \psi \). В частности, это относится и к составляющим импульса, и отсюда можно сделать вывод, что в любой момент времени имеются неопределенности в значении координаты \( x \) и в значении соответствующей составляющей импульса \( p_{x} \), такие, что \( \Delta x \cdot \Delta p_{x} \geq h \) (соотношение неопределенностей Гейзенберга). Этот вывод, который непротиворечивость новой механики и ее экспериментальные
1) В теории двойного решения этот недостаток становится преимуществом: движение сингулярности волны, определяемое граничными условиями, превосходно описывает дифракцию и интерференцию. – Ж. Л.
2) Данная трудность сохраняется и в теории двойного решения; см. анализ в работе [II, 26]. – Ж. Л.
3) Теми же чернилами, что и в предыдущих поправках, автор позднее зачеркнул слова «еще» и «препятствующие», заменив второе из них словами «по-видимому, препятствуюшие». – Ж. Л.

подтверждения делают несомненным, никак не согласуется с теорией волныпилота. В частности, последняя приводит к вполне определенному значению для импульса и не позволяет получить соотношения неопределенностей \( { }^{1)} \).

Добавим еще, что обобщение теории волны-пилота на случай волновой механики систем частиц приводит к другим трудностям, которые представляются непреодолимыми.

Тщательное изучение этих трудностей в 1927 – 1928 гг. привело меня к тому, что я полностью отказался от теории волны-пилота и присоединился к новой точке зрения Бора и Гейзенберга, в которой отвергаются любые представления о траектории элементарных частиц и о детерминированности их движения. После моих тогдашних попыток сохранить старые представления у меня сложилось впечатление, что и любые другие попытки достижения этой цели натолкнутся на те же самые трудности. Если я изложил здесь эту свою старую точку зрения, то лишь потому, что те же самые трудности действительно возникли при более новых попытках. Так, в теории Бома, о которой я скажу ниже, мы снова находим формулы теории волны-пилота и те трудности, к которы́м они приводят \( { }^{2} \).
1) Совершенно неверно! Данное возражение говорит о том, что Луи де Бройль, отошедший от своих старых представлений, еше не размышлял над проблемой измерения в причинной теории, чем он займется вскоре под влиянием работы Бома. Тогда он покажет, что не следует смешивать скрытые значения величины, например импульса, с ее измеренными значениями. Последние- это те значения, которые получают после того, как разложут начальный волновой пакет на целый ряд отдельных волновых пакетов, каждый из которых соответствует вполне определенному значению импульса. При этом измерение заключается в приписывании импульсу значения, соответствующего тому волновому пакету, в котором будет зарегистрировано наличие частицы. Как нетрудно видеть, в результате изменяются возможные значения импульса (вследствие разложения начальной волны), а также появляется элемент случайности, обусловленный тем, что частица может попасть в тот или иной волновой пакет, отвечающий разложению начальной волны. Два этих обстоятельства приводят к соотношениям Гейзенберга, но интерпретация последних отличается от обычной интерпретации [II, 27, 29 , 33] – Ж. Л.
2) В своей недавно опубликованной работе «Возможная новая интерпретация квантовой теории» (1951г.) Бом в Принстоне в точности повторил мою старую теорию волны-пилота. Действительно новое в работе Бома, как мне представляется, лишь то, что он проанализировал процесс измерения более детально, чем я в своих публикациях двадцатипятилетней давности.

Теория Бома естественным образом наталкивается на те же трудности, что и моя, и они по-прежнему представляются мне непреодолимыми. Как замечает Бом, данная теория имеет смысл (в частности, в том, что касается введения квантового потенциала) лишь в том случае, если волна является «физической реальностью». Но это, на мой взгляд, допустить невозможно. В самом деле, во-первых, волна \( \psi \) представляется принципиально комплексной функцией и в общем случае распространяется в явно абстрактном и фиктивном конфигурационном пространстве; уже одно это не позволяет рассматривать ее в качестве физической реальности в том смысле слова, в каком оно понимается в классической физике. Во-вторых, любое измерение координат резко уменьшает пространственную протяженность волны \( \downarrow \) и меняет ее форму (редукция волнового пакета), так что измерения, проведенные в некоторой области пространства, полностью меняют вид волны \( \psi \) в удаленных областях, а это, по-видимому, тоже не позволяет приписывать волне \( \psi \) характер физической реальности.

Бом считает, что теория волны-пилота полностью устраняет трудности, указанные Эйнштейном, Подольским и Розеном. Я в этом не уверен, поскольку после столкновения волна \( \downarrow \) представляется целым рядом волновых пакетов, разделенных в конфигурационном пространстве, и при определении присутствия частицы в одном из этих волновых пакетов другие волновые пакеты исчезают. Здесь отпадают трудности, связанные с корпускулярными свойствами частиц, которые в теории волны-пилота имеют определенную траекторию и корреляция движения которых объясняется столь же естественно, как и в классической теории. Но зато возникают трудности с волной \( \psi \), поскольку здесь она является физической реальностью и становится уже невозможным понять, каким образом измерения, проведенные в одной из областей пространства, могут изменить эту физическую реальность в другой области пространства. Короче говоря, трудности переносятся с частицы на волну, – Л. Б.

Вряд ли нужно подчеркивать важное значение данного примечания, где автор говорит, что он только что прочитал эту работу Бома, которая вскоре приведет к пересмотру его собственных взглядов. Правда, его первая реакция отрицательна, и он подтвердит это публично в своей заметке в Докладах Академии наук Франции [I, 93; II, 26, c. 65], но следует особо подчеркнуть, что по существу он критикует теорию волныпилота, а не теорию двойного решения, о которой он в это время вообще не думает. Вскоре после этого его внимание к последней теории снова привлечет Вижье, что проглядывает из пометки, сделанной позднее карандашом в конце его примечания: «Вижье и двойное решение».

Вся критика Луи де Бройлем теории волны-пилота направлена против субъективного характера волны \( \psi \), которой данная теория, возрожденная Бомом, пытается придать прямой физический смысл. То обстоятельство, что волна является комплексной, имеет лишь второстепенное значение, поскольку это не мешает ей определять амплитуду и фазу. В противоположность этому аргумент о конфигурационном пространстве представляется более серьезным, и его одного было бы достаточно, чтобы отвергнуть теорию волны-пилота в качестве причинной теории, если бы для этого не было еще более серьезного основания – очевидного субъективного характера, придаваемого волне \( \psi \) редукцией пакета вероятностей в результате измерения. Именно по этой причине, как только де Бройль вернулся к своим исследованиям возможностей причинной интерпретации волновой механики, он полностью отказался от теории волны-пилота и сосредоточился на теории двойного решения, в которой вводятся две волны, одна – обычная волна \( \psi \), а другая – ненормированная и не испытывающая редукции волнового пакета при измерении, а потому фактически способная играть роль физической волны. К сожалению, теория двойного решения сама по себе не снимает трудностей, связанных с использованием конфигурационного пространства. Начиная с 1926 – 1927 гг. [I, 29, 34; II, 25] де Бройль пытался построить теорию систем частиц в физическом пространстве и принял теорию Шредингера в конфигурационном пространстве лишь за неимением ничего лучшего. Позднее, в период между 1952 и 1960 г., он снова предпринял в этом направлении большие усилия, работая в сотрудничестве с Андраде э Сильвой, для которого данная проблема послужила темой диссертации [II, 26, 27, 29] (см. также диссертацию Андраде э Сильвы). Несмотря на бесспорные успехи, все же пока еще нельзя говорить о завершенной теории, которая могла бы заменить обычную теорию. В частности, остается неразрешенным парадокс Эйнштейна – Подольского – Розена. Чтобы пояснить настроение де Бройля в 1951 г., мы здесь приведем замечание, сделанное им в разделе о системах частиц, который мы опустили, как говорилось выше, поскольку в нем повторяется изложенное в первой части книги:
«В классической механике точка, изображающая систему, с течением времени описывает вполне определенную траекторию в конфигурационном пространстве, и это соответствует тому, что частицы системы предполагаются всегда полностью локализованными в пространстве. Чтобы сохранить такое представление и не отказываться от классической детерминированной картины, здесь можно попытаться построить еще одну теорию волны-пилота, в которой волна \( \psi \), распространяющаяся в конфигурационном пространстве, управляла бы движением изображающей точки в этом пространстве. Для этого нужно принять, что изображающая точка движется по гидродинамической траектории, определяемой в конфигурационном пространстве заданием \( 3 N \) компонент скоростей \( v_{x_{k}}, v_{y_{k}}, v_{z_{k}} \), введенных выше. Однако построенная таким путем теория оказывается еще более фиктивной и наталкивается на еще большие трудности, чем те, которые возникают в случае одной частицы. Приходится отказаться от нее и принять общую вероятностную интерпретацию, аналогичную той, которая была рассмотрена выше в случае одной частицы.»

Заметим, что последующее исправление, сделанное теми же чернилами, что и несколько предыдущих поправок, несколько ослабляет последнее высказывание заменой слова «приходится» словом «пришлось». – Ж. Л.