Здесь мы не будем рассматривать спин и будем говорить только об орбитальном угловом моменте. Для отдельной частицы орбитальным угловым моментом относительно центра \( O \) (принимаемого за начало координат) называется вектор углового момента частицы относительно точки \( O \), т.е.
\[
\mathbf{M}=[\mathbf{r} \times \mathbf{p}] \text {. }
\]

Его составляющими будут \( M_{x}=y p_{z}-z p_{y}, \ldots \).
Мы только что видели, что если действующее на частицу поле имеет нулевой момент по отношению к одной из осей, то составляющая вектора \( M \) вдоль этой оси является интегралом движения.

Квадрат длины вектора орбитального углового момента дается выражением
\[
M^{2}=M_{x}^{2}+M_{y}^{2}+M_{z}^{2}=r^{2} p^{2}-(\mathrm{r} \cdot \mathrm{p})^{2},
\]

в котором использовано тождество Лагранжа. В случае центрального силового поля эта величина является интегралом движения.

В волновой механике величины \( M_{x}, M_{y}, M_{z} \) заменяются операторами
\[
\left(M_{x}\right)_{\text {oпер }}=-\frac{h}{2 \pi i}\left(y \frac{\partial}{\partial z}-z \frac{\partial}{\partial y}\right)=-\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial \varphi_{x}}, \ldots,
\]

где \( \varphi_{x}, \ldots \) – углы поворота вокруг осей \( O x, \ldots \). Любой из операторов \( M_{k} \), как нетрудно убедиться, имеет собственные значения \( m(h / 2 \pi) \) и нормированные собственные функции ( \( 1 / \sqrt{2 \pi}) \exp \left(-i m \varphi_{k}\right) \).

На основании общих принципов волновой механики отсюда можно сделать вывод, что при точном измерении любой составляющей орбитального момента всегда должно получаться целое кратное число \( h / 2 \pi \). Поэтому данное число можно рассматривать как квантовую единицу углового момента.

Итак, мы видим, что представление момента вращения в виде вектора оказывается обманчивым в квантовой теории. В самом деле, три составляющие орбитального момента в общем случае не могут быть измерены одновременно, так как операторы \( M_{x}, M_{y}, M_{z} \) не коммутируют между собой. Если точно измерить одну из составляющих вектора М в декартовой системе координат, то точные значения двух других его составляющих останутся неизвестными; будет известно лишь распределение вероятностей возможных значений этих составляющих. Поэтому нельзя точно задать вектор \( \mathbf{M} \), так как точно известна может быть лишь одна из его составляющих. В самом деле, три ортогональные составляющие вектора \( \mathbf{M} \), очевидно, не могут быть одновременно целыми кратными числа \( h / 2 \pi \) при любой ориентации осей декартовой системы координат.

Легко доказать, что операторы \( M_{x}, M_{y}, M_{z} \) не коммутируют между собой. Действительно,
\[
\left[M_{x}, M_{y}\right]=\frac{h}{2 \pi i} M_{z}, \ldots .
\]

Эти соотношения потребуются нам в дальнейшем.
Величине \( M^{2} \), фигурирующей в классической механике, в волновой механике ставится.в соответствие оператор
\[
\begin{aligned}
\left(M^{2}\right)_{\text {oпер }}= & \left(M_{x}^{2}\right)_{\text {oпер }}+\left(M_{y}^{2}\right)_{\text {oпер }}+\left(M_{z}^{2}\right)_{\text {опер }}= \\
& =\frac{h^{2}}{4 \pi^{2}} \frac{2}{\sin \theta}\left[\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial^{2}}{\partial \varphi^{2}}\right],
\end{aligned}
\]

для которого мы написали выражение в сферической системе координат. Оператор \( \left(M^{2}\right)_{\text {опер }} \) с точностью до множителя \( h^{2} / 4 \pi^{2} \) совпадает с лапласианом на сфере единичного радиуса.
Уравнение на собственные значения
\[
\left(M^{2}\right)_{\text {опер }} f=\alpha f
\]

на сфере единичного радиуса допускает в качестве конечных гладких и непрерывных решений лишь функции Лапласа \( Y_{k}(\theta, \varphi) \). Собственные значения, соответствующие функциям \( Y_{l} \), где \( l \) – целое положительное число или нуль, равны \( \left(h^{2} / 4 \pi^{2}\right) l(l+1) \). Следовательно, собственные значения оператора \( M^{2} \) таковы:
\[
M^{2}=\frac{h^{2}}{4 \pi^{2}} l(l+1), \quad l=0,1,2, \ldots
\]

Как нетрудно убедиться, оператор \( M^{2} \) коммутирует с операторами \( M_{x}, M_{y} \) и \( M_{z} \). Это означает, что можно одновременно измерить \( M^{2} \) и одну из компонент вектора \( \boldsymbol{M} \).