Здесь мы не будем рассматривать спин и будем говорить только об орбитальном угловом моменте. Для отдельной частицы орбитальным угловым моментом относительно центра $O$ (принимаемого за начало координат) называется вектор углового момента частицы относительно точки $O$, т.е.
$$\mathbf{M}=[\mathbf{r}\times \mathbf{p}]\text{. }$$

Его составляющими будут $M_x=y{p}_z-z{p}_y,\dots$.
Мы только что видели, что если действующее на частицу поле имеет нулевой момент по отношению к одной из осей, то составляющая вектора $M$ вдоль этой оси является интегралом движения.

Квадрат длины вектора орбитального углового момента дается выражением
$$M^2=M_x^2+M_y^2+M_z^2=r^2{p}^2-(\mathrm{r}\cdot \mathrm{p}{)}^2,$$

в котором использовано тождество Лагранжа. В случае центрального силового поля эта величина является интегралом движения.

В волновой механике величины $M_x,M_y,M_z$ заменяются операторами
$${\left(M_x\right)}_{\text{oпер }}=-\frac{h}{2\pi i}(y\frac{\partial }{\partial z}-z\frac{\partial }{\partial y})=-\frac{h}{2\pi i}\frac{\partial }{\partial {\phi }_x},\dots ,$$

где ${\phi }_x,\dots$ — углы поворота вокруг осей $Ox,\dots$. Любой из операторов $M_k$, как нетрудно убедиться, имеет собственные значения $m(h/2\pi )$ и нормированные собственные функции ( $1/\sqrt{2\pi })\exp (-im{\phi }_k)$.

На основании общих принципов волновой механики отсюда можно сделать вывод, что при точном измерении любой составляющей орбитального момента всегда должно получаться целое кратное число $h/2\pi$. Поэтому данное число можно рассматривать как квантовую единицу углового момента.

Итак, мы видим, что представление момента вращения в виде вектора оказывается обманчивым в квантовой теории. В самом деле, три составляющие орбитального момента в общем случае не могут быть измерены одновременно, так как операторы $M_x,M_y,M_z$ не коммутируют между собой. Если точно измерить одну из составляющих вектора М в декартовой системе координат, то точные значения двух других его составляющих останутся неизвестными; будет известно лишь распределение вероятностей возможных значений этих составляющих. Поэтому нельзя точно задать вектор $\mathbf{M}$, так как точно известна может быть лишь одна из его составляющих. В самом деле, три ортогональные составляющие вектора $\mathbf{M}$, очевидно, не могут быть одновременно целыми кратными числа $h/2\pi$ при любой ориентации осей декартовой системы координат.

Легко доказать, что операторы $M_x,M_y,M_z$ не коммутируют между собой. Действительно,
$$[M_x,M_y]=\frac{h}{2\pi i}{M}_z,\dots .$$

Эти соотношения потребуются нам в дальнейшем.
Величине $M^2$, фигурирующей в классической механике, в волновой механике ставится.в соответствие оператор
$$\begin{array}{rl}{\left(M^2\right)}_{\text{oпер }}=& {\left(M_x^2\right)}_{\text{oпер }}+{\left(M_y^2\right)}_{\text{oпер }}+{\left(M_z^2\right)}_{\text{опер }}=\\ & =\frac{h^2}{4{\pi }^2}\frac{2}{\sin \theta }[\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta })+\frac{1}{\sin \theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\phi }^2}],\end{array}$$

для которого мы написали выражение в сферической системе координат. Оператор ${\left(M^2\right)}_{\text{опер }}$ с точностью до множителя $h^2/4{\pi }^2$ совпадает с лапласианом на сфере единичного радиуса.
Уравнение на собственные значения
$${\left(M^2\right)}_{\text{опер }}f=\alpha f$$

на сфере единичного радиуса допускает в качестве конечных гладких и непрерывных решений лишь функции Лапласа $Y_k(\theta ,\phi )$. Собственные значения, соответствующие функциям $Y_l$, где $l$ — целое положительное число или нуль, равны $\left(h^2/4{\pi }^2\right)l(l+1)$. Следовательно, собственные значения оператора $M^2$ таковы:
$$M^2=\frac{h^2}{4{\pi }^2}l(l+1),l=0,1,2,\dots$$

Как нетрудно убедиться, оператор $M^2$ коммутирует с операторами $M_x,M_y$ и $M_z$. Это означает, что можно одновременно измерить $M^2$ и одну из компонент вектора $\mathit{M}$.