Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Здесь мы не будем рассматривать спин и будем говорить только об орбитальном угловом моменте. Для отдельной частицы орбитальным угловым моментом относительно центра \( O \) (принимаемого за начало координат) называется вектор углового момента частицы относительно точки \( O \), т.е. Его составляющими будут \( M_{x}=y p_{z}-z p_{y}, \ldots \). Квадрат длины вектора орбитального углового момента дается выражением в котором использовано тождество Лагранжа. В случае центрального силового поля эта величина является интегралом движения. В волновой механике величины \( M_{x}, M_{y}, M_{z} \) заменяются операторами где \( \varphi_{x}, \ldots \) — углы поворота вокруг осей \( O x, \ldots \). Любой из операторов \( M_{k} \), как нетрудно убедиться, имеет собственные значения \( m(h / 2 \pi) \) и нормированные собственные функции ( \( 1 / \sqrt{2 \pi}) \exp \left(-i m \varphi_{k}\right) \). На основании общих принципов волновой механики отсюда можно сделать вывод, что при точном измерении любой составляющей орбитального момента всегда должно получаться целое кратное число \( h / 2 \pi \). Поэтому данное число можно рассматривать как квантовую единицу углового момента. Итак, мы видим, что представление момента вращения в виде вектора оказывается обманчивым в квантовой теории. В самом деле, три составляющие орбитального момента в общем случае не могут быть измерены одновременно, так как операторы \( M_{x}, M_{y}, M_{z} \) не коммутируют между собой. Если точно измерить одну из составляющих вектора М в декартовой системе координат, то точные значения двух других его составляющих останутся неизвестными; будет известно лишь распределение вероятностей возможных значений этих составляющих. Поэтому нельзя точно задать вектор \( \mathbf{M} \), так как точно известна может быть лишь одна из его составляющих. В самом деле, три ортогональные составляющие вектора \( \mathbf{M} \), очевидно, не могут быть одновременно целыми кратными числа \( h / 2 \pi \) при любой ориентации осей декартовой системы координат. Легко доказать, что операторы \( M_{x}, M_{y}, M_{z} \) не коммутируют между собой. Действительно, Эти соотношения потребуются нам в дальнейшем. для которого мы написали выражение в сферической системе координат. Оператор \( \left(M^{2}\right)_{\text {опер }} \) с точностью до множителя \( h^{2} / 4 \pi^{2} \) совпадает с лапласианом на сфере единичного радиуса. на сфере единичного радиуса допускает в качестве конечных гладких и непрерывных решений лишь функции Лапласа \( Y_{k}(\theta, \varphi) \). Собственные значения, соответствующие функциям \( Y_{l} \), где \( l \) — целое положительное число или нуль, равны \( \left(h^{2} / 4 \pi^{2}\right) l(l+1) \). Следовательно, собственные значения оператора \( M^{2} \) таковы: Как нетрудно убедиться, оператор \( M^{2} \) коммутирует с операторами \( M_{x}, M_{y} \) и \( M_{z} \). Это означает, что можно одновременно измерить \( M^{2} \) и одну из компонент вектора \( \boldsymbol{M} \).
|
1 |
Оглавление
|