Мы рассмотрели возможность одновременного измерения двух канонически сопряженных величин и показали, что точность таких измерений всегда ограничена соотношениями Гейзенберга. Но сопряженные величины относятся к первой категории некоммутирующих величин: для них коммутатор постоянен. Можно ли прийти к аналогичным выводам для некоммутирующих величин второго рода, для которых коммутатор равен ненулевому оператору? Рассмотрим этот вопрос в наиболее важном с физической точки зрения случае, когда мы имеем дело с составляющими \( M_{x}, M_{y}, M_{z} \) углового момента \( \mathbf{M} \).

Для простоты будем говорить об электроне, вращающемся по круговой орбите, соответствующей одному магнетону Бора, с постоянной скоростью \( v \). Магнитный момент \( \mathscr{M} \) и угловой момент \( M \) для тока указанного вида даются выражениями
\[
\mathscr{M}=\frac{e}{c} \frac{v}{2 \pi R} \pi R^{2}=I S=\frac{e v R}{2 c}, \quad M=m_{0} v R
\]
(предполагается, что \( v \ll c \) ). Отсюда вытекает хорошо известная формула, справедливая, как показал Эйнштейн, для любой системы движушихся зарядов (в пренебрежении спином):
\[
\frac{\mathscr{M}}{M}=\frac{e}{2 m_{0} c},
\]

так что при \( M=h / 2 \pi \) мы имеем \( \mathscr{M}=e h / 4 \pi m_{0} c \).
Мы хотим найти \( M \), определив \( \mathscr{M} \) по эффекту взаимодействия тока с магнитометром, расположенным на расстоянии \( r \) от него.

Пусть \( \mu \) – магнитный момент стрелки магнитометра. Тогда поле, создаваемое магнитометром в месте нахождения данного тока, по порядку величины будет равно \( \mu / r^{3} \). Но чтобы точно измерить \( \mathscr{M} \), мы должны при помощи магнитометра точно определить магнитное поле, создаваемое данным током в том месте, где находится магнитометр. По порядку величины это поле равно \( \mathscr{M} / r^{3} \).
Поэтому мы должны знать поле с неопределенностью
\[
\Delta H=\frac{\mathscr{M}}{r^{3}} \eta, \quad \text { где } \quad \eta \ll 1,
\]

а следовательно, знать энергию магнитометра \( \mu \) – Н с неопределенностью, по порядку величины равной \( \Delta E=\mu \quad \Delta H=\mu\left(\mathscr{M} / r^{3}\right) \eta \). Тогда, согласно четвертому соотношению неопределенностей Гейзенберга, длительность эксперимента должна быть не меньше
\[
\Delta t=\frac{h}{\Delta E}=\frac{h r^{3}}{\mu \mathscr{M} \eta} .
\]

Но в этом промежутке времени рассматриваемый ток, находящийся в магнитном поле магнитометра \( \sim \mu / r^{3}=H^{\prime} \), будет прецессировать вокруг направления поля с угловой скоростью ларморовской прецессии
\[
\omega=\frac{e H^{\prime}}{2 m_{0} c} \text {. }
\]

В самом деле, если мы возьмем магнитик, эквивалентный данному току, и поместим его в поле \( H^{\prime} \), то по теореме об угловом моменте производная \( d \mathrm{M} / d t \) будет равна моменту силы, с которой магнитное поле \( \boldsymbol{H}^{\prime} \) действует на \( \mathscr{\mu} \) относительно точки 0 . Момент силы перпендикулярен вектору \( \mathbf{H}^{\prime} \), угол \( \theta \) между векторами М и Н’ постоянен в силу ‘формулы \( (d / d t)(M \cos \theta)=0 \), а потому в проекции на плоскость, перпендикулярную вектору \( \mathbf{H}^{\prime} \), получим
\[
\frac{d}{d t}\left[M \sin \theta\left\{\begin{array}{c}
\cos \varphi \\
\sin \varphi
\end{array}\right\}\right]=H^{\prime} \mathscr{M} \sin \theta\left\{\begin{array}{c}
-\sin \varphi \\
\cos \varphi
\end{array}\right\},
\]

откуда
\[
M\left\{\begin{array}{c}
-\sin \varphi \\
\cos \varphi
\end{array}\right\} \omega=H^{\prime} \mathscr{M}\left\{\begin{array}{c}
-\sin \varphi \\
\cos \varphi
\end{array}\right\},
\]

где \( \omega \) – угловая скорость прецессии магнита \( \mathscr{M} \) вокруг направления \( \mathrm{H}^{\prime} \). Таким образом,
\[
\omega=H^{\prime} \frac{\mathscr{M}}{M}=\frac{e H^{\prime}}{2 m_{0} c},
\]

что и требовалось доказать.
Угол поворота оси данного тока, т.е. угол поворота вектора \( \mathscr{\mu} \) вокруг вектора \( \mathrm{H}^{\prime} \) за время эксперимента будет равен
\[
\alpha=\omega \Delta t \approx \frac{e}{2 m_{0} c} \frac{\mu}{r^{3}} \frac{h r^{3}}{\mu \mathscr{M} \eta}=\frac{e h}{2 m_{0} c} \frac{1}{\mathscr{M}} \frac{1}{\eta}=\frac{2 \pi}{\eta}>2 \pi .
\]

Следовательно, ось данного тока за время опыта сделает большое число оборотов вокруг направления вектора \( \mathrm{H}^{\prime} \), так что измерить можно будет лиць составляющую вектора \( \mathscr{\mu} \), а значит, и вектора М в направлении \( \mathbf{H}^{\prime} \). Мы видим, что одну составляющую вектора \( M \) нельзя измерить одновременно с другой составляющей в согласии с тем, что составляющие вектора \( \mathbf{M} \) не коммутируют между собой. Но если обе величины \( \mathscr{\mu} \) и \( \boldsymbol{M} \) равны нулю, то магнитометр дает возможность убедиться в равенстве нулю всех трех составляющих данных векторов. В этом исключительном случае оказывается возможным одновременное измерение всех составляющих, что тоже согласуется с выводами общей теории.