Чтобы перейти к волновой механике для систем частиц, необходимо, как показал Шредингер, рассмотреть распространение волны в конфигурационном пространстве этой системы \( { }^{1)} \), а чтобы получить в качестве первого приближения такой волновой механики классическую механику, необходимо, чтобы в приближении геометрической оптики это распределение описывалось теорией Якоби.

Предполагается, что уравнение, описывающее распространение волны в конфигурационном пространстве, получается тем же формальным методом, что и в случае одной частицы. В качестве исходного берется классическое выражение для функции Гамильтона \( H\left(x_{1}, \ldots, z_{N}, p_{x 1}, \ldots, p_{z N}, t\right) \), соответствующей рассматриваемой системе, и эту функцию превращают в оператор, заменяя импульсы \( p_{x_{k}}, p_{y_{k}}, p_{z_{k}} \) операторами
\[
P_{x_{k}}=-\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial x_{k}}, \quad P_{y_{k}}=-\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial y_{k}}, \quad P_{z_{k}}=-\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial z_{k}} .
\]

В результате получают оператор Гамильтона, или гамильтониан,
\[
H\left(x_{1}, \ldots, z_{N},-\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial x_{1}}, \ldots,-\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial z_{N}}, t\right) \text {, }
\]

а в качестве уравнения, описывающего распространение волны, берется урав-
1) В 1926 г. де Броиль отказался это признать [I, 29], считая, что волны, связываемые с различными частицами системы, «имеют физическую реальность и должны описываться функциями трех пространственных координат и времени». В 1927 г. он впервые попытался построить заново теорию систем в физическом пространстве [I, 34]. Подобную же попытку он повторил 25 лет спустя вместе с Андраде э Сильвой. Но в то время, когда им писались эти строки, он безоговорочно придерживался точки зрения, ставшей общепринятой. – Л. Л.

нение
\[
H\left(x_{1}, \ldots, z_{N},-\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial x_{1}}, \ldots,-\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial z_{N}}, t\right) \psi=\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial \psi}{\partial t} .
\]

Таким образом, получаем
\[
\begin{array}{l}
\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{m_{k}}\left(\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x_{k}^{2}}+\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y_{k}^{2}}+\frac{\partial^{2} \psi}{\partial z_{k}^{2}}\right)- \\
-\frac{8 \pi^{2}}{h^{2}} V\left(x_{1}, \ldots, z_{N}, t\right) \psi=\frac{4 \pi i}{h} \frac{\partial \psi}{\partial t} .
\end{array}
\]

При \( N=1 \) это – уравнение для одной частицы.
В случае консервативных систем ( \( \partial V / \partial t=0 \) ) можно рассмотреть монохроматические решения, в которых зависимость от времени содержится лишь в множителе \( \exp [(2 \pi i / h) E t] \). Тогда уравнение (10) перепишется в виде
\[
\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{m_{k}} \Delta_{k} \psi+\frac{8 \pi^{2}}{h^{2}}\left[E-V\left(x_{1}, \ldots, z_{N}\right)\right] \psi=0 .
\]

Если в некоторой области конфигурационного пространства потенциальная энергия \( V \) (а следовательно, и показатель преломления) медленно меняется на расстояниях порядка длины волны, то допустимо приближение геометрической оптики и волна описывается приближенной формулой
\( \psi=a \exp \left[\frac{2 \pi i}{h}\left(E t-S_{1}\right)\right] \),
где \( a \) – медленно меняющаяся функция, производные которой малы по сравнению с производными функции \( S_{1} \). Подставив это выражение в уравнение, описывающее распространение волны, получим, что функция \( S_{1} \) должна удовлетворять уравнению Якоби для системы частиц, чем устанавливается связь с классической механикой.

Интересен случай, когда частицы системы не взаимодействуют между собой. Тогда их в равной мере можно рассматривать и как изолированные, и как образующие систему. Поскольку функция \( V \) сводится к членам \( V_{i}\left(x_{i}, y_{i}, z_{i}\right. \), \( t \) ), выражающим действие внешнего поля на отдельные частицы, уравнение для системы принимает вид
\[
\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{m_{k}} \Delta_{k} \psi-\frac{8 \pi^{2}}{h^{2}} \sum_{k} V_{k}\left(x_{k}, y_{k}, z_{k}, t\right) \psi=\frac{4 \pi i \partial \psi}{h \partial t} .
\]

Полагая \( \psi\left(x_{1}, \ldots, z_{N}, t\right)=\psi_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}, t\right) \ldots \psi_{N}\left(x_{N} y_{N}, z_{N}, t\right) \), получаем, что уравнение для системы распадается на \( N \) уравнений типа
\[
\frac{1}{m_{k}}\left(\frac{\partial^{2} \psi_{k}}{\partial x_{k}^{2}}+\frac{\partial^{2} \psi_{k}}{\partial y_{k}^{2}}+\frac{\partial^{2} \psi_{k}}{\partial z_{k}^{2}}\right)-\frac{8 \pi^{2}}{h^{2}} V\left(x_{k}, y_{k}, z_{k}, t\right) \psi_{k}=\frac{4 \pi i}{h} \frac{\partial \psi_{k}}{\partial t}
\]

откуда видно, что каждую частицу ‘можно рассматривать изолированно. Вместе с тем уравнение распространения допускает также в качестве решений произвольные линейные комбинации функций \( \Pi_{k} \psi_{k}\left(x_{k}, y_{k}, z_{k}, t\right) \). Подобного рода линейные комбинации характеризуют случай, когда частицы ранее взаимодействовали между собой, в связи с чем их последующие состояния не являются независимыми. В противоположность этому решению \( \Pi_{k} \psi_{k} \) характеризуют случаи, когда состояния независимы между собой.