В любом состоянии частицы (или системы частиц), характеризуемом волновой функцией \( \psi \) определенного вида, для любой физической величины \( A \) возможен целый ряд значений (результатов измерения величины \( A \) ), имеющих определенную вероятность. Поэтому можно рассматривать «среднее значение» \( \bar{A} \) величины \( A \), равное математическому ожиданию, которое соответствует измерению величины \( A \).

Пусть \( \alpha_{i} \) – собственные значения, а \( f_{i} \) – собственные функции оператора \( A \). Тогда среднее значение \( \bar{A} \), согласно сформулированным выше общим принципам, будет определяться формулой \( \bar{A}=\sum_{i} \alpha_{i}\left|c_{i}\right|^{2} \). Можно также написать (в чем нетрудно убедиться, подставив \( \psi=\sum_{i} c_{i} \varphi_{i} \) и учитывая ортонормированность функций \( \varphi_{i} \) )
\( \bar{A}=\int_{D} \psi^{*} A \psi / d \tau \)
что позволяет вычислять \( \bar{A} \) по известной функции \( \psi \).
Определив среднее значение случайной величины \( A \), можно легко найти соответствующую дисперсию (в смысле тоории вероятностей), т.е. квадратный корень из среднего квадрата отклонения \( { }^{1)} \). Обозначив дисперсию через \( \sigma_{A} \), получим
\[
\sigma_{A}=\sqrt{\overline{(A-\bar{A})^{2}}}=\sqrt{\overline{A^{2}}-2 \bar{A} \bar{A}+\bar{A}^{2}},
\]

или
\[
\sigma_{A}^{2}=\int_{D} \psi^{*} A^{2} \psi d \tau-\left(\int_{D} \psi^{*} A \psi d \tau\right)^{2} .
\]

Рассмотрим теперь две физические величины \( A \) и \( B \), характеризующие частицу. Величине \( A \) соответствуют собственные значения \( \alpha_{i} \) и собственные функции \( \varphi_{i} \), а величине \( B \) – собственные значения \( \beta_{k} \) и собственные функции \( \chi_{k} \). Если разлсжение волновой функции в виде \( \psi=\sum_{i} d_{i} \varphi_{i} \) подставить в выражение для \( \bar{B} \), то получим
\[
\bar{B}=\sum_{i k} d_{i}^{*} d_{k} b_{i k}^{\varphi} .
\]

Здесь \( b_{i k}^{\varphi} \) – элемент (с индексами \( i \) и \( k \) ) матрицы, порождаемой оператором \( B \) в системе базисных функций \( \varphi_{k} \). Таким образом, среднее значение величины \( B \) всегда можно представить в виде линейной комбинации элементов матрицы,
1) Вообще говоря, дисперсией в теории вероятностей и в математической статистике называют квадрат величины \( \sigma \), но здесь и далее это не имеет принципиального значения. – Прим. ред.

порождаемой оператором \( B \) в системе собственных функций оператора \( A \).
В частности, если частица (или система частиц) находится в одном из собственных состояний оператора \( A \) (что имеет место после точного измерения физической величины \( A \) ), то \( \psi=d_{i} \varphi_{i} \), где \( \left|d_{i}\right|=1 \), т.е.
\[
\bar{B}=b_{i i}^{\varphi},
\]

Отсюда следует теорема: диагональный элемент с индексамй \( i \) матрицы, порождаемой оператором \( B \) в системе собственных функций оператора \( A \), равен среднему значению величины \( B \) для случая, когда известно, что величина \( \boldsymbol{A} \) имеет точное значение \( \alpha_{i} \).

Эта теорема придает физический смысл диагональным элементам квантовомеханических матриц. Другая теорема позволит нам приписать физический смысл и недиагональным элементам.

Снова предположим, что частица находится в состоянии \( \psi=\varphi_{i} \). Как мы только что видели, \( b_{i} \) есть среднее значение величины \( B \) в этом состоянии. Тогда среднее значение величины \( B^{2} \) будет равно
\[
\overline{B^{2}}=\int_{D} \varphi_{i}^{*} B^{2} \varphi_{i} d \tau=\left(B^{2}\right)_{i i}^{\varphi}=\left(b^{2}\right)_{i i}^{\varphi} .
\]

Но из правила умножения матриц следует, что
\[
\left(b^{2}\right)_{i i}^{\varphi}=\sum_{j} b_{i j}^{\varphi} b_{j i}^{\varphi}=\left(b_{i i}^{\varphi}\right)^{2}+\sum_{j
eq i} b_{i j}^{\varphi} b_{j i}^{\varphi}=\left(b_{i i}^{\varphi}\right)^{2}+\sum_{j
eq i}\left|b_{i j}^{\varphi}\right|^{2},
\]

поскольку матрица \( B \) эрмитова, так что
\[
\sigma_{B}^{2}=\overline{B^{2}}-(\bar{B})^{2}=\sum_{j
eq i}\left|b_{i j}^{\varphi}\right|^{2}=\sum_{j
eq i}\left|b_{j i}^{\varphi}\right|^{2},
\]

откуда следует теорема: если матрица физической величины \( B \) строится в системе собственных функций \( \varphi_{i} \) другой физической величины \( A \), то сумма квадратов модулей недиагональных элементов, входящих в \( i \)-ю строку (или в \( i \)-й столбец) матрицы \( B \), равна квадрату дисперсии \( \sigma_{B} \) величины \( B \) при условии, что величина \( A \) имеет точное значение \( \alpha_{i} \). Эта теорема придает физический смысл недиагональным элементам.

Если собственные функции \( \chi_{i} \) оператора \( B \) совпадают с собственными функциями \( \varphi_{i} \) оператора \( A \) (как мы увидим, необходимым условием для этого является равенство \( [A, B]=0 \) ), то в состоянии \( \psi=\varphi_{i}=\chi_{i} \) величина \( B \) имеет точное значение \( \beta_{i} \), соответствующее собственной функции \( \chi_{i} \), и матрица \( B^{\varphi} \) является диагональной. В этом случае \( \sigma_{B}=0 \).