Основываясь на доказанных выше теоремах и на их следствиях, рассмотрим вопрос об одновременном измерении двух величин.

В новой механике всякой физической величине ставится в соответствие эрмитов оператор. Если имеются некая физическая величина и соответствуюший ей оператор \( A \), то очень важно различать величины, операторы которых коммутируют с оператором \( A \), и величины, операторы которых не коммутируют с оператором \( A \). Важность такого различия вытекает из того, что две механические величины могут быть одновременно измерены в том и только в том случае, если их операторы коммутируют Именно это мы и собираемся сейчас доказать.

Будем исходить из принципиально важного постулата квантовой механики о том, что всякое состояние частицы или системы частиц в любой момент времени должно характеризоваться волновой функцией \( \psi \), которая на самом деле характеризует то, что нам известно об этой частице или системе. Любая операция измерения или наблюдения, проводимая над микроскопической системой, изменяет состояние наших знаний о частице или системе и потому резко изменяет форму функций \( \psi \). Однако состояние частицы должно характеризоваться волной \( \psi \) не только до измерения, но и после него – вот фундаментальный постулат волновой механики, который необходимо отметить. Сразу же после измерения или наблюдения, которые дают нам некоторые сведения о состоянии атомной системы, недоступной нашему непосредственному восприятию, мы можем приписать волне \( \psi \) некоторую форму, характеризующую состояние наших знаний. Если начиная с этого момента никаких других наблюдений или измерений не делается, то волна \( \psi \) меняет первоначальную форму в соответствии с основным уравнением волновой механики, причем это изменение строго детерминировано.

Если спустя некоторое время новое измерение или наблюдение дает нам для физической величины \( A \) точное значение \( \alpha_{i} \), то в силу наших общих принципов это значение будет одним из собственных значений оператора \( A \), а волновая функция \( \psi \) после измерения должна быть пропорциональна собственной функции \( \varphi_{i} \), соответствующей собственному значению \( \alpha_{i} \). Если мы сразу же повторим измерение величины \( A \), то из общих соображений можно сказать, что мы снова получим числовое значение \( \alpha_{i} \) (повторимость измерения). Поэтому, чтобы можно было одновременно точно измерить физическую величину \( A \) и другую величину \( B \) с собственным значением \( \beta_{i} \) и собственной функцией \( \chi_{i} \), необходимо, чтобы после измерения волновая функция \( \psi \) была одновременно пропорциональна одной из функций \( \varphi_{i} \) и одной из функций \( \dot{\chi}_{i} \). В противно́м случае представление наших знаний после измерения с помошью некой волновой функции \( \psi \) было бы невозможным.

Применим эти рассуждения сначала к двум полным операторам \( A \) и \( B \). Чтобы соответствующие величины можно было точно измерить, необходимо, чтобы пбсле измерения выполнялось соотношение \( \psi=a_{i} \varphi_{i}=b_{i} \chi_{i} \), где \( \left|a_{i}\right|=\left|b_{i}\right|=1 \). Тем самым устанавливается взаимно однозначное соответствие между \( \alpha_{i} \) и \( \beta_{i} \) (соответствие между величинами \( \alpha \) и \( \beta \) с одинаковыми индексами). Таким образом, система \( \varphi_{i} \) должна совпадать с системой \( \chi_{i} \), а мы знаем, что необходимым и достаточным условием для этого является выполнение соотношения \( A B=B A \). Точное и одновременное измерение физических величин \( A \) и \( B \) возможно лишь в том случае, если сопоставляемые им операторы коммутируют между собой. В этом случае результаты измерения двух величин взаимосвязаны: зная один из них, мы знаем и другой, по крайней мере в отсутствие вырожденных собственных значений:

Рассмотрим далее случай, когда оператор \( A \) полный, а \( B \) – неполный (случай 2, с. 90). Мы хотим, чтобы после измерения выполнялось соотношение \( \psi=a_{i} \varphi_{i}=f_{i k}(y, \ldots) x_{k}(x, \ldots) \), где
\[
\left|a_{i}\right|=1, \int \ldots \int\left|f_{i k}\right|^{2} d y=1
\]

при любых значениях \( i \). Необходимое и достаточное условие для этого попрежнему имеет вид \( A B=B A \). Но в этом случае два одновременных измерения не всегда полностью взаимосвязаны, ибо, как мы видели, одному значению \( k \) может соответствовать несколько значений \( i \). Поэтому, зная результат \( \beta_{k} \) измерения \( B \); мы, вообще говоря, не можем сказать, каково значение \( \alpha_{i} \) наблюдаемой \( A \).

Рассмотрим теперь случай, когда оба оператора \( A \) и \( B \) неполные. Воспользуемся здесь обозначениями случая 3 (с. 93). Чтобы наблюдаемые \( A \) и \( B \) можно было точно одновременно измерить, после измерения должно выполняться равенство
\[
\psi=f_{j i}(z, \ldots, u, \ldots) \varphi_{i}(x, \ldots, y, \ldots)=g_{j k}(x, \ldots, u, \ldots) x_{k}(z, \ldots, y, \ldots)
\]
(при любых значениях индекса \( i \) ) с дополнительными условиями

I
\[
\begin{array}{l}
\int \cdots \int\left|f_{j i}(z, \ldots, u, \ldots)\right|^{2} d u d z=1 \\
\int \cdots \int\left|g_{i k}(x, \ldots, u, \ldots)\right|^{2} d u d x=1
\end{array}
\]

Согласно доказанному выше в случае 3 (с. 93), необходимым и достаточным условием этого является равенство \( A B=B A \). Здесь два измерения связаны между собой слабее, чем в предыдущем случае, поскольку может существовать несколько значений индекса \( j \), соответствующих одному и тому же значению \( i \), и несколько значений \( j \), соответствующих одному и тому же значению \( k \). Зная результат одного измерения, вообще говоря, нельзя сказать, каков будет результат другого.

Наконец, предположим, что \( A \) и \( B \) – независимые операторы. Тогда они должны коммутировать между собой, и, добавив к ним оператор \( C \), зависящий от переменных, не содержащихся в \( A \) и \( B \), мы получим полную систему базисных функций всех переменных, взяв для этого собственные функции \( \omega_{j} \) полного оператора \( A B C \). После измерения функция \( \psi \) может свестись к одной из функций \( \omega_{j} \), т.е. принять вид
\[
\psi=c_{j} \omega_{j}=c_{j} \lambda_{l}(u, \ldots) \varphi_{i}(x, \ldots) \chi_{k}(y, \ldots),
\]

где \( \left|c_{j}\right|=1 \), а \( i, k \), \( l \) принимают любые целые значения. Это означает, что физические величины \( A \) и \( B \) всегда можно измерить одновременно и что результаты двух одновременных измерений совершенно независимы. Зная результат одного из них, мы ничего не можем сказать о результате другого.

Итак, необходимым и достаточным условием одновременной измеримости двух физических величин \( A \) и \( B \) является коммутируемость соответствующих им операторов. Результаты одновременного измерения \( A \) и \( B \), если последнее возможно, в большей или меньшей степени связаны между собой в зависимости от того, полные операторы или неполные.

Соображения, относящиеся к случаю независимых операторов, приводят нас к понятию «максимального измерения». Предположим, что частица или система частиц характеризуется \( n \) координатами \( x_{1}, \ldots, x_{n} \). Каждой координате \( x_{i} \) поставим в соответствие измеряемую величину, оператор которой \( A_{i} \) зависит лишь от переменной \( x_{i} \). Пусть \( \alpha_{k}^{(i)} \) и \( \varphi_{k}^{(i)} \) – собственные значения и собственные функции оператора \( A_{i} \).

Перемножением всех \( A_{i} \) образуем полный оператор \( \prod_{i=1}^{n} A_{i} \). Его собственными функциями будут произведения
\[
\omega_{j}=\prod_{i=1}^{n} \psi_{j}^{(i)}\left(x_{i}\right)
\]

Поскольку операторы \( A_{i} \) независимы, соответствующие величины одновременно измеримы. Предположим, что мы определили все эти величины в результате одного акта измерения. После такого измерения функция \( \psi \) будет иметь вид
\[
\omega_{j}=\prod_{i=1}^{n} \varphi_{j}^{(i)}\left(x_{i}\right)
\]
где предполагается, что измерение величины \( A_{i} \) дало собственное значение \( \alpha_{k}^{(i)} \), соответствующее собственной функции \( \varphi_{k}^{(i)} \). В таком случае говорят, что произведено «максимальное» измерение, полностью определяющее функцию \( \psi \) и, следовательно, вероятности всевозможных значений всех измеряемых функций, сопоставляемых системе. Измерение другой физической величины \( B \) одновременно с величинами \( A_{i} \) либо невозможно, если оператор \( B \) не коммутирует с произведением операторов \( \boldsymbol{A}_{i} \), либо возможно (если он коммутируегі). Но последний случай не представляет интереса, поскольку это дополнительное измерение ничего нового не добавит к описанию состояния системы, «максимальную» информацию о которой уже дало нам одновременное измерение всех \( A_{i} \).