В предыдущем разделе мы исходили из предположения о том, что для двух случайных величин существует некая функция распределения \( F(x, y) \) или же (в случае непрерывного распределения) плотность распределения \( \rho(x, y) \), и получили ряд следствий. Все эти выводы, взятые вместе, основаны на неявном предположении, что измерение одной из величин \( X \) и \( Y \) не меняет состояния, существовавшего до измерения, и что оно есть лишь констатация определенного значения случайной величины. Необходимо глубже проанализировать данный момент, поскольку он играет важную роль в волновой механике. Мы начнем наш анализ со случая непрерывного распределения, а обобщение на дискретный и на общий случай не представит труда.

Для конкретности предположим, что мы хотим установить корреляцию между ростом и өкружностью груди человека. За случайную величину \( X \) примем рост, а за случайную величину \( Y \) – окружность груди и измерим эти две величины у очень большого числа лиц (например, призывников на медкомиссии). Тогда можно будет ввести плотность распределения вероятностей \( \rho(x, y) \), такую, что совместная вероятность обнаружения роста в интервале от \( x \) до \( x+d x \) и окружности груди в интервале от \( y \) до \( y+d y \) будет равна \( \rho(x, y) d x d y \) (причем, естественно, \( \int_{-\infty}^{\infty} \rho d x d y=1 \) ).

Совершенно очевидно, что здесь измерение носит характер простой констатации, так как невозможно представить себе, чтобы операция измерения роста призывника могла изменить окружность груди или рост и окружность груди других призывников. Тогда функции
\( \rho_{X}(x)=\int_{-\infty}^{\infty} \rho(x, y) d y, \quad \rho_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{\infty} \rho(x, y) d x \)
будут плотностями распределений вероятностей обнаружения роста и окружности груди, рассматриваемых как независимые переменные. Формулами
\[
\rho_{X}^{(Y)}(x, y)=\frac{\rho(x, y)}{\rho_{Y}(y)}, \quad \rho_{Y}^{(X)}(x, y)=\frac{\rho(x, y)}{\rho_{X}(x)}
\]

будут определяться условные вероятности, смысл которых таков: вероятность обнаружить рост в интервале от \( x \) до \( x+d x \) в группе призывников сокружностью груди \( y \) равна \(
\rho_{X}^{(Y)}(x, y) d x \). Аналогично интерпретируется величина \( \rho_{Y}^{(X)}(x, y) \).

Но предположим, хотя это и неправдоподобно, что измерение роста призывника приводит к изменению окружности его груди и наоборот. В этом случае полученные формулы теряют силу. Одновременное измерение \( X \) и \( Y \) станет невозможным по той причине, что одна из величин изменяется при измерении другой. Очевидно, что можно провести последовательное измерение двух величин, но тогда становится весьма существенным порядок измерения. Можно было бы, измерив только \( X \), определить плотность распределения \( \rho_{X}(x) \) и, измерив только \( Y \), определить \( \rho_{Y}(y) \). Но если после измерения случайной величины \( X \) будет измерена величина \( Y \), то мы придем к плотности распределения
\( \rho_{Y}^{\prime}(y)=\int_{-\infty}^{\infty} \rho_{X}(x) \rho_{Y}^{(X)}(x, y) d x \),
где \( \rho_{Y}^{(X)}(y, x) \) – плотность распределения вероятностей значений случайной величины \( Y \) для группы призывников, у которых нашли \( X=x \) при первом измерении. В теоремах о полных вероятностях и вероятностях сложных событий содержится полученная формула, но нет никакой гарантии, что функция \( \rho_{Y}^{\prime}(y) \) окажется равной \( \rho_{Y}(y) \). Также нет причин для равенства распределения вероятностей \( Y \) после измерения \( X \) распределению вероятностей \( Y \), соответствующему прямому измерению этой случайной величины, поскольку измерение величины \( X \) уже не является простой констатацией его значения, но приводит к возмущению вероятностных состояний. То же самое можно сказать об измерении сначала \( Y \), а затем \( X \). Вероятность получить значение \( x \) величины \( X \) в этом случае будет определяться по формуле
\( \rho_{X}^{\prime}(x)=\int_{-\infty}^{\infty} \rho_{Y}(y) \rho_{X}^{(Y)}(x, y) d y \),
являющейся следствием общих теорем теории вероятностей. Здесь \( \rho_{X}^{(n)}(x, y)- \) плотность распределения вероятностей значений \( x \) роста в группе призывников, для которых при первом измерении было получено значение окружности груди \( Y=y \). Нет никаких причин, по которым должны были бы равняться друг другу величины \( \rho_{X}^{\prime}(x) \) и \( \rho_{X}(x) \).

Может ли в таком случае существовать функция \( \rho(x, y) \) ? Во всяком случае эта функция уже не может иметь того смысла, что одновременное измерение величин \( X \) и \( Y \) даст с вероятностью \( \rho(x, y) d x d y \) значение \( X \) в интервале от \( x \) до \( x+d x \) и значение \( Y \) в интервале от \( y \) до \( y+d y \), так как одновременное измерение величин \( X \) и \( Y \) невозможно. Правда, ничто не мешает существованию такой функции \( \rho(x, y) \), что
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \rho(x, y) d x=\rho_{Y}(y), \quad \int_{-\infty}^{\infty} \rho(x, y) d y=\rho_{X}(x),
\]

где \( \rho_{Y}(y) \) и \( \rho_{X}(x) \) – плотности распределений вероятностей, соответствующие
прямым измерениям случайных величин \( X \) и \( Y \). Однако плотность распределения \( \rho_{Y}^{\prime}(y) \) для измерения \( Y \) после измерения \( X \) и плотность распределения \( \rho_{X}^{\prime}(x) \) для измерения \( X \) после измерения \( Y \) будут отличны от плотностей \( \rho_{Y}(y) \) и \( \rho_{X}(x) \). Вероятности \( \rho_{Y}^{(X)}(x, y) \) и \( \rho_{X}^{(Y)}(x, y) \), входяцие в выражения для \( \rho_{Y}^{\prime}(y) \) и \( \rho_{X}^{\prime}(x) \), не будут больше равны \( \rho(x, y) / \rho_{X}(x) \) и \( \rho(x, y) / \rho_{Y}(y) \), так как в противном случае мы получили бы соотношения
\( \rho_{X}(x)=\rho_{X}^{\prime}(x), \quad \rho_{Y}(y)=\rho_{Y}^{\prime}(y) \),
которые теперь не обязаны выполняться; ибо измерения величин \( X \) и \( Y \) не сводятся больше к простой констатации значений случайных величин, а приводят к возмущениям вероятностных состояний. Из всего этого следует, что в данном случае, даже если можно найти функцию \( \rho(x, y) \), такую, что
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \rho d x=\rho_{Y}(y), \int_{-\infty}^{\infty} \rho d y=\dot{\rho}_{X}(x),
\]

то эта функция не будет больше иметь того вполне определенного смысла, который она имела в предыдущих наших рассуждениях, и, в частности, она не даст возможности вычислять функции \( \rho_{X}^{(Y)}(x, y), \rho_{Y}^{(X)}(x, y), \rho_{X}^{\prime}(x), \rho_{Y}^{\prime}(y) \).

Но нас могут спросить, какой смысл рассматривать столь странный случай, в котором измерение роста призывника приводило бы к изменению окружности его груди? В обычной нашей практике, т. е. во всех вероятностных задачах на макроскопическом уровне, такой случай, по-видимому, не встречается. Приведем другой пример из классической области – когда в двух ящиках имеется определенное число золотых и серебряных монет. Гипотеза, о которой идет речь, означала бы, что открывание одного из ящиков меняет распределение монет между обоими ящиками, и это тоже трудно себе представить. Но то, что кажется странным с точки зрения макроскопической физики (в которой обычно пользуются математической статистикой), становится правилом в микрофизике, когда величины \( X \) и \( Y \) являются канонически сопряженными (некоммутирующими) и когда уже нельзя в своих рассуждениях вводить функцию \( \rho(x, y) \), молчаливо предполагая, что измерение есть лишь простая констатация \( { }^{1)} \).
1) Автор повторяет здесь анализ, опубликованный ранее в статье «Статистика чистых состояний» [V, 44; III, 9]. Именно в ходе такого анализа он пришел к мысли, исключительно важной для теорий со скрытыми параметрами, о том, что статистические распределения таких параметров (которые непременно должны подчиняться законам классической статистики) сами должны быть скрытыми и не могут совпадать со статистическими распределениями результатов измерений, вычисляемыми в квантовой механике. Мы обнаружим эту идею в зачаточной форме в данной книге в конце примечания по поводу теоремы фон Неймана. На это будет обращено внимание читателя в соответствующем месте. Позднее автор широко разработал эту идею в своей книге «Теория измерений» [II, 27, 33]. – Ж.Л.

Обзор основных представлений волновой механики \( { }^{1)} \)

Волновая механика исходит из представления о том, что с каждой частицей можно мысленно связать волну, математически описываемую некоторой функцией \( \psi(x, y, z, t) \); другими словами, она связывает понятие частицы с понятием «поля», принятым в теории поля (поле \( \psi \) ).

Функция \( \psi \) должна удовлетворять некоему волновому уравнению, которым в каком-то смысле должно заменяться уравнение классической механики. Здесь мы будем иметь дело лишь с нерелятивистской формой волновой механики; обобщение всего изложенного на релятивистский случай можно будет осуществить на базе теории Дирака и аналогичных теорий для частиц со спином, большим \( 1 \frac{1}{2} \). Этих вопросов мы пока касаться не будем.

Рассмотрим частицу с массой \( m \), движущуюся в сұловом поле, определяемом заданием потенциальной энергии \( U(x, y, z, t) \). Пусть \( \mathbf{p} \) – импульс частицы, а \( E \) – ее энергия, определяемая как сумма кинетической и потенциальной
1) Автор, несомненно, переписал бы эту главу, в которой во многих местах повторяется то, что уже излагалось в первой части книги, ибо данная глава соответствует лекциям, не прочитанным в том же году. Мы позволили себе опустить некоторые места такого рода: с. \( 34-42 \) рукописи, где повторяется соответствующий раздел главы «Общий формализм волновой механики», с. 42 – 47, где повторяется часть главы «Общие принципы вероятностной интерпретации», с. 48,49 , где речь идет о соотношениях неопределенностей, с. 50 – 59 , где повторяется раздел «Алгебраические матрицы и их свойства», с. \( 60-64 \), где обсуждаются «Точная форма соотношений неопределенностей» и операторы «Углового момента». Мы почти полностью опустили с. \( 65-70 \), где повторяется изложение «Волновой механики системы частиц», но оставили замечание о конфигурационном пространстве (с. 69 рукописи), которое приводим далее в этой книге в виде примечания с указанием источника; наконец, на с. 78 и 79 снова рассматривалась проблема коммутируемости операторов, которая уже была рассмотрена выше. То, что мы оставили из данной главы, не совсем свободно от повторений, но этот материал служит дополнением к первой части книги и, кроме того, позволяет проследить эволюцию взглядов автора за время, истекшее после написания первой части. – Прим. издателей (С. Динера, Д. Фарга, Ж. Лошака).

Глава XII
энергий:
\[
E=\frac{1}{2} m v^{2}+U(x, y, z, t)=\frac{1}{2 m}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}\right)+U(x, y, z, t) .
\]

Как известно, функцией Гамильтона называется полная энергия, представленная в виде функции \( H\left(x, y, z, p_{x}, p_{y}, p_{z}, t\right) \) координат, импульсов и времени. В данном случае
\[
H\left(x, y, z, p_{x}, p_{y}, p_{z}, t\right)=\frac{1}{2 m}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}\right)+U(x, y, z, t) .
\]

Развитие волновой механики показало, что волновое уравнение для волн \( \psi \) можно получить, исходя из функции Гамильтона, следующим образом. Сначала заменим в выражении для \( H \) каждый из импульсов \( p_{q} \) оператором – \( (h / 2 \pi i)(\partial / \partial q) \), а каждую из координат \( q \) – оператором \( q \times \), что даст нам oператор
\[
H_{\text {onep }}\left(x, y, z, t,-\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial x},-\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial y},-\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial z}\right),
\]

называемый оператором Гамильтона или просто гамильтонианом. Затем напишем уравнение
\[
\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial \psi}{\partial t}=H_{\text {oпер }} \psi
\]

где \( \psi \) – волновая функция, и тем самым мы получим волновое уравнение для рассматриваемой частицы.
Можно придать этому уравнению более конкретную форму; учитывая, что
\[
H_{\text {опер }}=-\frac{h^{2}}{8 \pi^{2} m}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}\right)+U(x, y, z, t),
\]

получаем волновое уравнение
\[
\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{h^{2}}{8 \pi^{2} m} \Delta \psi+U \psi, \text { или } \Delta \psi-\frac{8 \pi^{2} m}{h^{2}} U \psi=\frac{4 \pi i m}{h} \frac{\partial \psi}{\partial t} .
\]

Это уравнение в частных производных, являющееся уравнением первого порядка по отношению к времени, в принципе дает возможность находить вид волновой функции \( \psi(x, y, z, t) \) в момент \( t \), если известен ее вид в начальный момент времени \( t_{0} \).