Волновая механика должна давать возможность вычислять собственные значения физических величин (наблюдаемых), сопоставляемых с частицей (или, при естественном обобщении, с системой частиц). Но в волновой механике состояние частицы (или, точнее говоря, состояние наших знаний о частице) описывается волновой функцией \( \psi(x, y, z, t) \), являющейся решением волнового уравнения (мы будем предполагать, что она нормирована к единице). Кроме того, в волновой механике всякой физической величине, характеризующей частицу, сопоставляется линейный эрмитов оператор, позволяющий определить совокупность действительных чисел (собственных значений этого оператора) и полную систему функций (его собственных функций). Таким образом, мы можем сформулировать два фундаментальных принципа, лежащих в основе физической интерпретации волновой механики.

Принцип \( 1^{1)} \). Возможные значения физической величины, т.е. различные возможные результаты измерения этой величины, являются собственными значениями линейного эрмитова оператора, соответствующего этой величине. (Принцип квантования.)

Принцип 2. Если состояние частицы характеризуется определенной волновой функцией \( \psi(x, y, z, t) \), удовлетворяющей волновому уравнению, то вероятность того, что при измерении в момент времени \( t \) физической величины, соответствующей полному линейному эрмитову оператору \( A \) с невырожденными собственными значениями, будет получено определенное собственное значение, равна квадрату модуля коэффициента при соответствующей собственной функции в разложении функции \( \psi \) по нормированным собственным функциям оператора \( A \). (Принцип обобщенного спектрального разложения.)
1) В противоположность большинству других авторов, де Бройль не рассматривает эти принципы как априорные, но пытается вывести их, исходя из волновой теории. Он не требует, чтобы любой эрмитов оператор соответствовал некой наблюдаемой, а лишь предполагает, что если нам известна наблюдаемая, то ее можно представить оператором. Читатель, воспитанный на стандартных курсах квантовой механики, поступит неправильно, если просто пролистает эти страницы как само собой разумеющееся. В действительности именно они дают возможность понять основания квантового формализма. – Ж. л.

Иначе говоря, если функция \( \psi \) разлагается по собственным функциям и собственным дифференциалам оператора согласно формуле
\[
\psi(x, y, z t)=\sum_{i} c_{i} \varphi_{i}+\sum_{\Delta \alpha} c(\alpha) \int_{\alpha}^{\alpha+\Delta \alpha} \varphi(x, y, z, \alpha) d \alpha,
\]

то вероятность получить собственное значение \( \alpha_{i} \) равна \( \left|c_{i}\right|^{2} \), а вероятность получить собственное значение, лежащее в пределах от \( \alpha \) до \( \alpha+\Delta \alpha \), равна \( |c(\alpha)|^{2} \Delta \alpha \).

Как нетрудно убедиться, в силу предполагаемой нормированности волновой функции \( \psi \) полная вероятность всех возможных исходов в точности равна единице. Разумеется, вероятности различных возможных собственных значений могут быть функциями параметра \( t \).

Если оператор \( A \) имеет вырожденные собственные значения, то формулировка второго принципа должна быть дополнена. Пусть \( \alpha_{i} \) – вырожденное собственное значение, которому соответствуют \( p \) нормированных, ортогональных, линейно-независимых собственных функций \( \varphi_{i 1}, \varphi_{i 2}, \ldots, \varphi_{i p} \). Тогда вероятность получить в момент времени \( t \) значение \( \alpha_{i} \) физической величины будет равна сумме квадратов модулей козффициентов при \( \varphi_{i 1}, \ldots \), \( \varphi_{i p} \) в разложении функции \( \psi \), т.е. \( \sum_{j=1}^{p}\left|c_{i j}\right|^{2} \). Ках нетрудно убедиться, это выражение не зависит от произвола в выборе собственных функций \( \varphi_{i 1} \ldots \varphi_{i p} \), что вполне естественно.

Если оператор \( \boldsymbol{A} \) является неполным, то формулировка второго принципа должна быть видоизменена. В самом деле, в этом случае собственные функции оператора \( A \) не являются функциями всех переменных \( x, y, z \), в связи с чем коэффициенты \( c_{i} \) и \( c(\alpha) \) могут быть функциями переменных, не входящих в оператор \( A \). Тогда вероятность получить некоторое собственное значение может и не равняться \( \left|c_{i}\right|^{2} \), поскольку эта величина зависит еще и от других переменных. Чтобы найти эту вероятность, нужно проинтегрировать указанные выше выражения по переменным, от которых не зависит оператор \( A \). Как нетрудно убедиться, после такого видоизменения полная вероятность (получить какое-либо из всевозможных собственных значений) по-прежнему будет равна единице.

Простым примером применения наших двух принципов может служить случай, когда \( H \) – полный оператор. Если оператор \( H \) не зависит от времени, то у него имеются постоянные собственные значения \( E_{i} \) и собственные функции \( \varphi_{i} \). Измерение энергии может дать нам лишь одно из значений \( E_{i} \), и если \( \psi=\sum_{i} c_{i} \varphi_{i} \), то вероятность получить значение \( E_{i} \) будет равна \( \left|c_{i}\right|^{2} \). В результате мы снова приходим к идее квантования атомных систем и к принципу спектрального разложения Борна. Если спектр дискретен, то мы получаем дискретную последовательность стационарных состояний с квантованными энергиями.

Рассмотрим другой случай, а именно координату \( \boldsymbol{x} \) частицы, которой соответствует оператор «умножения на \( x \) \”. Уравнение на собственные значения

имеет вид \( x \varphi=\alpha \varphi \). Решение этого уравнения при всех действительных значениях \( x \) может быть записано в виде \( \varphi(x, \alpha)=\delta(x-\alpha) \), где \( \delta(x-\alpha)- \) сингулярная функция Дирака, обращающаяся в нуль при всех \( x
eq \alpha \). Тогда в силу первого принципа при измерении \( x \) может получаться любое действительное число, заключенное между \( -\infty \) и \( +\infty \). При этом собственные дифференциалы соответствующего непрерывного спектра
\[
\int_{\alpha}^{+\Delta \alpha} \delta(x-\alpha) d \alpha
\]

образуют полную систему, удовлетворяющую условию ортонормированности. Из очевидной формулы
\[
\psi(x, y, z, t)=\int_{-\infty}^{+\infty} \psi(\alpha, y, z, t) \delta(x-\alpha) d \alpha
\]

следует, что вероятность при измерении координаты \( x \) в момент времени \( t \) получить значение, лежащее в пределах от \( \alpha \) до \( \alpha+\Delta \alpha \), равна
\( \Delta \alpha \int_{-\infty}^{+\infty}|\psi(\alpha, y, z, t)|^{2} d y d z \)
Отсюда легко получить, что вероятность обнаружения частицы в момент времени \( t \) в элементе объема \( d \tau \), содержащем точку \( x, y, z \), равна \( l \psi(x, y, z \), \( t)\left.\right|^{2} d \tau \). Полная вероятность (вероятность нахождения частицы в какой-либо из доступных для нее точек пространства \( D \) ) равна единице \( { }^{l)} \), поскольку
\[
\int_{D}|\psi|^{2} d \tau=1 \text {. }
\]

В дальнейшем мы подробно остановимся на выводе соотношений неопределенностей Гейзенберга из общих принципов, сформулированных выше \( { }^{2} \).
1) Это и есть физическое требование нормированности функции \( \psi \). Как мы увидим далее, из общих принципов можно вывести, что две физические величины \( A \) и \( B \) могут быть измерены одновременно лишь в том случае, если \( A B=B A \). Отсюда следует, что канонически сопряженные переменные \( p \) и \( q \) не могут быть измерены одновременно. – Л. Б.
2) Понятие суперпозиции. Всякая собственная функция \( \varphi_{i} \) оператора \( A \) описывает некое состояние системы, в котором физическая величина \( A \) с определенностью имеет точное числовое значение \( \alpha_{i} \). В общем случае волновая функция \( \psi \) для системы не сводится лишь к одной функции \( \varphi_{i} \), но представляет собой линейную комбинацию таких функций: \( \psi=\sum_{i} c_{i} \varphi_{i} \). Тогда говорят, что \( \psi \) есть «суперпозиция» функций \( \varphi_{i} \). Этот термин заимствован из классической теории колебаний, где имеется «принцип суперпозиции малых колебаний», но здесь он имеет уже иной смысл. Здесь речь больше не идет о колебаниях среды, получаемых путем сложения отдельных элементарных колебаний. В данном случае его смысл таков. Если волновая функция \( \varphi \) системы имеет вид \( \psi= \) \( =\sum_{i} c_{i} \varphi_{i} \) и если мы хотим установить ее состояние \( \varphi_{i} \), измеряя величину \( A \), то мы