Чтобы подготовиться к переходу к волновой механике, кратко остановимся на распространении монохроматических волн в изотропной среде, характеризуемой неким показателем преломления и обладающей дисперсией.
Допустим, что распространяюшиеся волны описываются уравнением

\( \Delta \psi=\frac{1}{\mathscr{V}^{2}} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}} \),

где \( \psi \) – волновая функция, а \( \mathscr{V} \) – некая функция положения \( x, y, z \) и частоты \(
u \) волны. Величина \( \mathscr{V} \) – это скорость распространения фазы, или просто скорость распространения волны. Запишем монохроматическую волну в комплексном виде
\( \psi=u(x, y, z) e^{2 \pi i v t} \)
и положим
\( \frac{1}{\mathscr{V}}=\frac{n(x, y, z,
u)}{\mathscr{V}_{0}} \).
Здесь \( \mathscr{V}_{0} \) – скорость распространения в среде, для которой показатель преломления равен 1. Тогда уравнение (15) примет вид
\( \Delta \psi-\frac{4 \pi^{2} n^{2}
u^{2}}{\mathscr{V}_{0}^{2}} \psi=0 \).
Строго говоря, распространение монохроматической волны в среде с дисперсией следует исследовать, находя решения этого уравнения, но на практике зачастую эта задача решается приближенным методом, лежащим в основе геометрической оптики.

Чтобы уяснить себе, в чем смысл этого приближения, рассмотрим сначала случай, когда показатель преломления не зависит от \( x, y, z \) (однородная среда). В этом случае точное решение уравнений получается в виде
\( \psi=a \exp \left\{2 \pi i
u\left[t-\frac{n(
u)}{\mathscr{V}_{0}}\left(\alpha x+\beta y+\sqrt{\left.1-\alpha^{2}-\beta^{2} z\right)}\right]\right\}\right. \).
Здесь \( a \) – постоянная, называемая амплитудой плоской волны. Назовем «фазой волны» линейную функцию
\[
\varphi=
u\left[t-\frac{n}{\mathscr{V}_{0}}\left(\alpha x+\beta y+\sqrt{1-\alpha^{2}-\beta^{2}} z\right)\right] .
\]

Поверхности равной фазы \( \varphi= \) const, называемые также волновыми фронтами, представляют собой плоскости, перпендикулярные направлению, характеризуемому величинами \( \alpha, \beta, \gamma=\sqrt{1-\alpha^{2}-\beta^{2}} \). С течением времени значения фазы, а следовательно, и функции \( \downarrow \) распространяются в этом направлении со скоростью
\[
\mathscr{V}=\mathscr{V}_{0} / n(
u) \text {. }
\]

В заданный момент времени функция \( \psi \) принимает одно и то же значение на плоскостях равной фазы, разделенных расстоянием
\[
\lambda=\frac{\mathscr{V}_{0}}{n
u}=\frac{\mathscr{V}}{
u},
\]

которое называется длиной волны, а в одной и той же точке одни и те же значения функции \( \psi \) повторяются через интервалы времени, равные периоду \( T=1 /
u \).

Рассмотрим теперь среду с показателем преломления \( n \), меняющимся от одной точки к другой. Монохроматическую волну всегда можно записать в виде
\[
\psi=a(x, y, z) \exp \left\{2 \pi i\left[v t-\varphi_{1}(x, y, z)\right]\right\},
\]

где \( a \) и \( \varphi_{1} \) – действительные функции. Длину волны всегда можно определить как \( \lambda=\mathscr{V}_{0} / n
u \), но эта величина «локальна» в том смысле, что она меняется при переходе от одной точки к другой. Если в некоторой области пространства показатель преломления мало меняется на расстоянии порядка длины волны, то производными функции \( a \) можно пренебречь по сравнению с производными функции \( \varphi_{1} \). Поэтому, подставив выражение (22) в волновое уравнение, получим приближенное уравнение, которое называется «уравнением геометрической оптики»:
\[
\left(\frac{\partial \varphi_{1}}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi_{1}}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi_{1}}{\partial z}\right)^{2}=\frac{
u^{2} n^{2}(x, y, z)}{\mathscr{V}_{0}^{2}} .
\]

Это уравнение дает возможность находить изменения фазы, не учитывая медленного изменения амплитуды \( a \).

Пусть \( \varphi_{1}(x, y, z,
u, \alpha, \beta) \) – полный интеграл уравнения геометрической оптики. Приближенным решением уравнения распространения будет функция
\[
\psi=a \exp \left\{2 \pi i\left[
u t-\varphi_{1}(x, y, z,
u, \alpha, \beta)\right]\right\},
\]

где \( a \) – медленно меняющаяся функция. Кривые, ортогональные к поверхностям \( \varphi_{1}= \) const, называются «лучами» волны. Подобно тому как выше был обоснован принцип наименьшего действия Мопертюи для траекторий, нормальных к поверхностям \( S_{1}= \) const, мы здесь можем доказать принцип Ферма: если кривая \( C \) есть луч распространения волны, проходящей через точки \( A \) и \( B \) пространства, то интеграл
\[
\int_{A}^{B} \frac{\partial \varphi_{1}}{\partial n} d s=\int_{A}^{B} \frac{n
u}{\%_{0}} d s,
\]

взятый вдоль луча \( C \), будет меньше того же интеграла, взятого вдоль любой другой кривой, бесконечно близкой к \( C \) и соединяющей точки \( A \) и \( B \).

Геометрическая оптика есть всего лишь приближение, допустимое только в том случае, когда показатель преломления \( n \) мало меняется на расстояния порядка длины волны. Если длина волны стремится к нулю, то это приближение становится все более точным.

Отметим, что в уравнение распространения (17) входит частота \(
u \). Но кроме случая монохроматической волны возможен более общий случай суперпозиции монохроматических волн, каждая из которых удовлетворяет волновому уравнению со значением \( n \), соответствующем ее частоте. Желательно иметь такую форму уравнения распространения, куда частота не входит и из которого волновая функция находилась бы даже в том случае, когда она образована путем суперпозиции монохроматических волн.

Предположим в качестве примера, что показатель преломления определяется уравнением дисперсии
\[
n(x, y, z,
u)=\sqrt{1-\frac{F(x, y, z) \mathscr{V}_{0}^{2}}{4 \pi^{2}
u^{2}}},
\]

где \( F \) – некоторая функция положения. Тогда в качестве общего уравнения распространения можно взять уравнение
\( \Delta \psi-\frac{1}{\mathcal{V}_{0}^{2}} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}}=F(x, y, z) \psi \),
поскольку в случае монохроматической волны \( \partial^{2} \psi / \partial t^{2}=-4 \pi^{2}
u^{2} \psi \) и мы снова получаем уравнение (17). С положением такого рода мы встретимся в волновой механике \( { }^{1)} \).