Чтобы подготовиться к переходу к волновой механике, кратко остановимся на распространении монохроматических волн в изотропной среде, характеризуемой неким показателем преломления и обладающей дисперсией.
Допустим, что распространяюшиеся волны описываются уравнением

$\mathrm{\Delta }\psi =\frac{1}{{\mathcal{V}}^2}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}$,

где $\psi$ — волновая функция, а $\mathcal{V}$ — некая функция положения $x,y,z$ и частоты $u$ волны. Величина $\mathcal{V}$ — это скорость распространения фазы, или просто скорость распространения волны. Запишем монохроматическую волну в комплексном виде
$\psi =u(x,y,z)e^{2\pi ivt}$
и положим
$\frac{1}{\mathcal{V}}=\frac{n(x,y,z,u)}{{\mathcal{V}}_0}$.
Здесь ${\mathcal{V}}_0$ — скорость распространения в среде, для которой показатель преломления равен 1. Тогда уравнение (15) примет вид
$\mathrm{\Delta }\psi -\frac{4{\pi }^2{n}^2{u}^2}{{\mathcal{V}}_0^2}\psi =0$.
Строго говоря, распространение монохроматической волны в среде с дисперсией следует исследовать, находя решения этого уравнения, но на практике зачастую эта задача решается приближенным методом, лежащим в основе геометрической оптики.

Чтобы уяснить себе, в чем смысл этого приближения, рассмотрим сначала случай, когда показатель преломления не зависит от $x,y,z$ (однородная среда). В этом случае точное решение уравнений получается в виде
$\psi =a\exp \{2\pi iu[t-\frac{n(u)}{{\mathcal{V}}_0}(\alpha x+\beta y+\sqrt{1-{\alpha }^2-{\beta }^{2}z)}]\}$.
Здесь $a$ — постоянная, называемая амплитудой плоской волны. Назовем «фазой волны» линейную функцию
$$\phi =u[t-\frac{n}{{\mathcal{V}}_0}(\alpha x+\beta y+\sqrt{1-{\alpha }^2-{\beta }^2}z)].$$

Поверхности равной фазы $\phi =$ const, называемые также волновыми фронтами, представляют собой плоскости, перпендикулярные направлению, характеризуемому величинами $\alpha ,\beta ,\gamma =\sqrt{1-{\alpha }^2-{\beta }^2}$. С течением времени значения фазы, а следовательно, и функции $\downarrow$ распространяются в этом направлении со скоростью
$$\mathcal{V}={\mathcal{V}}_0/n(u)\text{. }$$

В заданный момент времени функция $\psi$ принимает одно и то же значение на плоскостях равной фазы, разделенных расстоянием
$$\lambda =\frac{{\mathcal{V}}_0}{nu}=\frac{\mathcal{V}}{u},$$

которое называется длиной волны, а в одной и той же точке одни и те же значения функции $\psi$ повторяются через интервалы времени, равные периоду $T=1/u$.

Рассмотрим теперь среду с показателем преломления $n$, меняющимся от одной точки к другой. Монохроматическую волну всегда можно записать в виде
$$\psi =a(x,y,z)\exp \left\{2\pi i[vt-{\phi }_1(x,y,z)]\right\},$$

где $a$ и ${\phi }_1$ — действительные функции. Длину волны всегда можно определить как $\lambda ={\mathcal{V}}_0/nu$, но эта величина «локальна» в том смысле, что она меняется при переходе от одной точки к другой. Если в некоторой области пространства показатель преломления мало меняется на расстоянии порядка длины волны, то производными функции $a$ можно пренебречь по сравнению с производными функции ${\phi }_1$. Поэтому, подставив выражение (22) в волновое уравнение, получим приближенное уравнение, которое называется «уравнением геометрической оптики»:
$${\left(\frac{\partial {\phi }_1}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial {\phi }_1}{\partial y}\right)}^2+{\left(\frac{\partial {\phi }_1}{\partial z}\right)}^2=\frac{u^2{n}^2(x,y,z)}{{\mathcal{V}}_0^2}.$$

Это уравнение дает возможность находить изменения фазы, не учитывая медленного изменения амплитуды $a$.

Пусть ${\phi }_1(x,y,z,u,\alpha ,\beta )$ — полный интеграл уравнения геометрической оптики. Приближенным решением уравнения распространения будет функция
$$\psi =a\exp \left\{2\pi i[ut-{\phi }_1(x,y,z,u,\alpha ,\beta )]\right\},$$

где $a$ — медленно меняющаяся функция. Кривые, ортогональные к поверхностям ${\phi }_1=$ const, называются «лучами» волны. Подобно тому как выше был обоснован принцип наименьшего действия Мопертюи для траекторий, нормальных к поверхностям $S_1=$ const, мы здесь можем доказать принцип Ферма: если кривая $C$ есть луч распространения волны, проходящей через точки $A$ и $B$ пространства, то интеграл
$${\int }_A^B\frac{\partial {\phi }_1}{\partial n}ds={\int }_A^B\frac{nu}{{\mathrm{\%}}_0}ds,$$

взятый вдоль луча $C$, будет меньше того же интеграла, взятого вдоль любой другой кривой, бесконечно близкой к $C$ и соединяющей точки $A$ и $B$.

Геометрическая оптика есть всего лишь приближение, допустимое только в том случае, когда показатель преломления $n$ мало меняется на расстояния порядка длины волны. Если длина волны стремится к нулю, то это приближение становится все более точным.

Отметим, что в уравнение распространения (17) входит частота $u$. Но кроме случая монохроматической волны возможен более общий случай суперпозиции монохроматических волн, каждая из которых удовлетворяет волновому уравнению со значением $n$, соответствующем ее частоте. Желательно иметь такую форму уравнения распространения, куда частота не входит и из которого волновая функция находилась бы даже в том случае, когда она образована путем суперпозиции монохроматических волн.

Предположим в качестве примера, что показатель преломления определяется уравнением дисперсии
$$n(x,y,z,u)=\sqrt{1-\frac{F(x,y,z){\mathcal{V}}_0^2}{4{\pi }^2{u}^2}},$$

где $F$ — некоторая функция положения. Тогда в качестве общего уравнения распространения можно взять уравнение
$\mathrm{\Delta }\psi -\frac{1}{{\mathcal{V}}_0^2}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}=F(x,y,z)\psi$,
поскольку в случае монохроматической волны ${\partial }^2\psi /\partial t^2=-4{\pi }^2{u}^2\psi$ и мы снова получаем уравнение (17). С положением такого рода мы встретимся в волновой механике ${}^{1)}$.