Рассмотрим матрицу Гейзенберга \( A \), элементы которой определяются формулами \( a_{j k}=\int_{D} \psi_{j}^{*} A \psi_{k} d \tau \). Элементы \( a_{j k} \) могут зависеть от времени \( t \), что

может быть обусловлено зависимостью от времени как функций \( \psi_{j}^{*} \) и \( \psi_{k} \), так и оператора \( A \). Продифференцируем \( a_{j k} \) по \( t \) и учтем, что оператор \( A \) эрмитов, а \( \psi_{j} \) и \( \psi_{k} \) удовлетворяют волновому уравнению. Отсюда легко получим
\[
\frac{d a_{j k}}{d t}=\int_{D} \psi_{j}^{*}\left(\frac{\partial A}{\partial t}+\frac{2 \pi i}{h}(A H-H A) \psi_{k} d \tau,\right.
\]

где \( \partial A / \partial t \) – оператор, получаемый при формальном дифференцировании оператора \( A \) по параметру \( t \). Полученную формулу мы можем интерпретировать следующим образом. Матрица Гейзенберга, элементы которой с индексами \( j k \) равны \( d a_{j k} / d t \), в системе базисных функций \( \psi_{i} \) порождается символическим оператором \( d A / d t \) вида
\[
\frac{d A}{d t}=\frac{\partial A}{\partial t}+\frac{2 \pi i}{h}[A H-H A] \text {. }
\]

Очень часто оказывается, что оператор \( A \) не зависит явно от времени. Тогда \( \partial A / \partial t \equiv 0 \) и \( d A / d t=(2 \pi i / h)[A, H]^{1)} \).

В тех случаях, когда задан гамильтониан \( H \), наблюдаемая величина, соответствующая оператору \( A \), называется первым интегралом или интегралом движения для рассматриваемой задачи, если производная \( d \dot{A} / d t \) равна нулю, т.е. если
\[
\frac{\partial A}{\partial t}+\frac{2 \pi i}{h}[A, H] \equiv 0 .
\]

Если \( A \) не зависит явно от времени, то физическая величина \( A \) является интегралом движения в том случае, когда оператор коммутирует с оператором Гамильтона.

Интеграл движения можно определить также следующим образом. Физическая величина, которой соответствует оператор \( A \), является интегралом движения, если наряду с произвольным решением волнового уравнения \( \psi \) его решением будет также \( A \psi \). В самом деле, по предположению \( \partial \psi / \partial t= \) \( =(2 \pi i / h) H \psi \), и мы имеем
\[
A \frac{\partial \psi}{\partial t}=\frac{2 \pi i}{h} A H \psi, \quad \frac{\partial}{\partial t} A \psi=\frac{\partial A}{\partial t} \psi+A \frac{\partial \varphi}{\partial t}=\frac{\partial A}{\partial t} \varphi+\frac{2 \pi i}{h} A H \varphi .
\]

Чтобы функция \( A \downarrow \) была решением волнового уравнения, должно выполняться соотношение
\[
\frac{\partial A}{\partial t} \psi+\frac{2 \pi i}{h}(A H-H A) \psi=0 .
\]
1) Отсюда легко получить, что в случае наблюдаемой \( A \), не зависящей явно от времени, имеем \( d \bar{A} / d t=(2 \pi i / h) \overline{[A, H]} .-Л . Б \).
\( \mathrm{V} \)
Необходимым и достаточным условием того, чтобы этому уравнению удовлетворяло любое решение \( \psi \) волнового уравнения, как раз и является соотношение (21), что и требовалось доказать.
Приведем несколько обычных примеров интегралов движения.
Если действующее на частицу (или на систему частиц) внешнее поле не зависит от времени, то оператор \( H \) не содержит времени \( t \), и поскольку он, очевидно, коммутирует сам с собой, то энергия является интегралом движения. Здесь мы имеем аналогию с законом сохранения энергии для консервативных систем в классической механике. Таким же образом получим, что если составляющая поля по оси \( x \) равна нулю, то оператор \( H \) не зависит от \( x \) (так как \( \partial V / \partial x=0) \) и коммутирует с \( \left(p_{x}\right)_{\text {опер }} \), а потому интегралом движения является составляющая вектора импульса. Этот результат аналогичен подобной теореме в классической механике.

Наконец, если силовое поле \( V \) не меняется при повороте вокруг оси \( O z \), т.е. если потенциальная энергия не зависит от угла \( \varphi \) поворота вокруг этой оси, то гамильтониан \( H \) не зависит от \( \varphi \) и потому коммутирует с оператором, соответствующим составляющей углового момента по оси \( z \) :
\[
\left(M_{z}\right)_{\text {опер }}=-\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial \varphi} .
\]

По этой причине величина \( M_{z} \), как и в классической механике, является интегралом движения. Если силовое поле является центральным, то интегралами движения будут три составляющие углового момента \( \mathbf{M} \) по трем взаимно перпендикулярным осям, проходящим через центр. Интегралом движения будет также величина \( M^{2}=M_{x}^{2}+M_{y}^{2}+M_{z}^{2} \) (квадрат углового момента). Поэтому скажем несколько слов об угловом моменте.