Пусть система имеет среди своих квантовых состояний два состояния \( E_{i} \) и \( E_{k} \). Эта система возмущается внешним. воздействием, и вычисления (какие, мы уточним позднее) показывают, что под действием возмущения она колеблется между состояниями \( E_{i} \) и \( E_{k} \) с частотой \(
u_{i k}=\left(E_{i}-E_{k}\right) / h \). Не следует делать вывода, что система в физическом смысле переходит из состояния \( i \) в состояние \( k \) и наоборот; мы имели бы право сказать это только в том случае, если бы могли зарегистрировать систему в одном и в другом из этих состояний, т.е. измерить энергию системы. Но поскольку она остается в одном из состояний лишь в течение времени \( \delta t \), меньшего чем \( 1 /
u_{i k}=h /\left(E_{i}-E_{k}\right) \), путем измерения мы можем установить энергию одного или другого из этих состояний лишь с неопределенностью, превышающей \( \delta E \sim h / \delta t \sim E_{i}-E_{k} \), а потому не можем различить эти два близких состояния. Во время взаимодействия энергия системы остается неопределенной, лежащей между \( E_{i} \) и \( E_{k} \), и мы можем проверить выполнение закона сохранения энергии лишь с неопределенностью, превышающей \( \left|E_{i}-E_{k}\right| \).

Предположим теперь, что энергия системы равна \( E_{1} \) до момента времени \( t_{1} \), затем она подвергается внешнему возмущающему воздействию с момента \( t_{1} \) до момента \( t_{2} \), после чего остается в состоянии \( E_{2} \) при \( t>t_{2} \). Поскольку в нашем распоряжении для измерения \( E_{1} \) и \( E_{2} \) имеются все моменты времени, которые предшествуют \( t_{1} \) и которые следуют за \( t_{2} \), мы можем очень точно знать \( E_{1} \) и \( E_{2} \) и закон сохранения энергии требует, чтобы выполнялось равенство \( E_{1}=E_{2} \). Но в течение промежутка времени \( t_{2}-t_{1} \), когда действует возмущение, система может перейти в промежуточное состояние с энергией \( E \). Если время \( t_{2}-t_{1} \) мало по сравнению с’ \( h /\left(E_{2}-E_{1}\right) \), то невозможно обнаружить систему в этом состоянии, измеряя его энергию. Можно сказать, что система проходит через «виртуальное» состояние \( E \) и в действительности во время всего взаимодействия неопределенность энергии остается равной \( E_{2}-E_{1} \). Закон сохранения энергии выполняется для глобального перехода \( E_{1} \rightarrow E_{2} \), но он не обязан выполняться для виртуальных переходов \( E_{1} \rightarrow E \) и \( E \rightarrow E_{2} \).

Все сказанное можно обосновать более строго так называемым методом «вариации постоянных», предложенным Дираком. В этом методе предполагается, что рассматриваемая система до начала действия возмущения обладает невозмущенным гамильтонианом \( H^{(0)} \), не зависящим от времени, которому соответствуют стационарные состояния системы: предполагаются известными собственные значения и собственные функции \( E_{k}^{(0)} \) и \( \psi_{k}{ }^{(0)} \) этого гамильтониана. В течение ограниченного промежутка времени \( 0 \rightarrow T \) система подвергается действию возмущения, которое может зависеть от времени; это возмущение характеризуется в гамильтониане \( H \) членом \( V \), так что \( H=H^{(0)}+V(t) \) и уравнение эволюции системы при наличии возмущения будет иметь вид
\[
\left[H^{(0)}+V(t)\right] \psi=\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial \psi}{\partial t} .
\]

В любой момент времени \( t \) волновая функция \( \psi \) системы может быть разложена по полной системе собственных функций \( \psi_{k}^{(0)} \) невозмущенного гамильтониана и представлена в виде
\[
\psi(t)=\sum_{k} c_{k}(t) \psi_{k}^{(0)} \exp \left[(2 \pi i / h) E_{k}^{(0)} t\right],
\]

где всегда \( \sum_{k}\left|c_{k}(t)\right|^{2}=1 \), поскольку функция \( \psi \) нормирована.

Согласно общим принципам волновой механики, вероятность того, что в момент \( t \) система будет находиться в состоянии \( \psi_{k}^{(0)} \), равна \( \left|c_{k}(t)\right|^{2} \). Дополнительно необходимо, как мы отмечали выше, чтобы система оставалась в этом состоянии в течение времени, достаточно длительного для того, чтобы можно было определить ее энергию.

Подставив выражение для \( \psi \) в уравнение эволюции, легко найдем для величин \( c_{k} \) уравнение
\[
\frac{d c_{l}}{d t}=\frac{2 \pi i}{h} \sum_{k} V_{l k}(t) c_{k}(t) \exp \left[(2 \pi i / h)\left(E_{k}^{(0)}-E_{l}^{(0)}\right) t\right],
\]

где
\[
V_{l k}(t)=\int_{D} \psi^{(0)^{*}} V(t) \psi_{k}^{(0)} d r .
\]

При \( V=0 \) величины \( c_{l} \) будут постоянными, а \( \psi \) будет суммой собственных функций оператора \( H^{(0)} \) с постоянными коэффициентами. Если возмущение \( V \) не равно нулю, то коэффициенты \( c_{l} \) зависят от времени: этим и объясняется название «метод вариации постоянных» данного способа вычислений. (Легко убедиться, что
\( \frac{d}{d t} \sum_{k} c_{k} c_{k}^{*}=0 \), откуда \( \sum_{k}\left|c_{k}\right|^{2}= \) const \( =1 \)
в любой момент времени.)
Интегрирование выражения для \( d c_{l} / d t \), вообще говоря, трудная задача, но в простом случае, когда известно, что в момент включения взаимодействия \( (t=0) \) система находится в состоянии с энергией \( E_{n}^{(0)} \) и, следовательно, необходимо положить \( c_{n}(0)=1 \) и \( c_{m}(0)=0 \) при \( m
eq n \), приближенное интегрирование дает
\[
c_{m}(t)=V_{m n} \frac{\exp \left[(2 \pi i / h)\left(E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}\right) t\right]-1}{E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}},
\]

откуда
\[
\begin{aligned}
\left|c_{m}(t)\right|^{2}=\frac{2\left|V_{m n}\right|^{2}}{\left(E_{n}-E_{m}\right)^{2}}\left[1-\cos ^{2} \frac{\pi}{h}\left(E_{n}-E_{m}\right) t\right]= & \\
& =\frac{4\left|V_{m n}\right|^{2}}{\left(E_{n}-E_{m}\right)^{2}} \sin ^{2} \frac{\pi}{h}\left(E_{n}-E_{m}\right) t .
\end{aligned}
\]

Эту величину можно рассматривать как вероятность того, что система будет в момент времени \( t \) в состоянии \( m \); она пропорциональна \( \left|V_{m n}\right|^{2} \), что придает особую важность матричным элементам \( V_{m n} \). Но, согласно сказанному выше, за время, в течение которого действует возмущение, мы не можем физически обнаружить систему в состоянии с энергией \( E_{m} \), поскольку для этого нужно было бы измерить энергию с неопределенностью, не превышающей \( E_{m}-E_{n} \), тогда как время, в течение которого система остается в состоянии \( E_{m} \) меньше \( h /\left(E_{m}-E_{n}\right) \). И лишь после того, как действие возмущения \( V(t) \) прекратится в момент \( T(V(t)=0 \) при \( t>T) \), мы сможем обнаружить систему в состоянии \( E_{m} \) (которое станет стационарным конечным состоянием), причем вероятность обнаружить ее в этом состоянии равна \( \left|c_{m}(T)\right|^{2} \). Поскольку в период действия возмущения энергия системы не может быть измерена, к ней неприменим закон сохранения, который вступает в силу лишь по окончании действия возмущения.

Сделанные выводы подтверждаются при более глубоком анализе теории возмущений, который в частности, приводит к понятию вероятности перехода в единицу времени. Чита еля, интересующегося этими вопросами, мы отсылаем к первой части данной книги.