Основываясь на соображениях, носящих отчасти дискуссионный характер, Мандельштам и Тамм [21] вывели интересные формулы, относящиеся к четвертому соотношению неопределенностей. Рассмотрим их.

Названные авторы отмечают, что если система находится в стационарном состоянии \( \psi \sim e^{2 \pi i v t} \), то распределения вероятностей для всех динамических переменных не будут зависеть от времени, в чем нетрудно убедиться. Отсюда они делают вывод, что должно существовать общее соотношение между дисперсией \( \sigma_{E} \) энергии и вариациями во времени координат, импульсов и т.д.

Чтобы показать это, напишем соотношение
\[
\sigma_{A} \cdot \sigma_{B} \geq \frac{1}{2}|\overline{A B}-\overline{B A}|,
\]

справедливое для любой пары наблюдаемых величин \( A \) и \( B \). По определению мы имеем
\[
\bar{A}=\int \psi^{*} A \psi d \tau,
\]

откуда следует (в предположении, что \( A \) не зависит от времени) соотношение
\[
\frac{d \bar{A}}{d t}=\frac{2 \pi i}{h} \int \psi^{*}(A H-H A) \psi d \tau=\frac{2 \pi i}{h}(A H-H A)=\frac{2 \pi i}{h}[A, H],
\]

где \( H \) – гамильтониан системы. Положив в формуле (27) \( B=H \), получим
\[
\sigma_{H} \cdot \sigma_{A} \geq \frac{h}{4 \pi}\left|\frac{d \bar{A}}{d t}\right|,
\]

где \( \sigma_{H}=\sigma_{E} \) – дисперсия энергии. Формула (29) и есть соотношение Мандельштама – Тамма. В случае стационарного состояния с известной энергией дисперсия \( \sigma_{H}=0 \) и \( d \bar{A} / d t=0 \).

Полученное соотношение можно записать в другой форме. Для изолированной системы величина \( \sigma_{H} \) – постоянная, а \( \sigma_{A} \) может меняться. Рассмотрим интервал времени \( \delta t \) и обозначим через \( \bar{\sigma}_{A}^{\delta t} \) усредненное по этому интервалу времени значение \( \sigma_{A} \) (средние такого рода отличаются от того, что до сих пор обозначалось черточкой). Интегрируя по интервалу времени \( \delta t \) и замечая, что интеграл от абсолютной величины функции всегда больше или равен абсолютной величине интеграла от функции, получаем
\[
\sigma_{H} \cdot \delta t \geq \frac{h}{4 \pi} \frac{\overline{A(t+\delta t)}-\overline{A(t)}}{\overline{\sigma_{A}^{\delta t}}} .
\]

В связи с этим Мандельштам и Тамм ввели «стандартное время» \( \delta T_{A} \) – наименьшее время, в течение которого среднее значение величины \( A \) меняется на \( \bar{\sigma}_{A} \). Тогда формулу (30) можно переписать в виде
\[
\sigma_{H} \cdot \delta T_{A} \geq h / 4 \pi \text {. }
\]

Из формулы (29) следует, что, для того чтобы среднее значение величины \( A \) могло изменяться с течением времени, не только величина \( \sigma_{H} \) должна быть отлична от нуля, но и величина \( \sigma_{A} \) не должна быть тождественно равна нулю. В случае когда \( A \) обладает дискретным спектром, последнее очевидно; но это не очевидно, если у оператора \( A \) непрерывный спектр. Из формулы (30) можно также видеть, что если в некоторый момент времени величина \( \sigma_{A} \) обращается в нуль, а величина \( \bar{A} \) не перестает изменяться, то в начальный момент
\( 6-782 \)

времени, т.е. при очень малых \( \delta t \), величина \( \sigma_{A} \) должна изменяться намного быстрее величины \( \bar{A} \).

Интересной иллюстрацией к предыдущим формулам может служить случай распространения волнового пакета вдоль оси \( x \) при условии \( A=x \). В этом случае \( \bar{x} \) есть \( x \)-координата центра тяжести волнового пакета, величину \( \sigma_{A} \) можно рассматривать как его среднюю протяженность, а \( \delta T_{A} \) – как среднюю продолжительность его прохождения мимо данной точки. Соотношение \( \sigma_{H} \times \) \( \times \delta T_{A} \geq h / 4 \pi \) показывает, что эта средняя продолжительность будет тем больше, чем меньше \( \sigma_{H} \). В результате мы снова приходим к хорошо известному выводу, но если ранее наши рассуждения приводили к такому выводу лишь в отсутствие внешнего поля, то здесь он справедлив и в случае взаимодействия с внешним полем. Это явствует из того, что в рассуждениях, приводящих к формулам (27)-(30), нигде не делается предположения об отсутствии внешнего поля.

Приведем еще один пример, заимствованный у Мандельштама и Тамма. Пусть \( \varphi_{n} \) – волновая функция, характеризующая некоторое состояние системы, для которого дисперсия энергии равна \( \sigma_{H}{ }^{1)} \). Обозначив через \( \psi \) какоелибо состояние системы, рассмотрим оператор \( L_{n} \), для которого
\( L_{n} \psi=c_{n} \varphi_{n}, \quad c_{n}=\int \varphi_{n}^{*} \psi, d \tau \).

Оператор \( L_{n} \) выделяет из \( \psi \) составляющую \( c_{n} \varphi_{n} \); это – проектор, причем, очевидно, \( L_{n}^{2}=L_{n} \). Поскольку
\( \sigma_{L_{n}}=\sqrt{\overline{L_{n}^{2}}-\left(\bar{L}_{n}\right)^{2}}=\sqrt{\bar{L}_{n}-\left(\bar{L}_{n}\right)^{2}} \),
из неравенства Мандельштама-Тамма следует соотношение
\( \sigma_{H} \sqrt{\bar{L}_{n}-\left(\bar{L}_{n}\right)^{2}} \geq \frac{h}{4 \pi}\left|d \bar{L}_{n} / d t\right| \).
Оно содержит лишь \( \bar{L}_{n} \), и его легко проинтегрировать. Предположим, что в начальном состоянии \( L_{n}(0)=1 \), т.е. вначале система с полной определенностью находилась в состоянии \( \varphi_{n} \). Интегрируя от 0 до \( t \), получаем
\( \frac{2 \pi}{h} \sigma_{H} t \geq \frac{\pi}{2}-\arcsin \sqrt{\overline{L_{n}(t)}} \).
Если \( 0<t<h /\left(4 \sigma_{H}\right) \), то
\( \overline{L_{n}(t)} \geq \cos ^{2}\left(\frac{2 h}{h} \sigma_{H} t\right) \).
1) Функция \( \varphi_{n} \) может быть собственным значением оператора \( A \), не коммутирующего с \( \boldsymbol{H} \). – Л. \( \boldsymbol{\text { Б }} \).

—————————————————————-
001_book2_original_page-0164.jpg.txt

Четвертое соотношение неопределенностей Гейзенберга
163
Если \( t>h /\left(4 \sigma_{H}\right) \), то соотношение (34) не накладывает никаких ограниче-. ний на значение \( \frac{L_{n}(t)}{} \), которое всегда содержится в замкнутом интервале \( [0,1] \).

Обозначим через \( \tau \) среднее время жизни системы в состоянии \( \varphi_{n} \), так что \( \overline{L_{n}(\tau)}=1 / 2 \), если \( \overline{L_{n}(0)}=1 \). Тогда из последнего неравенства получаем ограничение
\[
\sigma_{H} \cdot \tau \geq h / 8,
\]

несколько более жесткое, нежели соотношение \( \sigma_{H} \cdot \tau \geq h / 4 \pi \).
Работа Мандельштама и Тамма содержит также несколько менее ясное применение рассмотренных формул к случаю возмущений, на чем мы здесь не останавливаемся.