Пусть имеются две системы: одна — изучаемая система, а другая — измерительный прибор. Обозначим через \( x \) совокупность переменных первой системы, а через \( y \) — совокупность переменных второй системы. Пусть теперь \( u_{k}(x) \) — полный набор собственных ортонормированных функций для первой системы, а \( v_{\rho}(y) \) — аналогичная совокупность собственных функций для второй системы.

Когда системы изолированы друг от друга (начальное состояние), их волновые функции \( \psi_{\mathrm{I}} \) и \( \psi_{\mathrm{II}} \) изменяются во времени независимо соответственно своим волновым уравнениям и можно положить
\( \psi_{\mathrm{I}}=\sum_{k} c_{k}(t) u_{k}(x), \quad \psi_{\mathrm{II}}=\sum_{\rho} d_{\rho}(t) v_{\rho}(y) \).
В частности, поскольку предполагается, что изучаемая система I вначале находится в чистом состоянии, она и далее остается в чистом состоянии. Гамильтониан для полной системы, состоящей из двух рассматриваемых систем, равен сумме \( H_{1}+H_{\mathrm{II}} \) соответствующих гамильтонианов, а ее волновая функция имеет вид
\( \Psi(x, y, t)=\psi_{1}(x, t) \psi_{\mathrm{II}}(y, t)=\sum_{k, \rho} c_{k}(t) d_{\rho}(t) u_{k}(x) v_{\rho}(y) \).
Эта функция характеризует чистое состояние полной системы, которое было до взаимодействия.

Измерение начинается в тот момент, когда включается взаимодействие между системами. В этот момент к полному гамильтониану \( H_{1}+H_{\text {II }} \) системы добавится взаимодействие \( H_{i} \), зависящее от координат \( \boldsymbol{x} \) и \( y \) двух систем, причем оно будет содержать и перекрестные члены.

Функция \( \psi \) полной системы уже не будет суммой произведений \( c_{k} u_{k}(x) \) на \( d_{\rho} v_{\rho}(y) \), но, поскольку произведения \( u_{k}(x) v_{\rho}(y) \) образуют полную ортонормированную базисную систему функций для совокупности переменных \( x \) и \( y \), можно, написать
\( \Psi(x, y, t)=\sum_{k, \rho} C_{k \rho}(t) u_{k}(x) v_{\rho}(y) \),
где, однако, коэффициенты \( C_{k \rho} \) уже не будут иметь вида \( c_{k} d_{\rho} \). Мы попрежнему имеем для полной системы волновую функцию \( \Psi \), изменяющуюся в соответствии с волновым уравнением, поэтому состояние системы все время остается чистым. Соответствующая элементарная статистическая матрица имеет вид
\( P_{k \rho, l \sigma}=C_{k \rho} C_{l \sigma}^{*} \).
Отметим, что нам требуются два индекса для характеристики соетояния полной системы.
Обратим теперь внимание на состояние системы I и рассмотрим некоторую величину \( A \), такую, что
\[
A_{k l}=\int_{D_{1}} u_{k}(x) A v_{l}^{*}(x) d x .
\]

Среднее значение величины \( A \) во время взаимодействия будет равно
\[
\begin{array}{l}
\bar{A}=\int \Psi^{*} A \Psi d x d y=\sum_{k \rho, l \sigma} C_{k \rho}^{*} C_{l \sigma} \int u_{k}^{*} A u_{l} d x \int v_{\rho}^{*} v_{\sigma} d y, \\
\bar{A}=\sum_{k \rho, l \sigma} C_{k \rho}^{*} C_{l \sigma} A_{k l} \delta_{\rho J}=\sum_{k l \rho} C_{k \rho}^{*} C_{l \rho} A_{k l} .
\end{array}
\]

Но для статистической матрицы \( P_{\mathrm{I}} \) системы I во время взаимодействия должно выполняться соотношение
\[
\bar{A}=\operatorname{Tr}\left(P_{\mathrm{I}} A\right),
\]

откуда следует, что
\[
\left(P_{1}\right)_{l k}=\sum_{\rho} C_{l \rho} C_{k \rho}^{*} .
\]

Аналогично статистическая матрица системы II имеет вид
\[
\left(P_{\mathrm{II}}\right)_{\sigma \rho}=\sum_{k} C_{k \sigma} C_{k \rho}^{*} \text {. }
\]

Статистическая матрица \( P \) полной системы является идемпотентной и эрмитовой и имеет след, равный 1 , в чем легко убедиться, учитывая ортонормированный характер произведения \( u_{k}(x) v_{\rho}(y) \) : оно представляет собой элементарную матрицу. Но о матрицах \( P_{\mathrm{I}} \) и \( P_{\mathrm{II}} \) этого нельзя сказать. Они эрмитовы со следом 1 , но они уже не идемпотентны. Таким образом, в статистическом отношении состояния систем I и II, рассматриваемых отдельно, будут уже не чистыми, а смешанными. (Существенно, что эти смешанные состояния определяются средними значениями.)

Чтобы выяснить состав этих смешанных состояний, воспользуемся формулой
\( \Psi(x, y, t)=\sum_{k \rho} C_{k \rho} u_{k}(x) v_{\rho}(y) \).
При заданном значении \( \rho \) в этом разложении мы имеем члены \( \Sigma_{k} C_{k \rho} u_{k}(x) \), где \( \sum_{k, \rho}\left|C_{k \rho}\right|^{2}=1 \). Таким образом, можно сказать, что при заданном значении \( \rho \) (т.е. при некотором заданном состоянии системы II) система I с вероятностью, пропорциональной \( \left|C_{k \rho}\right|^{2} \), может оказаться в состоянии \( k \). Абсолютное значение этой вероятности будет пропорционально величине \( \left.\mid C_{k}\right)^{2} \), если положить
\[
C_{k}^{(\rho)}=\frac{C_{k \rho}}{\sqrt{\sum_{l}\left|C_{l \rho}\right|^{2}}},
\]

так что \( \sum_{k}\left|C_{k}^{(\rho)}\right|^{2}=1 \).
Таким образом, можно написать
\[
\left(P_{1}\right)_{k l}=\sum_{\rho} p_{\rho} C_{k}^{(\rho)} C_{l}^{(\rho)^{*}},
\]

где \( p_{\rho}=\sum_{l}\left|C_{l \rho}\right|^{2} \),
и точно так же найдем
\( \left(P_{11}\right)_{\rho \sigma}=\sum p_{k} C_{\rho}^{k)} C_{\sigma}^{(k)^{*}} \),
полагая
\[
C_{\rho}^{(k)}=\frac{C_{k \rho}}{\sqrt{\sum_{\sigma}\left|C_{k \sigma}\right|^{2}}}, p_{k}=\sum_{\sigma}\left|C_{k \sigma}\right|^{2} .
\]

При этом матрицы \( P_{1} \) и \( P_{11} \) выступают как определяющие смешанные состояния со статистическими весами \( p_{k} \) и \( p_{\rho} \).

Мы видим, что полная система, несмотря на взаимодействие, остается в чистом состоянии, тогда как каждая из подсистем, рассматриваемых отдельно, в результате взаимодействия переходит из чистого состояния в смешанное. Таким образом, информация о полной системе остается максимальной, а информация о двух составляющих подсистемах перестает быть максимальной; ничего подобного нет в классической физике. Подсистему можно рассматривать как находящуюся в чистом состоянии, которое нам неизвестно, так что смешанное состояние есть выражение неполноты информации. Тогда простой констатации должно быть достаточно, чтобы ликвидировать эту неполноту и установить, с каким чистым состоянием мы имеем дело.

Для этого рассмотрим статистические матрицы \( P_{\mathrm{I}} \) и \( P_{\mathrm{II}} \). Их вид показывает, что для каждой системы смесь определяется состояниями другой системы: об этом говорит то, что в выражении \( \left.\left(P_{1}\right)_{k l}=\Sigma_{\rho} p_{\rho} C_{k}{ }^{\prime} C \varphi\right) \) суммирование производится по индексу \( \rho \), характеризующему вторую систему. Поэтому лишь констатация состояния второй системы (т.е. фактически обнаруженное значение индекса \( \rho \) ) позволит нам сказать, какое чистое состояние следует приписать первой системе. Но необходимо, чтобы эта констатация состояния второй системы могла проводиться без нарушения состояния данной второй системы, т.е. как макроскопическая констатация, аналогичная той, возможность которой предполагается в классической физике. Это важный вопрос, к которому мы еще вернемся.

Очевидно, что волновая функция \( \Psi \) полной системы \( 1+ \) II несет более полную информацию об этой системе, чем частные статистики \( P_{\mathrm{I}} \) и \( P_{\mathrm{II}} \), относящиеся к каждой из этих систем. Функция \( \Psi \) и элементарная матрица \( P \), которая ей соответствует, содержат статистические корреляции между системами 1 и II, тогда как матрицы \( P_{1} \) и \( P_{\mathrm{II}} \), даже рассматриваемые одновременно, таких корреляций не содержат. В частности, из выражений для \( P_{\mathrm{I}} \) и \( P_{\mathrm{II}} \) можно видеть, что знание матриц \( P_{1} \) и \( P_{\mathrm{II}} \) не эквивалентно знанию всех отдельных величин \( C_{k \rho} \). Рассматривая только матрицы \( P_{\mathrm{I}} \) и \( P_{\mathrm{Il}} \), мы отказываемся от некоторой информации, которую несет волновая функция \( \Psi \). Эта потеря информации находит выражение в суммировании по индексу \( \rho \) в формуле для \( P_{I} \); такое суммирование означает отказ от того, что мы могли бы знать о состоянии \( \rho \) системы II и о его связи с состоянием системы I. Потеря информации обнаруживается в появлении вероятностей, имеющих такой смысл, как в классической физике, т.е. обусловленных неполнотой наших знаний и характеризующих некое смешанное состояние.