Мы изложим общий формализм волновой механики, рассматривая случай частицы, находящейся в известном силовом поле. Обобщение на случай систем частиц производится без труда, примерно так же, как и ранее.

Формальная процедура, в результате которой из классической функции Гамильтона получается оператор Гамильтона, заключалась в замене переменных $x,y,z$ операторами $x\times ,y\times ,z\times$, а переменных $p_x,p_y,p_z$ — операторами $-\frac{h}{2\pi i}\frac{\partial }{\partial x},-\frac{h}{2\pi i}\frac{\partial }{\partial y},-\frac{h}{2\pi i}\frac{\partial }{\partial z}$.

Так мы впервые встретились с идеей замены «физических величин» классической механики соответствующими «операторами». В ходе развития волновой механики эта идея выросла в общий принцип. Принимается, что любой определяемой в обычной механике или в классической физике физической величине (наблюдаемой) в новой механике должен соответствовать некий оператор. Вид операторов, соответствуюших классическим выражениям для наблюдаемых физических величин, находят по правилу, в котором обобщено правило

образования оператора Гамильтона, а именно путем замены
$$q\to q\times ,p\to -\frac{h}{2\pi i}\stackrel{\partial }{\partial q}.$$

В результате такой замены пространственные переменные превращаются вं операторы, но время $t$ остается числовой переменной. С этой гипотезой, нарущающей симметрию между пространственными и временными переменными, связаны те трудности, которые возникают при попытках объединить квантовую теорию с теорией относительности.

Поскольку классическая механика в каждой задаче дает нам выражения для всех механических величин, сопоставляемых частице, в виде функций канонических переменных $x,y,z,p_x,p_y,p_z$ и времени $t$, остается лишь заменить в этих выражениях каждую из канонических переменных соответствующим оператором, и мы получим искомый квантовый оператор. Если в выражение для классической величины входит время как параметр, то оно будет входить и в полученный оператор. При использовании прямоугольных декартовых координат этот оператор однозначно определяется вне зависимости от порядка множителей в классическом выражении \»). В других же системах координат этого нет, и для построения приемлемого оператора приходится «симметризовать» классическое выражение по особым правилам.

В качестве примера применим изложенный метод получения оператора к $z$-составляющей импульса частицы. Легко находим
$${\left(M_z\right)}_{\text{опер }}={(x{p}_y-y{p}_x)}_{\text{oпер }}=-\frac{h}{2\pi i}(x\frac{\partial }{\partial y}-y\frac{\partial }{\partial x})=-\frac{h}{2\pi i}\frac{\partial }{\partial \phi },$$

где $\phi$ — угол поворота вокруг оси $Oz$.
Операторы, которые в волновой механике указанным выше образом соответствуют наблюдаемым величинам, в общем случае являются комплексными. Они линейны, т. е. для них выполняются соотношения
$$A({\phi }_1+{\phi }_2)=A\left({\phi }_1\right)+A\left({\phi }_2\right);A(c\phi )=cA(\phi )\text{ (c — комплексная постоянная). }$$

Кроме того, эти операторы эрмитовы, т. е.
$${\int }_D{f}^{\ast }A(g)d\tau ={\int }_{D}g{A}^{\ast }\left(f^{\ast }\right)d\tau ,$$

где $f$ и $g$ — ограниченные, гладкие и непрерывные функции в области $D$ изменения переменных, которая может быть выбрана произвольно. Эти функции должны обращаться в нуль на границах области, чтобы поверхностные интегралы, возникающие при интегрировании по частям выражения (3), равнялись нулю. В каждом частном случае можно убедиться, что операторы, со-
1).Это верно лишь для операторов специального вида. — Прим. ред.

ответствующие наблюдаемым величинам, являются эрмитовыми. Физические основания для этого мы обсудим в дальнейшем.

Среди операторов волновой механики нам будет полезно различать «полные операторы», содержащие все переменные из области $D$, и «неполные операторы», которые включают лишь часть этих переменных ${}^{11}$. Для свободной частицы, движущейся в трехмерном пространстве, оператор ${\left(p_x\right)}_{\text{опер }}$, очевидно, не является полным, тогда как оператор $H_{\text{oпер }}$ будет полным.

Итак, любой физической величине, характеризующей частицу, в волновой механике ставится в соответствие линейный эрмитов оператор, в общем случае комплексный, который строится по определенным правилам на основе классического выражения. Но мы знаем, что при измерении физической величины получается действительное число. Поэтому волновая механика должна уметь на основании вида операторов предсказывать существенно действительные значения физических величин, которые могут быть получены в результате измерения последних.

Зная линейный и эрмитов оператор, сопоставляемый в новой механике некой физической величине, мы должны уметь получать набор действительных чисел, в котором представлены все возможные результаты измерения этой величины. Это оказывается возможным вследствие того, что линейные и эрмитовы операторы обладают только действительными «собственными значениями». Рассмотрим данный вопрос в общем случае.