В заключение скажу несколько слов о статистической матрице \( P_{0} \), обладающей замечательными свойствами, на которые обратил внимание фон Нейман.

Мы знаем, что в классической статистической термодинамике все возможные макроскопические состояния системы рассматриваются как априори равновероятные (другими словами, они считаются равновероятными, если нет каких-либо сведений о состоянии системы, например сведений о значении полной энергии или о контакте с термостатом, поддерживающим постоянную температуру системы, и т.д.).

По аналогии с этим в волновой механике все состояния системы, определяемые различными функциями, образующими полную систему ортонормированных функций, можно априори предполагать равновероятными. Пусть \( \varphi_{1}, \ldots, \varphi_{k} \), – такая система базисных функций; зная, что система характеризуется смесью состояний \( \varphi_{k} \), в отсутствие какой-либо другой информации мож-
1)Фраза в квадратных скобках была добавлена в текст позже. – Ж.Л.

но считать, что статистическая матрица системы имеет вид
\[
P_{0}=\sum_{k} p P_{\varphi_{k}} \text {, где } \sum_{k} p=1 \text {, }
\]
т.е. что \( P_{0} \) – статистическая матрица такого смешанного состояния, для которого все веса равны между собой. Если число состояний \( k \) равно бесконечности, то возникают затруднения математического характера, поскольку \( p \) должно быть в этом случае бесконечно малым. Эти затруднения можно преодолеть, пользуясь соответствующими математическими приемами; мы их устраним, предположив, что число состояний ограничено. Принимая \( \varphi_{k} \) за базисные функции, матрицу \( P_{0} \) можно представить в виде
\[
\left(P_{0}\right)_{k l}=p \delta_{k l} \text {. }
\]

Если некоторая функция \( f \) может быть разложена в ряд по функциям \( \varphi_{k} \), T.e.
\[
f=\sum_{k} c_{k} \varphi_{k},
\]

то оператор \( P_{0} \), действуя на функцию \( f \), даст
\[
P_{0} f=p \sum_{k} P_{\varphi_{k}} f=p \sum_{k} c_{k} \varphi_{k}=p f .
\]

Теперь мы докажем следующую теорему.
Если статистическое состояние ансамбля систем в начальный момент времени характеризуется матрицей \( P_{0} \) и если во всех системах ансамбля провести измерение одной и той же величины \( A \), то статистическое состояние ансамбля будет по-прежнему характеризоваться матрицей \( P_{0} \).

Если во всех системах мы измерим одну и ту же величину \( \boldsymbol{A} \) с собственными функциями \( \chi_{1}, \ldots, \chi_{n} \), то мы получим новое смешанное состояние. Таким образом, будем иметь
\( \varphi_{n}=\sum_{m} d_{n m} \chi_{m} \),
где \( d_{n m} \) – элементы унитарной матрицы, для которой
\[
\sum_{n} d_{l n} d_{m n}^{*}=\sum_{n} d_{n l} d_{n m}^{*}=\delta_{l m} .
\]

Если провести измерение величины \( \boldsymbol{A} \) в системе, находящейся в состоянии \( \varphi_{n} \), то мы получим смесь состояний \( \chi_{k} \) с весами \( \left|d_{n m}\right|^{2} \). В конечном смешанном состоянии, полученном после измерения величины \( A \) во всех системах, веса состояний \( \chi_{m} \) будут равны
\[
\sum_{k} p\left|d_{k m}\right|^{2}=p \sum_{k} d_{k m} d_{k m}^{*}=p \delta_{m m}=p \text {. }
\]

Таким образом, конечная смесь состояний \( \chi \) будет смесью с равными весами \( p \), и она будет характеризоваться статистической матрицей
\[
P_{0}^{\prime}=\sum_{k} p P_{\chi_{k}},
\]

что и требовалось доказать.