Мы уже знаем, что наблюдатель, которому известен результат измерения, проведенного в некоторый момент времени, не может восстановить волновую функцию, которая описывала состояние системы до измерения для наблюдателя, располагавшего той информацией, которая имелась ранее \( { }^{1)} \).

Рассмотрим простой случай определения положения частицы и допустим, что наблюдатель \( A \), определив положение частицы в момент \( t_{1} \), нашел ее в точке \( M_{1} \). Тогда он, взяв в качестве начального значения волновой функции \( \delta \) функцию \( \psi_{A}\left(M, t_{1}\right)=\delta\left(M-M_{1}\right) \), сможет на основании волнового уравнения вычислить волновую функцию \( \psi_{A}(M, t) \), в последуюший момент времени \( t \) и указать вероятность \( \left|\psi_{A}\left(M, t_{2}\right)\right|^{2} \) найти частицу в какой-либо точке \( M \) в момент времени \( t_{2}>t_{1} \). Если новое измерение координат, проведенное в момент \( t_{2} \), покажет, что частица находится в точке \( M_{2} \), то наблюдатель \( B \), который знает лишь о локализации в точке \( M_{2} \), но не знает о локализации в точке \( M_{1} \), никак не сможет восстановить вид функции \( \psi_{A}(M, t) \), которую взял наблюдатель \( A \), знавший о локализации в точке \( M_{1} \). Зная \( \psi_{A} \), наблюдатель \( B \) мог бы, мысленно изменив направление течения времени, определить, что в момент \( t_{1} \) частица была локализована в точке \( M_{1} \), нб он не знает \( \psi_{A} \). Даже если бы некий статистический эксперимент дал ему амплитуды \( \left|\psi_{A}\left(M, t_{2}\right)\right| \) во всех точках \( M \) пространства, он, не зная фаз волн, все-таки не смог бы восстановить обратную эволюцию волновой функции \( \psi_{A} \).

К такому выводу мы пришли бы, если бы измеряли импульс, т.е. если бы определяли положение в пространстве импульсов.

Тем не менее операция мысленного прослеживания за эволюцией функции \( \psi \) от своей начальной формы
\( \psi_{B}\left(M, t_{2}\right)=\delta\left(M-M_{2}\right) \)
в обратном направлении течения времени имеет определенный смысл; на это
1)Мы опустили четыре страницы, повторяющие начало главы «Некоторые трудные вопросы волновой механики» (в первой части книги), в связи с чем были вынуждены несколько изменить первую фразу. – Прим. редакторов франц. издания.

несколько лет назад указали В. А. Фок и Коста де Боргар, которые подчеркивали важность этой операции и ввели термин «поствидение». В самом деле, если наблюдатель \( B \), который знает лишь о локализации частицы в точке \( M_{2} \) в момент \( t_{2} \), не может установить достоверно факт локализации в точке \( M_{1} \) в момент \( t_{1} \) и найти форму функции \( \psi_{A}(M, t) \), то он все-таки может найти относительные вероятности различных положений частицы в момент \( t_{1} \), исходя из известного ему факта локализации частицы в точке \( M_{2} \) в момент \( t_{2} \). Другими словами, наблюдатель \( B \) сможет решить задачу о «вероятности причин», которая формулируется следующим образом: какова вероятность того, что причиной локализации частицы в точке \( M_{2} \) в момент \( t_{2} \) была локализация частицы в точке \( M_{1} \) в момент \( t_{1} \) ? Здесь четко видно, что, хотя в волновой механике нет строго детерминированной связи между причиной и следствием, в ней все-таки существует стохастическая связь между причиной и следствием как в направлении от прошедшего к будущему, так и в направлении от будущего к прошедшему 1 ).

Для такого поствидения наблюдатель \( B \) должен использовать волновую функцию \( \psi_{B}(M, t) \), которую он получил, взяв начальное выражение
\( \psi_{B}\left(M, t_{2}\right)=\delta\left(M-M_{2}\right) \)

для волнового уравнения и обратив в последнем ход времени. Тогда для волновой функции \( \psi_{B}(M, t) \) он найдет выражение \( \psi_{B}\left(M, t_{1}\right) \) в прошедший момент \( t_{1}<t_{2} \) и величина \( \left|\psi_{B}\left(M, t_{1}\right)\right|^{2} \) даст ему вероятность того, что частица была локализована в точке \( M \) в момент \( t_{1} \). Это – вероятность для, наблюдателя \( B \), который знает о локализации в точке \( M_{2} \) в момент \( t_{2} \), но не знает о локализации в точке \( M_{1} \) в момент \( t_{1} \).

Для такого «поствидения», очевидно, необходимо, чтобы квадрат модуля \( \left|\psi_{B}\left(M_{1}, t_{1}\right)\right|^{2} \) был отличен от нуля, так как иначе будет равна нулю вероятность произошедшего события! Более тщательный анализ показывает, что требуется даже большее: вероятность \( \left|\psi_{A}\left(M_{2}, t_{2}\right)\right|^{2} \) того, что частица будет локализована в точке \( M_{2} \) в момент \( t_{2} \), если известно, что она была локализована в точке \( M_{1} \) в момент \( t_{1} \), должна быть равна вероятности того, что частица была локализована в точке \( M_{1} \) в момент \( t_{1} \), если известно, что она локализована в точке \( M_{2} \) в момент \( t_{2} \). В математической форме это условие записывается при указанных выше определениях \( \psi_{A} \) и \( \psi_{B} \) следующим образом:
\( \left|\psi_{A}\left(M_{2}, t_{2}\right)\right|^{2}=\left|\psi_{B}\left(M_{1}, t_{1}\right)\right|^{2} \).
Данное свойство симметрии между \( \psi_{A} \) и \( \psi_{B} \) прямо связано с классическим свойством симметрии фумкций Грина, что можно увидеть, выразив решения
1)В настоящее время автор сказал бы точнее: нет строго детерминированной связи между причиной и следствием, доступной наблюдению, но это не исключает возможности существования скрытой детерминированной связи, не обнаруживающейся в тех опытах, которые мы умеем сегодня проводить. – Ж.Л.

\( \psi_{A} \) и \( \psi_{B} \) волнового уравнения через симметричное ядро \( K\left(M^{\prime}, t^{\prime} ; M, t\right)^{1)} \) :
\( \psi_{A}\left(M_{2}, t_{2}\right)=\int K\left(M_{2}, t_{2} ; M_{1}, t_{1}\right) \delta\left(M-M_{1}\right) d M=K\left(M_{2}, t_{2} ; M_{1}, t_{1}\right) \),
\( \psi_{B}\left(M_{1}, t_{1}\right)=\int K\left(M_{1}, t_{1} ; M_{2}, t_{2}\right)^{*} \delta\left(M-M_{2}\right) d M=K^{*}\left(M_{1}, t_{1} ; M_{2}, t_{2}\right) \),
причем \( K\left(M_{2}, t_{2} ; M_{1}, t_{1}\right)=K\left(M_{1}, t_{1} ; M_{2}, t_{2}\right) \), откуда следует равенство (12).
1) Введем ядро \( K(M, t ; P, \tau) \), зависящее от двух точек пространства времени \( (M, t) \) и \( (P, \tau) \), и положим
\( \psi_{A}(M, t)=\int K(M, t ; P, \tau) \delta\left(P-M_{1}\right) \delta\left(\tau-t_{1}\right) d P d \tau=K\left(M, t ; M_{1}, t_{1}\right) \).
Следовательно,
\( \psi_{A}\left(M_{2}, t_{2}\right)=K\left(M_{2}, t_{2} ; M_{1}, t_{1}\right) \).
Подставив ядро \( K \) в волновое уравнение для \( \psi_{A} \), найдем
\( \frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial t} K(M, t ; P, \tau)=H_{M} K(M, t ; P, \tau) \)
и, следовательно,
\( -\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial t} K^{*}(M, t ; P, \tau)=H_{M} K^{*}(M, t ; P, \tau) \)
с начальным условием \( \psi_{A}\left(M, t_{1}\right)=\delta\left(M-M_{1}\right) \), которое будет выполняться, если
\( [K(M, t ; P, \tau)]_{t=\tau}=\delta(M-P)=\left[K^{*}(M, t ; P, \tau)\right]_{t=\tau} \),
чем и доказано, что \( К \) и \( К \) * симметричны.
Точно так же в случае поствидения введем ядро \( K_{1}(M, t ; P, \tau) \), такое, что
\( \psi_{B}(M, t)=\int K_{1}(M, t ; P, \tau) \delta\left(P-M_{2}\right) \delta\left(\tau-t_{2}\right) d P d \tau=K_{1}\left(M, t ; M_{2}, t_{2}\right) \),
откуда
\( \psi_{B}\left(M_{1}, t_{1}\right)=K_{1}\left(M_{1}, t_{1} ; M_{2}, t_{2}\right) \).
Поскольку мы рассматриваем эволюцию волновой функции \( \psi_{B} \) в обращенном времени, напишем уравнение
\( -\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial t} K_{1}(M, t ; P, \tau)=H_{M} K_{1}(M, t ; P, \tau) \)
с начальным условием \( \psi_{B}\left(M, t_{2}\right)=\delta\left(M-M_{2}\right) \), которое будет удовлетворяться, если
\( \left[K_{1}(M, t ; P, \tau)\right]_{t=\tau}=\delta(M-P) \),
чем и доказывается симметричность ядра \( K_{1} \).
Формулы (4), (5), (8) и (9) показывают, что функции \( K^{*}(M, t ; P, \tau) \) и \( K_{1}(M, t ; P, \tau) \) удовлетворяют одному и тому же уравнению в частных производных с одним и тем же начальным условием. Следовательно,
\[
K_{1}(M, t ; P, \tau)=K^{*}(M, t ; P, \tau) .
\]

Отсюда с учетом симметрии ядер \( K \) и \( K_{1} \) получаем
\[
\begin{array}{l}
\left|\psi_{A}\left(M_{2}, t_{2}\right)\right|^{2}=\left|K\left(M_{2}, t_{2} ; M_{1}, t_{1}\right)\right|^{2}=\left|K_{1}\left(M_{2}, t_{2} ; M_{1}, t_{1}\right)\right|^{2}= \\
=\left.K_{1}\left(M_{1}, t_{1} ; M_{2}, t_{2}\right)\right|^{2}=\left|\psi_{B}\left(M_{1}, t_{1}\right)\right|^{2} . \\
\end{array}
\]
Что и требовалось доказать. – Л.Б.

Нетрудно установить физический смысл соотношения симметрии (12). Рассмотрим какой-либо оптический прибор, позволяющий наблюдать интерференцию или дифракцию. Поместим в точку \( M_{1} \) перед входом в прибор источник света с интенсивностью, равной единице. В точке \( M_{2} \) на выходе из прибора будем иметь интенсивность света \( i \). Если затем единичный источник света
Рис. 17

поместить в точку \( M_{2} \), а не в точку \( M_{1} \), то в точке \( M_{1} \) также будет наблюдаться интенсивность света, равная \( i \). Это можно доказать, исходя из уравнения, описывающего распространение света. Но данный вывод представляется естественным и с термодинамической точки зрения: если предположить, что весь прибор находится в термостате с температурой \( T \), а в точках \( M_{1} \) и \( M_{2} \) находятся два малых абсолютно черных точечных тела, которые испускают тепловое излучение, то каждое из этих тел должно будет посылать другому столько же энергии, сколько оно получает, так как иначе равенство температур двух абсолютно черных тел спонтанно нарушилось бы, что невозможно.

Итак, наблюдатель \( B \) может, зная о локализации частицы в точке \( M_{2} \) в момент \( t_{2} \), при помощи волновой функции \( \psi_{B} \) найти вероятность локализации ее в прошлом в точке \( M_{1} \) в момент \( t_{1} \). Подчеркнем еще раз, что здесь речь идет о задаче, аналогичной классической задаче теории вероятностей о вероятности причин, и что здесь мы имеем дело со стохастической взаимосвязью между причиной и следствием.

Полученные выше результаты легко вывести, применив формулу Байеса, дающую вероятность причин. Согласно этой формуле, вероятность того, что причиной констатированного события \( k \) было событие \( i \), равна
\[
t^{(k)}=\frac{\omega_{i} p_{i k}}{\sum_{j} \omega_{j} p_{j k}},
\]

где \( \omega_{j} \) – априорная вероятность причины \( j \), а \( p_{j k} \) – вероятность того, что причић.l \( j \) вызовет следствие \( k \). Согласно этой формуле, вероятность того, что час1 ица была локализована в точке \( M_{1} \) в момент \( t_{1} \); если известно, что она была локализована в точке \( M_{2} \) в момент \( t_{2}>t_{1} \), дается выражением
\[
P_{M_{1}, i_{1}}^{\left(M_{2}\right)}=\frac{\omega\left(M_{1}, t_{1}\right)\left|K\left(M_{1}, t_{1} ; M_{2}, t_{2}\right)\right|^{2}}{\int \omega\left(M_{1}, t_{1}\right)\left|K\left(M_{1}, t_{1} ; M_{2}, t_{2}\right)\right|^{2} d M_{1}} .
\]

Естественно принять, что все положения \( M_{1} \) априори равновероятны, так что \( \omega\left(M_{1}, t_{1}\right)=A \) для всех \( M_{1} \). Более того,
\[
\left|K\left(M_{1}, t_{1} ; M_{2}, t_{2}\right)\right|^{2}=\left|\psi_{A}\left(M_{2}, t_{2}\right)\right|^{2} \propto\left|\psi_{B}\left(M_{1}, t_{1}\right)\right|^{2},
\]
I2-782

и поскольку функции \( \psi \) нормированы, то
\[
P_{M_{1}, t_{1}}^{\left(M_{2}, t_{2}\right)}=\left|K\left(M_{1}, t_{1} ; M_{2}, t_{2}\right)\right|^{2}=\left|\psi_{B}\left(M_{1}^{*} ; t_{1}\right)\right|^{2},
\]

что и требовалось доказать.
Сделаем следущее замечание. В некотором смысле можно сказать, что «истинной» волновой функцией в промежутке времени \( \left(t_{2}, t_{1}\right) \) является функция \( \psi_{A} \), поскольку она содержит сведения, которые мог бы иметь наблюдатель \( B \), если бы его информация была полной. Момент \( t_{1} \) был раньше момента \( t_{2} \), и наблюдатель \( B \) мог бы знать в момент \( t_{2} \) форму волновой функции \( \psi_{A} \). Но так как по предположению он знает лишь о локализации частицы в точке \( M_{2} \) в момент \( t_{2} \), у него нет полной информации. Неполнота информации вынуждает его пользоваться «неполной» функцией \( \psi_{B} \) при анализе обращенной эволюции, а это будет дава́ть ему лишь вероятности, а не достоверные сведения о локализации частицы в момент \( t_{1} \).

Очевидно, что весь этот вопрос можно было бы рассмотреть с точки зрения теории информации, но, естественно, с учетом специфики квантовой механики (интерференция вероятностей и существенная роль фаз). При строгом подходе следовало бы также учитывать релятивистские представления и принимать во внимание то обстоятельство, что скорость распространения сигналов не может превышать величины \( c \). Если первая локализация есть событие \( M_{1}, t_{1} \) в эйнштейновском пространстве-времени, то вторая – это точкасобытие \( M_{2}, t_{2} \), которое обязательно должно находиться на световом конусе «будущего» по отношению к событию \( M_{1}, t_{1} \). Следовательно, наблюдатель \( B \), который констатирует локализацию в точке \( M_{2} \) в момент времени \( t_{2} \), в принципе мог бы знать (например, по световому сигналу) о локализации частицы в точке \( M_{1} \) в момент времени \( t_{1} \); если же он этого не знает, то он не имеет полной информации. Такие рассуждения показывают, в частности, что симметрия между прошедшим и будущим в соотношении (12) – лишь кажущаяся и что факт существования в сознании всех людей одного направления течения времени исключить невозможно. К этому вопросу мы вернемся ниже.