Пусть у нас снова имеются две системы I и II, находящиеся во взаимодействии. Пусть \( A^{(1)} \) и \( B^{(2)} \) – две величины, характеризующие каждая свою систему, а \( \alpha_{k}^{(1)}, \beta_{l}^{(2)} \) и \( \varphi_{k}^{(1)}, \chi_{l}^{(2)} \) – собственные значения и собственные функции этих величин.
До взаимодействия мы имеем
\( \Psi=\sum_{k} c_{k} \varphi_{k}^{(1)} \sum_{l} d_{l} \chi_{l}^{(2)}=\sum_{k, I} c_{k} d_{l} \varphi_{k}^{(1)} \chi_{l}^{(2)} \),
где \( \sum_{k}\left|c_{k}\right|^{2}=1 \) и \( \sum_{l}\left|d_{l}\right|^{i}=1 \). Величина \( \overline{A^{(1)} B^{(2)}}-\overline{A^{(1)} \cdot B^{(2)}} \), которая входит в числитель в формуле для коэффициента корреляции величин \( A^{(1)} \) и \( B^{(2)} \)
\[
r_{A B}=\frac{m_{A B}-m_{A} \cdot m_{B}}{\sigma_{A} \cdot \sigma_{B}},
\]

равна здесь
\( \sum_{k, l}\left|c_{k} d_{l}\right|^{2} \alpha_{k}^{(1)} \beta_{l}^{(2)}-\left(\sum_{k}\left|c_{k}\right|^{2} \alpha_{k}^{(1)} \sum_{l}\left|d_{l}^{*}\right|^{2}\right)\left(\sum_{l}\left|d_{l}\right|^{2} \beta_{l}^{(2)} \sum_{k}\left|c_{k}\right|^{2}\right) \),
или
\[
\sum_{k}\left|c_{k}\right|^{2} \alpha_{k}^{(1)} \sum_{l}\left|d_{l}\right|^{2} \beta_{l}^{(2)}-\sum_{k}\left|c_{k}\right|^{2} \alpha_{k}^{(1)} \sum_{l}\left|d_{l}\right|^{2} \beta^{(2)}=0 .
\]

Следовательно, коэффициент корреляции равен нулю, как и должно быть. После взаимодействия волновая функция полной системы I+ II будет равна
\( \Psi=\sum_{k, I} C_{k l} \varphi_{k}^{(1)} \chi^{(2)} \),
причем
\[
\sum_{k, l}\left|C_{k l}\right|^{2}=1 \text {, }
\]

и мы имеем
\[
\begin{array}{l}
\overline{A^{(1)}}=\int \Psi^{*} A^{(1)} \Psi d x_{1} d x_{2}= \\
=\sum_{k, l, k^{\prime}, l^{\prime}} C_{k l}^{*} C_{k^{\prime} l^{\prime}} \int \varphi_{k}^{(1)^{*}} A^{(1)} \varphi_{k}^{(1)} d x_{1} \int \chi_{l^{(2)}} \chi_{l^{*}}^{(2)} d x_{2}= \\
=\sum_{k, l}\left|C_{k l}\right|^{2} \alpha_{k}^{(1)}, \\
\overline{B^{(2)}}=\sum_{k, l, k^{\prime}, l^{\prime}} C_{k l}^{*} C_{k^{\prime} l^{\prime}} \int \varphi_{k}^{(1)^{*}} \varphi_{k^{\prime}}^{(\mathrm{i})} d x_{1} \int x_{l}^{(2)^{*}} B^{(2)} \chi_{l^{\prime}}^{(2)} d x_{2}=\sum_{k, l}\left|C_{k l}\right|^{2} \beta^{(2)}, \\
A^{(1)} B^{(2)}=\int \Psi^{*} A^{(1)} B^{(2)} \Psi d x_{1} d x_{2}= \\
=\sum_{k, l, k^{\prime}, l^{\prime}} C_{k l}^{*} C_{k^{\prime} l^{\prime}} \int \varphi_{k}^{(1)^{*}} A^{(1)} \varphi_{k^{\prime}}^{(1)} d x_{1} \int \chi_{l^{(2)^{*}} B^{(2)} \chi_{l^{\prime}}^{(2)}} d x_{2}= \\
=\sum_{k, l}\left|C_{k l}\right|^{2} \alpha_{k}^{(1)} \beta_{l}^{(2)} . \\
\end{array}
\]

Следовательно,
\[
\overline{A^{(1)} B^{(2)}}-\overline{A^{(1)}} \overline{B^{(2)}}=\sum_{k, l}\left|C_{k l}\right|^{2}\left[\alpha_{k}^{(1)} \beta^{(2)}-\alpha_{k}^{(1)} \sum_{m n}\left|C_{m n}\right|^{2} \beta_{n}^{(2)}\right] .
\]

В общем случае эта величина отлична от нуля, так что коэффициент корреляции \( r
eq 0 \), т.е. в результате взаимодействия возникает корреляция.