Выше мы предполагали, что у нас дискретный ряд квантовых состояний. Но зачастую встречается очень важный случай, когда состояния образуют непрерывный спектр (например, в задачах рассеяния). Тогда нужно повторить проведенные рассуждения, предположив, что система, находящаяся в известном начальном состоянии \( n \), может перейти в конечное состояние, принадлежащее непрерывному спектру. Будем считать, что число возможных конечных состояний, энергия которых лежит в интервале ( \( E, E+d E \) ), равно \( \rho(E) d E \), причем функция \( \rho(E) \) непрерывна и не очень быстро меняется при изменении \( E \).

Мы несколько изменим изложенную ранее теорию так, чтобы она была применима к случаю, когда конечное состояние \( m \) лежит в малом интервале \( \Delta E \) непрерывного спектра. Сначала предположим, что возможен прямой переход \( n \rightarrow m\left(V_{n m}
eq 0\right) \). Тогда из формулы (12) следует, что полная вероятность перехода за время \( t \) из начального состояния \( n \) в какое-либо конечное состояние \( m \), лежащее в интервале ( \( E, E+\Delta E \) ), будет равна
\[
P_{n, \Delta E}(t)=\frac{4 \pi^{2}}{h^{2}} \int_{E}^{E+\Delta E}\left|V_{n m}\right|^{2}\left(\frac{\sin \frac{\pi}{h}\left(E-E_{n}\right) t}{\frac{\pi}{h}\left(E-E_{n}\right)}\right)^{2} \rho(E) d E .
\]

Как нетрудно убедиться, если \( F_{n} \) не лежит в интервале \( \Delta E \), то данный интеграл будет очень мал в любой момент \( t \), так что. \( P(t) / t \) стремится к нулю при \( t \rightarrow \infty \). Можно сказать, что в этом случае вероятность перехода́ за единицу времени равна нулю.

Иначе обстоит дело, если \( E_{n} \) лежит в интервале \( \Delta E \). В этом случае, если время \( t \) достаточно велико, то интеграл от \( E \) до \( E+\Delta E \) растет пропорционально времени \( t \) и вероятность перехода за единицу времени принимает конечное значение. Такие переходы происходят достаточно часто.

Точнее говоря, исследование данного интеграла показывает, что для того, чтобы утверждать, что произошел переход из начального состояния \( E_{n} \) в состояние \( E \), лежацее в интервале \( \delta E \), необходимо прождать время, по порядку величины равное \( \delta t=(h / 2 \pi) / \delta E \); это соответствует четвертому соотношению неопределенностей \( \delta E \cdot \delta t \sim h \). Поэтому закон сохранения энергии \( E_{m} \approx E_{n} \) будет выполняться лишь по истечении достаточно большого промежутка времени, но в нашем масштабе величина \( h \) очень мала, и это время на практике оказывается очень коротким.

Таким образом, по истечении времени \( \delta t \) (которое на практике очень мало) от начала возмущения будет выполняться закон сохранения энергии и становится возможным констатировать, что система перешла из начального состояния \( E_{n} \) в конечное состояние с почти такой же энергией \( E_{m}\left(E_{m}-E_{n} \approx h / \delta t\right) \). Поэтому очень приближенно можно написать
\[
P_{n, \Delta E}(t) \approx \frac{4 \pi^{2}}{h^{2}}\left|V_{m n}\right|^{2} \rho\left(E_{n}\right) \int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\sin \frac{\pi}{h}\left(E-E_{n}\right) t}{\frac{\pi}{h}\left(E-E_{n}\right)}\right)^{2} d E,
\]

так как интеграл определяется в основном окрестностью точки \( E=E_{n} \) и без большой ошибки можно вместо \( \rho(E) \) поставить \( \rho\left(E_{n}\right) \), а интеграл распространить на все значения \( E \). Полагая
\[
u=\frac{\pi}{h}\left(E-E_{n}\right) t \text {, }
\]

получаем
\[
\frac{P_{n, \Delta E}(t)}{t}=\frac{4 \pi}{h}\left|V_{m n}\right|^{2} \rho\left(E_{n}\right) \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin ^{2} u}{u^{2}} d u=\frac{4 \pi^{2}}{h}\left|V_{m n}\right|^{2} \rho\left(E_{n}\right) .
\]

Отнесенная к единице времени вероятность перехода из состояния \( n \) в состояние \( m \), принадлежащее непрерывному спектру, в результате оказывается равной
\[
P_{n-m}=\frac{4 \pi^{2}}{h}\left|V_{m n}\right|^{2} \rho\left(E_{n}\right) .
\]

Эта фундаментальная формула (формула Вентцеля) справедлива в том случае, когда возможен прямой переход \( n \rightarrow m \). В этом случае \( V_{n m} \) – отличный от нуля матричный элемент \( V_{n m} \), описывающий переход из состояния \( n \) в состояние \( m \) с энергией \( E_{m} \), принадлежащее непрерывному спектру. Проведенный анализ ясно показывает, каким образом закон сохранения энергии строго входит в силу по истечении времени взаимодействия, соответствующего четвертому соотношению неопределенностей.

Если прямой переход \( n \rightarrow m \) невозможен ( \( V_{n m}=0 \) ), то иногда возможен переход \( n \rightarrow m \) через промежуточное состояние \( p \), и тогда нужно исходить из формулы (17). Как нетрудно убедиться, если не рассматривать исключительный случай резонанса между состояниями \( m \) и \( p \), члены с \( E_{p}-E_{m} \) в формуле (17) не дают сколько-нибудь заметного вклада в вероятность перехода. Поэтому все сказанное выше будет по-прежнему справедливо, если заменить \( V_{m n}^{\prime} \) на \( V_{m n}: \)
\( P_{n \rightarrow m}=\frac{4 \pi^{2}}{h}\left|V_{m n}^{\prime}\right|^{2} \rho\left(E_{n}\right) \),
где
\[
V_{m n}^{\prime}=\sum_{p} \frac{V_{m p} V_{p n}}{E_{n}-E_{p}},
\]

а \( m \) – индекс состояния в непрерывном спектре, соответствующего энергии \( E_{n} \).

Закон сохранения энергии по-прежнему выполняется лишь для полного процесса \( n \rightarrow m \), но не для промежуточного состояния \( p \), поскольку \( E_{p} \) может отличаться от \( E_{n} \) и \( E_{m} \).

И в данном случае тоже нельзя обнаружить систему в промежуточном состоянии \( p \), так что нарушение закона сохранения энергии ненаблюдаемо. Подобного рода состояния \( p \) называются «виртуальными», поскольку они не могут быть обнаружены на опыте.

Для переходов с несколькими промежуточными состояниями можно вывести аналогичные, хотя и более сложные формулы.

Физический пример. Приведем пример, чтобы проиллюстрировать изложенное выше.

Рассмотрим сначала рассеяние света на атоме. У атома имеются основное квантовое состояние с минимальной энергией \( E_{0} \) и ряд возбужденных квантовых состояний с энергиями \( E_{1}, E_{2}, \ldots \), превышающими \( E_{0} \). Если на атом падает световая волна с частотой \(
u \), то он рассеивает падающий свет, не меняя его частоты. Анализ этого явления, позволяющий найти закон «дисперсии» для атомов рассматриваемого вида, приводит к представлению о том; что, взаимодействуя с излучением, атом колеблется между состоянием \( E_{0} \) и «виртуальными» состояниями \( E_{1}, \ldots \). Точнее, происходит переход с сохранением энергии из начального состояния падающий фотє н с частотой \(
u+ \) стом в состоянии \( E_{0} \) в конечное состояние рассеянный фотон с частотой \(
u \), направление движения которого в общем случае отлично от направления падения, + атом, вернувшийся в состояние \( E_{0} \), через промежуточное состояние, которым является одно из состояний \( E_{1}, E_{2}, \ldots \) в соответствии с рассмотренной выше теоретической схемой. Поскольку, если не считать исключительного случая резонанса, требующего специального изучения, разности энергий \( E_{i} \) – \( E_{0} \) отличны от \( h
u \), закон сохранения энергии в промежуточном софтоянии \( E_{i} \) не выполняется. Но это не очень существенно, так как указанное промежуточное состояние является «виртуальным» и его невозможно обнаружить на опыте.

В квантовой теории взаимодействия между заряженными частицами также приходится часто иметь дело с переходами через промежуточные «виртуальные» состояния с нарушением закона сохранения энергии (обмен виртуальными фотонами).

Хорошую иллюстрацию к четвертому соотношению неопределенностей дает теория ширины спектральных линий. Рассмотрим спектральную линию, соответствующую переходу атома из возбужденного состояния \( E_{i} \) в основное состояние \( E_{0} \). Как показывают опыт и квантовая теория, ширина такой линии испускания конечна и распределение интенсивности (контур линии) дается формулой
\[
I(
u)=\frac{I_{0} \gamma}{4 \pi^{2}\left(
u_{i 0}-
u\right)^{2}+\gamma^{2} / 4},
\]

где \(
u_{i 0}=\left(E_{i}-E_{0}\right) / h- \) (центральная) частота линии, а \( \gamma- \) «время жизни» начального состояния с энергией \( E_{i} \) (вероятность нахождения атома в возбужденном состоянии \( E_{i} \) после возбуждения убывает со временем \( t \) по закону \( e^{-\gamma t} \) ). Как нетрудно видеть, \( I(
u) \) достигает максимума при \(
u=
u_{i 0} \) и быстро убывает при удалении от центра линии: \( I(
u)=1 / 2 I\left(
u_{i 0}\right) \) при \( \left|
u-
u_{i 0}\right|=\gamma / 4 \pi \). Таким образом, можно условно принять величину \( \gamma / 4 \pi \) в качестве «ширины» линии. Учитывая определение времени жизни \( \gamma \), мы видим, что за атомом в состоянии \( E_{i} \) можно следить лишь в течение времени \( \delta t \), по порядку величины равного \( 1 / \gamma \). Поэтому невозможно измерить \( E_{i} \) с неопределенностью, меньшей \( \delta E \sim h / \delta t \sim h \gamma \). Таким образом, частоту линии можно измерить лишь с неопределенностью \( \delta
u=\delta E / h \sim \gamma \), что соответствует конечной ширине линии.

Читателей, желающих глубже изучить затронутые в данном разделе вопросы, отсылаем к книге «Новая теория света», т. II [II, 16].