Как мы видели, для того чтобы некое устройство могло служить измерительным прибором, волновая функция системы «объект + устройство» после взаимодействия должна иметь вид
\[
\psi(x, y)=\sum_{k} c_{k} u_{k}(x) v_{k}(y) .
\]

Вернемся к рассуждениям, которые позволили нам определить смешанное состояние, возникающее в результате взаимодействия (с. 284). Пусть \( A \) – оператор, соответствующий некой величине, связанной с объектом, который предполагается изолированным, и пусть \( \psi(x)=\sum_{k} c_{k} u_{k}(x) \). Тогда
\[
\bar{A}=\int_{D} \psi^{*} A \psi d x=\sum_{k l} c_{k}^{*} c_{l} \int_{D} u_{k}^{*} A u_{l} d x=\sum_{k l} c_{k}^{*} c_{l} A_{k l}
\]

есть среднее значение, соответствующее элементарной статистической матрице
\[
P_{l k}=c_{k}^{*} c_{l}, \quad \bar{A}=\operatorname{Tr}(P A) .
\]

Здесь \( \operatorname{Tr} P=1 \) и \( P^{n}=P \).
После же взаимодействия мы имеем
\[
\begin{array}{r}
\vec{A}=\int_{D} \psi^{*} A \psi d x d y=\int_{D} \sum_{k} c_{k}^{*} u_{k}^{*} v_{k}^{*} A \sum_{l} c_{l} u_{l} v_{l} d x d y=\sum_{k l} c_{k}^{*} c_{l} \int u_{k}^{*} A u_{l} d x \int v_{k}^{*} v_{l} d y= \\
=\sum_{k l} c_{k}^{*} c_{l} A_{k l} \delta_{k l}=\sum_{k}\left|c_{k}\right|^{2} A_{k k},
\end{array}
\]

что соответствует неэлементарной статистической матрице
\( \left(P_{1}\right)_{k l}=\delta_{k l}\left|c_{k}\right|^{2} \).
По-прежнему \( \operatorname{Tr} P_{1}=1 \), но равенство \( P_{1}^{2}=P_{1} \) теперь не выполняется.
Сравнив два выражения для \( A \)
\[
\sum_{k l} c_{k}^{*} c_{l} A_{k l}, \quad \sum_{k}\left|c_{k}\right|^{2} A_{k k},
\]

мы увидим, что второе получается из первого, если сохранить лишь диагональные члены. Отсюда следует, что, в то время как первое выражение зависит от разности фаз между \( c_{k} \), второе от них не зависит; можно также сказать, что второе выражение получается из первого усреднением по значениям фаз, которые все предполагаются равновероятными. Таким образом, мы снова встречаемся с потерей информации о фазах при измерении и ясно видим, как она связана с преобразованием чистого состояния в смешанное в результате взаимодействия, на котором основано измерение \( { }^{1)} \).

Анализируя измерения, проводимые методом Штерна – Герлаха, мы отмечали, что неправильно говорить (как это делают Лондон и Бауэр), что положение центра тяжести атома играет роль стрелки измерительного прибора, поскольку оно не воспринимается непосредственно нашими органами чувств: констатировать можно лишь макроскопический зффект (ток разряда в счетчике, почернение фотопластинки и т.д.), обусловленный определенным положением атома. В более общей форме можно сказать, что всякий процесс измерения в конечном счете связан с неким макроскопическим эффектом, обусловленным определенной локализацией микроскопического элемента. Например, если рассмотреть столкновение частицы 1 с частицей 2 , в котором каждой частице в начальный момент соответствует узкий пучок волн \( \psi \), то после столкновения будет целый ряд возможных результатов с разными значениями пере-
Рис. 15
1)Автор подробно рассмотрит этот процесс в своей работе по теории измерений [II, 27], где покажет, что стирание фаз происходит при регистрации присутствия частицы в одном из волновых пакетов, выходящих из спектрального анализатора. – Ж.Л.

даваемых энергии и импульса, и движения двух частиц в конечном состоянии будут коррелированы \( { }^{1)} \).

Если после столкновения частица 1 связана с пучком 1, то частица 2 связана с пучком 2 , а если частица 1 связана с пучком 1′, то частица 2 связана с пучком 2′, и т.д. Если частица 2 локализуется в области \( R \) пространства, вызывая доступный наблюдению макроскопический зффект, то на этом основании можно определить состояние движения частицы 1 , которое будет «коррелировано» с состоянием движения, которое на основании наблюдения было приписано частице 2. Здесь частица 2 служит для измерения характеристик движения частицы 1 , причем локализация частицы 2 в области \( R \) полностью изменяет состояние частицы 2 , не влияя на состояние частицы 1 . Эта локализация лишь позволяет установить, какое из чистых состояний в конечном смешанном состоянии частицы 2 фактически реализовано. Роль стрелки измерительного прибора в данном случае играет не положение частицы 2 , которое само по себе ненаблюдаемо, а макроскопический эффект, констатируемый нашими органами чувств, вызываемый локализацией частицы 2 в области \( R \).

Таким образом, полная теория измерений в микрофизике не должна ограничиваться анализом эволюции системы микроскопических частиц, которые вступают во взаимодействие при измерении. Она должна связывать эту эволюцию с эффектами, которые непосредственно доступны нашим органам чувств и которые в некотором смысле играют роль стрелки прибора. Каким же образом осуществляется это в теории измерений? Мы специально обращаем внимание на этот вопрос, который обычно оставляется в стороне при его традиционном рассмотрении.

Чтобы лучше разобраться в этом, поставим следуюший вопрос. Каким образом можно перейти от микрофизических величин, рассматриваемых в волновой механике, к величинам, непосредственно наблюдаемым при помощи наших органов чувств? Ответ состоит в том, что связь осуществляется через посредство средних значений. Пусть имеется микроскопическая система \( S \) и пусть \( A \) – измеряемая величина, сопоставляемая с этой системой. Величина \( A \) может принимать ряд квантовых значений, и ее среднее значение (математическое ожидание) будет равно \( \bar{A} \), но отдельное значение величины \( \boldsymbol{A} \) непосредственно не может быть оценено нашими органами чувств. Если же вместо того чтобы рассматривать одну систему \( S \), мы имеем дело с громадным числом \( \mathscr{N} \) систем, тождественных с \( S \), то мы можем непосредственно наблюдать (по крайней мере в благоприятных случаях) макроскопическую величину \( A_{\text {макр }}= \) \( =\mathscr{N} \overline{\boldsymbol{A}} \). Локализация макроскопической частицы, сама по себе ненаблюдаемая, может сопровождаться взаимодействием с очень большим числом других элементарных частиц, что приводит к появлению макроскопически наблюдаемой величины указанного выше вида.

Рассмотрим, например, волну \( \psi \), соответствующую электрону, который падает на плоскую фотопластинку. Априори электрон может с равной вероят-
1)Эти замечания носят фундаментальный характер, поскольку они предвещают последующую теорию измерений де Бройля. – Ж.Л.

ностью (если падающая волна является плоской) попасть в любую точку фотопластинки. Тогда внезапно в некоторой точке светочувствительного слоя возникнет макроскопически наблюдаемое (скрытое) фотографическое изображение: электрон [будет локализован \( { }^{1} \) ] в этой точке пластинки. В действительности рассматриваемая «точка» чувствительного слоя фотопластинки представляет собой очень малую область, содержащую громадное число атомов эмульсии, и [локализация \( { }^{2} \) ] электрона в этой малой области сопровождается очень большим числом актов ионизации атомов в этой области фотопластинки, вызывающих локальную химическую реакцию, которая приводит к образованию локального скрытого фотографического изображения. Это и есть макроскопически констатируемый эффект, вызванный локализацией электрона.

Попытаемся рассмотреть данный вопрос, опираясь на анализ, основанный на методах волновой механики.
Рис. 16
Пусть \( P \) – плоскость фотопластинки. Будем отсчитывать переменные в направлении стрелки. Падающий электрон характеризуется переменной \( x \). Чувствительная фотопластинка разделена на очень малые области \( 1,2, \ldots \). Пусть \( y \) – переменная, характеризующая положение \( i \)-й рассматриваемой области. По-видимому, можно взять бесконечное число областей, так что \( y_{i} \) будет непрерывной переменной. Но возможно, что мы будем ближе к физической реальности, если переменную \( y_{i} \) будем рассматривать как дискретную (во всяком случае это облегчит вычисления). Каждая локальная область чувствительного слоя, характеризуемая координатой \( y_{i} \), содержит громадное число
1)Автор позднее заменил слова «будет локализован» словами «обнаружит себя». Поправка очень важная, поскольку в первом выражении подразумевается, что электрон, потенциально присутствующий во всех точках волны, локализуется актом наблюдения (теория Бора), тогда как второе выражение означает, что частица уже находится в некоторой точке волны, а акт наблюдения лишь обнаруживает ее присутствие (теория де Бройля). – Ж.Л.
\( { }^{2} \) Позднее автор заменил слово «локализация» словом «присутствие», очевидно, по тем же мотивам, что и в предыдущей поправке (обе поправки сделаны карандашом и, вероятно, в одно и то же время). – Ж.Л.

атомов эмульсии: через \( z_{i} \) мы обозначим совокупность большого числа координат, описывающих эти атомы. Нормальное состояние \( i \)-й области характеризуется волновой функцией \( v_{0}^{(i)}\left(z_{i}\right) \). Волновая функция полной системы «падающий электрон + фотопластинка» в начальный момент имеет вид \( \psi_{0}\left(x, z_{i}\right)= \) \( =u_{0}(x) v_{0}^{(1)}\left(z_{i}\right) v_{0}^{(2)}\left(z_{2}\right) \ldots v_{0}^{(n)}\left(z_{n}\right) \) (если всего \( n \) областей). Здесь \( u_{0}(x)- \) волновая функция, описывающая начальное состояние электрона (или, скорее, значения этой волновой функции на пластинке): поэтому \( u_{0}(x) \) будет константой, если волна падающего электрона \( \psi \) является плоской волной, которая падает по нормали на пластинку, и она будет равна ( \( 1 / r \) ) exp (ikr), если электроны испускаются с заданной энергией равномерно во все стороны от точечного источника, причем \( r \) – расстояние от точки пластинки до этого источника.

Взаимодействие электрона с чувствительным слоем приводит к тому, что \( \psi \) для системы принимает следующий вид:
\[
\psi=\sum_{i} u_{0}\left(y_{i}\right) \delta\left(x-y_{i}\right) v_{1}^{(i)}\left(z_{i}\right) v_{0}^{(1)}\left(z_{1}\right) \ldots v_{0}^{(i-1)}\left(z_{i-1}\right) v_{0}^{(i+1)}\left(z_{i+1}\right) \ldots v_{0}^{(n)}\left(z_{n}\right) .
\]

В самом деле, электрон, обнаруживаясь, например, в \( i \)-й области [что дает возможность приписать ему волновую функцию \( \delta\left(x-y_{i}\right) \) ], вызывает сложные процессы ионизации атомов этой области, что позволяет приписать волновой функции \( i \)-й области вид \( v_{1}^{i}\left(z_{i}\right) \), соответствующий данному состоянию ионизации. Но это возможно в любой из \( n \) областей, причем вероятность того, что это будет иметь место в \( i \)-й области, равна \( \left|u_{0}\left(y_{i}\right)\right|^{2} \); поскольку, согласно принципу интерференции,
\[
\int|\psi|^{2} d x d z_{1} \ldots d z_{n}=\sum_{i}\left|u_{0}\left(y_{i}\right)\right|^{2}=1 \text {. }
\]

Пусть теперь \( B_{j} \) – измеримая величина (которая, однако, непосредственно не наблюдается с помощью наших органов чувств), связанная с одним из микроскопических элементов \( j \)-й области. Например, это может быть компонента \( \rho v_{x} \) вектора тока, соответствующего одному из электронов в \( j \)-й области, который в результате ионизации потерял связь с атомом.
По общей формуле среднее значение величины \( B_{j} \) будет равно
\[
\stackrel{\rightharpoonup}{B}_{j}=\int \psi^{*} B_{j} \psi d x d z_{1} \ldots d z_{n}=\left|u_{0}\left(y_{i}\right)\right|^{2}\left(B_{j}\right)_{11}+\sum_{i
eq j}\left|u_{0}\left(y_{i}\right)\right|^{2}\left(B_{j}\right)_{00},
\]

что легко видеть, если учесть нормировку функций \( v_{0}^{(i)} \) и воспользоваться обычными определениями
\[
\begin{array}{l}
\left(B_{j}\right)_{11}=\int v Y^{(j}\left(z_{j}\right) B_{j} v_{1}^{(j)}\left(z_{j}\right) d z_{j}, \\
\left(B_{j}\right)_{00}=\int v^{(j)^{*}}\left(z_{j}\right) B_{j} v^{(j)}\left(z_{j}\right) d z_{j} .
\end{array}
\]

Наблюдаемый эффект (ток ионизации в направлении \( x \), если \( B_{j}=\rho v_{x} \), и т.д.) будет пропорционален величине \( \bar{B}_{j} \). В самом деле, поскольку каждая из областей \( 1,2, \ldots, n \) содержит бесконечное число одинаковых микрофизических систем (атомов, электронов и т.д.), эффект, вызванный локализацией атома в

\( j \)-й области, будет пропорционален среднему значению \( B_{j} \), а это среднее значение допускает макроскопическую констатацию.

Можно допустить, что среднее значение ( \( \left.B_{j}\right)_{00} \) величины \( B_{j} \) в \( j \)-й системе, находящейся в начальном состоянии, равно нулю. Величина же \( \left(B_{j}\right)_{11} \), относящаяся к ионизированному состоянию, вызванному действием электрона, будет отлична от нуля. Если макроскопически констатируется, что среднее значение \( \bar{B}_{j}
eq 0 \), то отсюда следует, что электрон был локализован в \( j \)-й области. Таким образом, мы измерим координату \( x \) электрона по допускающему макроскопическую констатацию эффекту (скрытого) фотографического изображения, возникающего в малой области фотопластинки.

Поставив в соответствие индекс \( i \) функции \( \delta\left(x-y_{i}\right. \) ), а индекс \( n_{j} \) (принимающий значение 0 или 1) – волновой функции \( v^{(j)}\left(z_{j}\right) \) для \( j \)-й области, получим, что коэффициенты при произведениях \( \delta\left(x-y_{i}\right) v_{0}^{(1)}\left(z_{1}\right) \ldots v_{1}^{(i)}\left(z_{i}\right) \ldots \) в разложении функции \( \psi \) имеют вид
\[
C_{i n_{1} \ldots n_{n}}=u_{0}\left(y_{i}\right) \delta_{n_{1} 0} \ldots \delta_{n_{i} 1} \ldots, \delta_{n_{n} 0},
\]

откуда
\[
\sum_{n_{1}, \ldots, n_{n}}^{1}\left|C_{i n_{1}, \ldots n_{n}}\right|^{2}=\left|u_{0}\left(y_{i}\right)\right|^{2} .
\]

Это – веса состояний \( \delta\left(x-y_{i}\right) \), относящихся к электрону, в смешанном состоянии, соответствующем данной функции \( \psi \) после взаимодействия электрона с фотопластинкой. Преобразование начального чистого состояния электрона в смешанное состояние с весами \( \left|u_{0}\left(y_{i}\right)\right|^{2} \), вызванное взаимодействием, соответствует возможности фиксировать локализацию частицы путем макроскопической констатации, относящейся к среднему значению величины \( B_{j} \). Изложенное позволяет лучше понять, почему определение смешанного состояния, образующегося в результате взаимодействия с измерительным аппаратом, должно быть тесно связано с определением средних значений \( { }^{1)} \).
1)(Карандашная пометка.) Важное значение локализации. Первичный характер \( q \) представления. – Л.Б.
(Запись на отдельном листке.) Рассуждения, которые мы только что изложили, повидимому, показывают, что всякое измерение осуществляется путем определения локализации, т.е. путем констатации присутствия частицы в малой области пространства. Отсюда следует, что определение локализации есть прямое измерение, а все другие измерения (например, импульса) суть косвенные, требующие констатации локализации.

Из этого, по-видимому, явствует, что (в согласии с представлениями теории волныпилота) плотность вероятности присутствия в определенной точке \( |\psi(x)|^{2} \) имеет более непосредственный характер, чем другие плотности вероятности, вводимые в волновой механике. Другими словами, \( p \)-представление имеет менее прямой физический смысл, чем \( q \)-представление. – Л.Б.

Второе из этих примечаний автора, по-видимому, было сделано значительно позже первого и свидетельствует по крайней мере о третьем прочтении текста. Выраженная здесь мысль была позже подробно развита автором [II, 27, с. \( 81 ; 29 \), с. \( 51 ; 33 \), с. 21 и 164]. То, что здесь идет речь о теории волны-пилота, а не о теории двойного решения, не имеет значения, поскольку рассуждения остаются теми же самыми, если не считать интерпретации характера волны. – Ж.Л.