Как мы видели, для того чтобы некое устройство могло служить измерительным прибором, волновая функция системы «объект + устройство» после взаимодействия должна иметь вид
$$\psi (x,y)=\sum _k{c}_k{u}_k(x)v_k(y).$$

Вернемся к рассуждениям, которые позволили нам определить смешанное состояние, возникающее в результате взаимодействия (с. 284). Пусть $A$ — оператор, соответствующий некой величине, связанной с объектом, который предполагается изолированным, и пусть $\psi (x)=\sum _k{c}_k{u}_k(x)$. Тогда
$$\overline{A}={\int }_D{\psi }^{\ast }A\psi dx=\sum _{kl}{c}_k^{\ast }{c}_l{\int }_D{u}_k^{\ast }A{u}_{l}dx=\sum _{kl}{c}_k^{\ast }{c}_l{A}_{kl}$$

есть среднее значение, соответствующее элементарной статистической матрице
$$P_{lk}=c_k^{\ast }{c}_l,\overline{A}=\mathrm{Tr}(PA).$$

Здесь $\mathrm{Tr}P=1$ и $P^n=P$.
После же взаимодействия мы имеем
$$\begin{array}{r}\overrightarrow{A}={\int }_D{\psi }^{\ast }A\psi dxdy={\int }_D\sum _k{c}_k^{\ast }{u}_k^{\ast }{v}_k^{\ast }A\sum _l{c}_l{u}_l{v}_{l}dxdy=\sum _{kl}{c}_k^{\ast }{c}_l\int u_k^{\ast }A{u}_{l}dx\int v_k^{\ast }{v}_{l}dy=\\ =\sum _{kl}{c}_k^{\ast }{c}_l{A}_{kl}{\delta }_{kl}=\sum _k{\left|c_k\right|}^2{A}_{kk},\end{array}$$

что соответствует неэлементарной статистической матрице
${\left(P_1\right)}_{kl}={\delta }_{kl}{\left|c_k\right|}^2$.
По-прежнему $\mathrm{Tr}{P}_1=1$, но равенство $P_1^2=P_1$ теперь не выполняется.
Сравнив два выражения для $A$
$$\sum _{kl}{c}_k^{\ast }{c}_l{A}_{kl},\sum _k{\left|c_k\right|}^2{A}_{kk},$$

мы увидим, что второе получается из первого, если сохранить лишь диагональные члены. Отсюда следует, что, в то время как первое выражение зависит от разности фаз между $c_k$, второе от них не зависит; можно также сказать, что второе выражение получается из первого усреднением по значениям фаз, которые все предполагаются равновероятными. Таким образом, мы снова встречаемся с потерей информации о фазах при измерении и ясно видим, как она связана с преобразованием чистого состояния в смешанное в результате взаимодействия, на котором основано измерение ${}^{1)}$.

Анализируя измерения, проводимые методом Штерна — Герлаха, мы отмечали, что неправильно говорить (как это делают Лондон и Бауэр), что положение центра тяжести атома играет роль стрелки измерительного прибора, поскольку оно не воспринимается непосредственно нашими органами чувств: констатировать можно лишь макроскопический зффект (ток разряда в счетчике, почернение фотопластинки и т.д.), обусловленный определенным положением атома. В более общей форме можно сказать, что всякий процесс измерения в конечном счете связан с неким макроскопическим эффектом, обусловленным определенной локализацией микроскопического элемента. Например, если рассмотреть столкновение частицы 1 с частицей 2 , в котором каждой частице в начальный момент соответствует узкий пучок волн $\psi$, то после столкновения будет целый ряд возможных результатов с разными значениями пере-
Рис. 15
1)Автор подробно рассмотрит этот процесс в своей работе по теории измерений [II, 27], где покажет, что стирание фаз происходит при регистрации присутствия частицы в одном из волновых пакетов, выходящих из спектрального анализатора. — Ж.Л.

даваемых энергии и импульса, и движения двух частиц в конечном состоянии будут коррелированы ${}^{1)}$.

Если после столкновения частица 1 связана с пучком 1, то частица 2 связана с пучком 2 , а если частица 1 связана с пучком 1′, то частица 2 связана с пучком 2′, и т.д. Если частица 2 локализуется в области $R$ пространства, вызывая доступный наблюдению макроскопический зффект, то на этом основании можно определить состояние движения частицы 1 , которое будет «коррелировано» с состоянием движения, которое на основании наблюдения было приписано частице 2. Здесь частица 2 служит для измерения характеристик движения частицы 1 , причем локализация частицы 2 в области $R$ полностью изменяет состояние частицы 2 , не влияя на состояние частицы 1 . Эта локализация лишь позволяет установить, какое из чистых состояний в конечном смешанном состоянии частицы 2 фактически реализовано. Роль стрелки измерительного прибора в данном случае играет не положение частицы 2 , которое само по себе ненаблюдаемо, а макроскопический эффект, констатируемый нашими органами чувств, вызываемый локализацией частицы 2 в области $R$.

Таким образом, полная теория измерений в микрофизике не должна ограничиваться анализом эволюции системы микроскопических частиц, которые вступают во взаимодействие при измерении. Она должна связывать эту эволюцию с эффектами, которые непосредственно доступны нашим органам чувств и которые в некотором смысле играют роль стрелки прибора. Каким же образом осуществляется это в теории измерений? Мы специально обращаем внимание на этот вопрос, который обычно оставляется в стороне при его традиционном рассмотрении.

Чтобы лучше разобраться в этом, поставим следуюший вопрос. Каким образом можно перейти от микрофизических величин, рассматриваемых в волновой механике, к величинам, непосредственно наблюдаемым при помощи наших органов чувств? Ответ состоит в том, что связь осуществляется через посредство средних значений. Пусть имеется микроскопическая система $S$ и пусть $A$ — измеряемая величина, сопоставляемая с этой системой. Величина $A$ может принимать ряд квантовых значений, и ее среднее значение (математическое ожидание) будет равно $\overline{A}$, но отдельное значение величины $\mathit{A}$ непосредственно не может быть оценено нашими органами чувств. Если же вместо того чтобы рассматривать одну систему $S$, мы имеем дело с громадным числом $\mathcal{N}$ систем, тождественных с $S$, то мы можем непосредственно наблюдать (по крайней мере в благоприятных случаях) макроскопическую величину $A_{\text{макр }}=$ $=\mathcal{N}\bar{\mathit{A}}$. Локализация макроскопической частицы, сама по себе ненаблюдаемая, может сопровождаться взаимодействием с очень большим числом других элементарных частиц, что приводит к появлению макроскопически наблюдаемой величины указанного выше вида.

Рассмотрим, например, волну $\psi$, соответствующую электрону, который падает на плоскую фотопластинку. Априори электрон может с равной вероят-
1)Эти замечания носят фундаментальный характер, поскольку они предвещают последующую теорию измерений де Бройля. — Ж.Л.

ностью (если падающая волна является плоской) попасть в любую точку фотопластинки. Тогда внезапно в некоторой точке светочувствительного слоя возникнет макроскопически наблюдаемое (скрытое) фотографическое изображение: электрон [будет локализован ${}^1$ ] в этой точке пластинки. В действительности рассматриваемая «точка» чувствительного слоя фотопластинки представляет собой очень малую область, содержащую громадное число атомов эмульсии, и [локализация ${}^2$ ] электрона в этой малой области сопровождается очень большим числом актов ионизации атомов в этой области фотопластинки, вызывающих локальную химическую реакцию, которая приводит к образованию локального скрытого фотографического изображения. Это и есть макроскопически констатируемый эффект, вызванный локализацией электрона.

Попытаемся рассмотреть данный вопрос, опираясь на анализ, основанный на методах волновой механики.
Рис. 16
Пусть $P$ — плоскость фотопластинки. Будем отсчитывать переменные в направлении стрелки. Падающий электрон характеризуется переменной $x$. Чувствительная фотопластинка разделена на очень малые области $1,2,\dots$. Пусть $y$ — переменная, характеризующая положение $i$-й рассматриваемой области. По-видимому, можно взять бесконечное число областей, так что $y_i$ будет непрерывной переменной. Но возможно, что мы будем ближе к физической реальности, если переменную $y_i$ будем рассматривать как дискретную (во всяком случае это облегчит вычисления). Каждая локальная область чувствительного слоя, характеризуемая координатой $y_i$, содержит громадное число
1)Автор позднее заменил слова «будет локализован» словами «обнаружит себя». Поправка очень важная, поскольку в первом выражении подразумевается, что электрон, потенциально присутствующий во всех точках волны, локализуется актом наблюдения (теория Бора), тогда как второе выражение означает, что частица уже находится в некоторой точке волны, а акт наблюдения лишь обнаруживает ее присутствие (теория де Бройля). — Ж.Л.
${}^2$ Позднее автор заменил слово «локализация» словом «присутствие», очевидно, по тем же мотивам, что и в предыдущей поправке (обе поправки сделаны карандашом и, вероятно, в одно и то же время). — Ж.Л.

атомов эмульсии: через $z_i$ мы обозначим совокупность большого числа координат, описывающих эти атомы. Нормальное состояние $i$-й области характеризуется волновой функцией $v_0^{(i)}\left(z_i\right)$. Волновая функция полной системы «падающий электрон + фотопластинка» в начальный момент имеет вид ${\psi }_0(x,z_i)=$ $=u_0(x)v_0^{(1)}\left(z_i\right)v_0^{(2)}\left(z_2\right)\dots v_0^{(n)}\left(z_n\right)$ (если всего $n$ областей). Здесь $u_0(x)-$ волновая функция, описывающая начальное состояние электрона (или, скорее, значения этой волновой функции на пластинке): поэтому $u_0(x)$ будет константой, если волна падающего электрона $\psi$ является плоской волной, которая падает по нормали на пластинку, и она будет равна ( $1/r$ ) exp (ikr), если электроны испускаются с заданной энергией равномерно во все стороны от точечного источника, причем $r$ — расстояние от точки пластинки до этого источника.

Взаимодействие электрона с чувствительным слоем приводит к тому, что $\psi$ для системы принимает следующий вид:
$$\psi =\sum _i{u}_0\left(y_i\right)\delta (x-y_i)v_1^{(i)}\left(z_i\right)v_0^{(1)}\left(z_1\right)\dots v_0^{(i-1)}\left(z_{i-1}\right)v_0^{(i+1)}\left(z_{i+1}\right)\dots v_0^{(n)}\left(z_n\right).$$

В самом деле, электрон, обнаруживаясь, например, в $i$-й области [что дает возможность приписать ему волновую функцию $\delta (x-y_i)$ ], вызывает сложные процессы ионизации атомов этой области, что позволяет приписать волновой функции $i$-й области вид $v_1^i\left(z_i\right)$, соответствующий данному состоянию ионизации. Но это возможно в любой из $n$ областей, причем вероятность того, что это будет иметь место в $i$-й области, равна ${\left|u_0\left(y_i\right)\right|}^2$; поскольку, согласно принципу интерференции,
$$\int |\psi {|}^{2}dxd{z}_1\dots d{z}_n=\sum _i{\left|u_0\left(y_i\right)\right|}^2=1\text{. }$$

Пусть теперь $B_j$ — измеримая величина (которая, однако, непосредственно не наблюдается с помощью наших органов чувств), связанная с одним из микроскопических элементов $j$-й области. Например, это может быть компонента $\rho v_x$ вектора тока, соответствующего одному из электронов в $j$-й области, который в результате ионизации потерял связь с атомом.
По общей формуле среднее значение величины $B_j$ будет равно
$${\stackrel{\rightharpoonup }{B}}_j=\int {\psi }^{\ast }{B}_j\psi dxd{z}_1\dots d{z}_n={\left|u_0\left(y_i\right)\right|}^2{\left(B_j\right)}_{11}+\sum _{ieqj}{\left|u_0\left(y_i\right)\right|}^2{\left(B_j\right)}_{00},$$

что легко видеть, если учесть нормировку функций $v_0^{(i)}$ и воспользоваться обычными определениями
$$\begin{array}{l}{\left(B_j\right)}_{11}=\int v{Y}^{(j}\left(z_j\right)B_j{v}_1^{(j)}\left(z_j\right)d{z}_j,\\ {\left(B_j\right)}_{00}=\int v^{(j{)}^{\ast }}\left(z_j\right)B_j{v}^{(j)}\left(z_j\right)d{z}_j.\end{array}$$

Наблюдаемый эффект (ток ионизации в направлении $x$, если $B_j=\rho v_x$, и т.д.) будет пропорционален величине ${\overline{B}}_j$. В самом деле, поскольку каждая из областей $1,2,\dots ,n$ содержит бесконечное число одинаковых микрофизических систем (атомов, электронов и т.д.), эффект, вызванный локализацией атома в

$j$-й области, будет пропорционален среднему значению $B_j$, а это среднее значение допускает макроскопическую констатацию.

Можно допустить, что среднее значение ( ${B_j)}_{00}$ величины $B_j$ в $j$-й системе, находящейся в начальном состоянии, равно нулю. Величина же ${\left(B_j\right)}_{11}$, относящаяся к ионизированному состоянию, вызванному действием электрона, будет отлична от нуля. Если макроскопически констатируется, что среднее значение ${\overline{B}}_{j}eq0$, то отсюда следует, что электрон был локализован в $j$-й области. Таким образом, мы измерим координату $x$ электрона по допускающему макроскопическую констатацию эффекту (скрытого) фотографического изображения, возникающего в малой области фотопластинки.

Поставив в соответствие индекс $i$ функции $\delta (x-y_i$ ), а индекс $n_j$ (принимающий значение 0 или 1) — волновой функции $v^{(j)}\left(z_j\right)$ для $j$-й области, получим, что коэффициенты при произведениях $\delta (x-y_i)v_0^{(1)}\left(z_1\right)\dots v_1^{(i)}\left(z_i\right)\dots$ в разложении функции $\psi$ имеют вид
$$C_{i{n}_1\dots n_n}=u_0\left(y_i\right){\delta }_{n_{1}0}\dots {\delta }_{n_{i}1}\dots ,{\delta }_{n_{n}0},$$

откуда
$$\sum _{n_1,\dots ,n_n}^1{\left|C_{i{n}_1,\dots n_n}\right|}^2={\left|u_0\left(y_i\right)\right|}^2.$$

Это — веса состояний $\delta (x-y_i)$, относящихся к электрону, в смешанном состоянии, соответствующем данной функции $\psi$ после взаимодействия электрона с фотопластинкой. Преобразование начального чистого состояния электрона в смешанное состояние с весами ${\left|u_0\left(y_i\right)\right|}^2$, вызванное взаимодействием, соответствует возможности фиксировать локализацию частицы путем макроскопической констатации, относящейся к среднему значению величины $B_j$. Изложенное позволяет лучше понять, почему определение смешанного состояния, образующегося в результате взаимодействия с измерительным аппаратом, должно быть тесно связано с определением средних значений ${}^{1)}$.
1)(Карандашная пометка.) Важное значение локализации. Первичный характер $q$ представления. — Л.Б.
(Запись на отдельном листке.) Рассуждения, которые мы только что изложили, повидимому, показывают, что всякое измерение осуществляется путем определения локализации, т.е. путем констатации присутствия частицы в малой области пространства. Отсюда следует, что определение локализации есть прямое измерение, а все другие измерения (например, импульса) суть косвенные, требующие констатации локализации.

Из этого, по-видимому, явствует, что (в согласии с представлениями теории волныпилота) плотность вероятности присутствия в определенной точке $|\psi (x){|}^2$ имеет более непосредственный характер, чем другие плотности вероятности, вводимые в волновой механике. Другими словами, $p$-представление имеет менее прямой физический смысл, чем $q$-представление. — Л.Б.

Второе из этих примечаний автора, по-видимому, было сделано значительно позже первого и свидетельствует по крайней мере о третьем прочтении текста. Выраженная здесь мысль была позже подробно развита автором [II, 27, с. $81;29$, с. $51;33$, с. 21 и 164]. То, что здесь идет речь о теории волны-пилота, а не о теории двойного решения, не имеет значения, поскольку рассуждения остаются теми же самыми, если не считать интерпретации характера волны. — Ж.Л.