Как мы видели, наблюдатель, знающий результат некоторого измерения, проведенного над некой системой в момент времени \( t \), не может восстановить волновую функцию, которой описывал состояние системы до измерения наблюдатель, располагавший предыдущей информацией.

Предположим, например, что наблюдатель \( A \) определяет положение частицы в момент \( t_{1} \) и находит ее в точке \( M_{1} \). Тогда он, взяв в качестве начального значения волновой функции функцию
\[
\psi_{A}\left(M, t_{1}\right)=\delta\left(M-M_{1}\right),
\]

может, основываясь на волновом уравнении, найти вид волновой функции \( \psi_{A}(M, t) \) в последующий момент времени и определить вероятность \( \left|\psi_{A}\left(M, t_{2}\right)\right|^{2} \) нахождения частицы в точке \( M \) в какой-либо момент \( t_{2}>t_{1} \). Предположим, что измерение координат, проведенное в момент \( t_{2} \), показывает, что частица находится в точке \( M_{2} \). Наблюдатель, знающий лишь второе положение (и не знающий первого), никак не сможет восстановить вид волновой функции \( \psi_{A}(M, t) \), взятой наблюдателем, который знал результат первого измерения. Если бы он знал эту функцию, то смог бы, обратив направление течения времени, получить положение \( M_{1} \) в момент вермени \( t_{1} \), но, не зная ее, он этого сделать не может. Даже если путем статистического эксперимента он определит амплитуды \( \left|\psi_{A}\left(M, t_{2}\right)\right| \) во всех точках \( M \) пространства, он не будет знать соответствуюшие фазы и не сможет проследить «попятную» эволюцию волновой функции \( \psi_{A} \). То же самое было бы и в случае измерения импульсов, т. е. при определении положения соответствующей точки в импульсном пространстве.

И все же, если наблюдатель \( B \), знающий лишь второе положение, не может с полной определенностью установить первое [найдя вид функции \( \psi_{A}(M, t) \) ], то он может определить относительные вероятности различных положений в момент времени \( t_{1} \) по известному ему положению \( M_{2} \) частицы в момент времени \( t_{2} \). Для этого он рассмотрит волновую функцию \( \psi_{B}(M, t) \), которая эволюционирует согласно волновому уравнению с обращенным направлением течения времени, имея начальный вид
\[
\psi_{B}\left(M, t_{2}\right)=\delta\left(M-M_{2}\right) .
\]

Тогда для момента \( t_{1}<t_{2} \) прошедшего времени он найдет вид \( \psi_{B}\left(M, t_{1}\right) \) волновой функции \( \psi_{B} \), а величина \( \left|\psi_{B}\left(M, t_{1}\right)\right|^{2} \) даст ему вероятность того, что в момент времени \( t_{1} \) частица была в точке \( M_{1} \). Это – вероятность для наблюдателя \( B \), который знает, что частица была в ;очке \( M_{2} \) в момент времени \( t_{2} \), но не знает, что в момент \( t_{1} \) она была в точке \( M_{1} \). Чтобы не было противоречий, величина \( \left|\psi_{B}\left(M_{1}, t_{1}\right)\right|^{2} \) должна быть отлична от нуля (иначе мы имели бы нулевую вероятность для события, которое уже произошло). Более тщательный анализ показывает, что требуется нечто большее: вероятность \( 1 \psi_{A}\left(M_{2}\right. \), \( \left.t_{2}\right)\left.\right|^{2} \) того, что частица будет в точке \( M_{2} \), если известно, что она была в точке \( M_{1} \) в момент \( t_{1} \), должна быть равна вероятности \( \left|\psi_{B}\left(M_{1}, t_{1}\right)\right|^{2} \) того, что частица была в точке \( M_{1} \) в момент \( t_{1} \), если известно, что она была в точке \( M_{2} \) в момент \( t_{2} \), т. е. при принятой ранее форме функций \( \psi_{A} \) и \( \psi_{B} \) должно выполняться равенство \( \left|\psi_{A}\left(M_{2}, t_{2}\right)\right|^{2}=\left|\psi_{B}\left(M_{1}, t_{1}\right)\right|^{2} \).

Это условие прямо связано со свойством симметрии функций Грина. Его физический смысл можно установить следующим образом. Поместим в точке \( M_{1} \) непосредственно перед входом какого-либо оптического прибора \( R \) (при помощи которого можно наблюдать интерференцию или дифракцию) источник света с единичной интенсивностью. В точке \( M_{2} \) на выходе нашего интерференционного прибора интенсивность света будет равна \( i \). Если теперь мы поместим источник света с интенсивностью 1 в точку \( M_{2} \), то в точке \( M_{1} \) получим интенсивность \( i \). Это необходимо с термодинамической точки зрения, ибо если, предположим, вся установка находится в термостате с температурой \( T \), а в точках \( M_{1} \) и \( M_{2} \) расположены два малых, почти точечных, источника теплового излучения абсолютно черного тела, то каждый из них должен посылать другому столько же энергии, сколько он получает, так как иначе равенство температур двух абсолютно черных тел самопроизвольно нарушится, а это невозможно.

Таким образом, наблюдатель \( B \), пользуясь волновой функцией \( \psi_{B} \), может, зная, что частица находилась в момент \( t_{2} \) в точке \( M_{2} \), находить вероятности ее положений в предыдущий момент времени \( t_{1} \). Это задача, аналогичная классической задаче теории вероятностей, относящейся к вероятности причин.

В некотором смысле можно считать «истинной» волновой функцией в интервале \( \left(t_{1}, t_{2}\right) \) функцию \( \psi_{A} \), поскольку она учитывает точные сведения о положении \( M_{1} \), которые могут иметься в момент \( t>t_{1} \) (данное утверждение потребовало бы некоторых уточнений с релятивистской точки зрения при учете конечной скорости распространения света, но мы здесь на этом не будем останавливаться \( { }^{1)} \) ).
\( { }^{1)} \) Если первое положение характеризуется точкой-событием \( \left(M_{1}, t_{1}\right) \) в пространстве-времени, то второе будет характеризоваться точкой-событием \( \left(M_{2}, t_{2}\right) \), которая должна лежать в области «будущего» светового конуса с началом в первой точке-событии. Поэтому наблюдатель \( B \), который регистрирует положение \( M_{2} \) в момент \( t_{2} \), может узнать о положении \( M_{1} \) (скажем, по световому сигналу). Если же он о нем не знает, то в этом и есть неполнота его информации. – Л. Б.
Если бы наблюдатель \( B \) знал функцию \( \psi_{A} \), то он мог бы точно определить первое положение, проследив за эволюцией функции \( \psi_{A} \) в обратном направлении. Но так как по предположению он знает лишь, что частица была в момент \( t_{2} \) в точке \( M_{2} \), его «информация» неполна, ибо он не знает всего того, что мог бы знать в момент \( t_{2} \). Эта неполнота имеющейся у него информации приводит к необходимости использовать «неполную» функцию \( \psi_{B} \), которая позволяет ему получить лишь вероятности положений в предшествующий момент \( t_{1} \), но не точное положение.

Напомним, что все сказанное в равной мере относится и к измерению импульса, т. е. к определению положения соответствующей точки в импульсном пространстве.