Первое важное следствие доказанных выше теорем формулируется так: если два полных оператора \( A \).и \( B \) коммутируют, то, взяв за базисные функции их общие собственные функции \( \varphi_{i} \), мы можем одновременно привести матрицы \( \boldsymbol{A} \) и \( \boldsymbol{B} \) к диагональному виду.

В самом деле, два коммутирующих (по предположению) оператора \( A \) и \( B \) имеют одну и ту же систему собственных функций \( \varphi_{i} \), для которых
\[
A \varphi_{i}=\alpha_{i} \varphi_{i}, B \varphi_{k}=\beta_{k} \varphi_{k} .
\]

Матричный элемент с индексами \( i, k \), соответствующий оператору \( A \) в системе базисных функций \( \varphi_{i} \), имеет вид
\[
a_{i k}=\int_{D} \varphi_{i}^{*} A \varphi_{k} d \tau=\alpha_{k} \int_{D} \varphi_{i}^{*} \varphi_{k} d \tau=\alpha_{k} \delta_{i k},
\]

а аналогичный элемент с индексами \( i, k \) для матрицы, соответствующей оператору \( B \), равен
\[
b_{i k}=\int_{D} \varphi_{i}^{*} B \varphi_{k} d \tau=\beta_{k} \int_{D} \varphi_{i}^{*} \varphi_{k} d \tau=\beta_{k} \delta_{i k} .
\]

Из приведенных формул прямо следует, что если две матрицы \( A \) и \( B \) приведены к диагональному виду, то их диагональные элементы являются собственными значениями операторов \( A \) и \( B \).

Обратно, если для некоторого выбора базисных функций \( \varphi_{i} \) матрицы \( A \) и \( B \), соответствующие полным операторам \( A \) и \( B \), принимают диагональный вид, то эти операторы коммутируют.
В самом деле, в этом случае по предположению
\[
\int_{D} \varphi_{i}^{*} A \varphi_{k} d \tau=a_{k} \delta_{i k}, \int_{D} \varphi_{i}^{*} B \varphi_{k} d \tau \doteq b_{k} \delta_{i k} .
\]

Поэтому в системе базисных функций \( \varphi_{k} \) все компоненты Фурье функций \( A \varphi_{k} \) и \( B \varphi_{k} \) равны нулю, кроме компонент с индексом \( k \), которые совпадают с \( a_{k} \) и \( b_{k} \). Поэтому
\[
\begin{aligned}
A \varphi_{k} & =a_{k} \varphi_{k}, \\
B \varphi_{k} & =b_{k} \varphi_{k} .
\end{aligned}
\]

Таким образом, функции \( \varphi_{k} \) являются одновременно собственными функциями операторов \( A \) и \( B \), в связи с чем по основной теореме \( A B \equiv B A \).

Рассуждения, которые мы только что провели, можно без труда обобщить на случай, когда по крайней мере один из операторов \( A \) и \( B \) неполон. Мы рассмотрим здесь лишь случай двух неполных операторов. Для него следствие формулируется следующим образом: если два неполных оператора \( \boldsymbol{A} \) и \( \boldsymbol{B} \) коммутируют между собой, то путем соответствующего выбора системы базисных функций матрицы \( A \) и \( B \) можно привести к диагональному виду.

В самом деле, возьмем в качестве полной системы базисных функций, использованной при доказательстве случая 3 , систему собственных функций oneратора \( C \), которые зависят от переменных, не входящих ни в \( A \), ни в \( B \). Так как \( \boldsymbol{A} \) и \( \boldsymbol{B} \) по предположению коммутируют, выполняется соотношение (5) и, следовательно, верна формула
\[
a_{i k}=\int_{D} \omega_{i}^{*} A \omega_{k} d \tau=\int_{D} \omega_{i}^{*} f_{k l}(z, \ldots, u, \ldots) A \varphi_{l} d \tau=\alpha_{l} \int_{D} \omega_{i}^{*} \omega_{k} d \tau=\alpha_{l} \delta_{i k} .
\]

Аналогично
\[
b_{i k}=\int_{D} \omega_{i}^{*} B \omega_{k} d \tau=\int_{D} \omega_{i}^{*} g_{k j}(x, \ldots, u, \ldots) B \chi_{j} d \tau=\beta_{j} \int_{D} \omega_{i}^{*} \omega_{k} d \tau=\beta_{j} \delta_{i k},
\]

чем и доказывается наше утверждение.
Обратно, если путем специального выбора базисных функций можно одновременно привести матрицы к диагональному виду, то неполные операторы \( A \) и \( B \) коммутируют между собой.

Деиствительно, предположим, что можно найти такую полную систему функций \( \omega_{i} \), зависящих от всех переменных \( x, \ldots, y, \ldots, z, \ldots, u, \ldots \), что
\[
\int_{D} \omega_{i}^{*} A \omega_{k} d \tau=a_{k} \delta_{i k} ; \int_{D} \omega_{i}^{*} B \omega_{k} d \tau=b_{k} \delta_{i k} .
\]

Тогда все составляющие функций \( A \omega_{k} \) и \( B \omega_{k} \), рассматриваемые в системе базисных функций \( \omega_{i} \), будут равны нулю, кроме функций с индексом \( k \), откуда
\[
A \omega_{k}=a_{k} \omega_{k}, \quad B \omega_{k}=b_{k} \omega_{k} .
\]

Таким образом, функции \( \omega_{k} \) являются одновременно собственными функциями операторов \( \boldsymbol{A} \) и \( \boldsymbol{B} \). Пользуясь свободой в выборе собственных функций операторов \( A \) и \( B \) для вырожденного случая, эти функции можно выбрать пропорциональными одновременно собственным функциям оператора \( A \) и оператора \( B \), что дает возможность положить
\[
\begin{array}{l}
\omega_{j}(x, \ldots, y, \ldots, z, \ldots, u, \ldots)=f_{j k}(z, \ldots, u, \ldots) \varphi_{k}(x, \ldots, y, \ldots)= \\
=g_{j l}(x, \ldots, u, \ldots) x_{l}(y, \ldots, z, \ldots) . \\
\end{array}
\]

Отсюда из доказательства обратного утверждения в случае 3 следует, что \( A \) и В коммутируют.

Из сказанного выше естественным образом вытекает, что если два оператора \( \boldsymbol{A} \) и \( \boldsymbol{B} \) не коммутируют между собой, то соответствующие матрицы нельзя одновременно привести х диагональному виду. Это позволяет доказать следующую изящную теорему.

Теорема. Если два оператора \( F_{1} \) и \( F_{2} \) коммутируют с третьим полным оператором \( A \), но не коммутируют между собой, то у оператора \( A \) должны быть вырожденные собственные значения.
В самом деле, поскольку \( A \) и \( F_{1} \) коммутируют между собой, систему собственных функций оператора \( A \) можно выбрать таким образом, чтобы матрицы \( A \) и \( F_{1} \) одновременно приводились к диагональному виду. Пусть \( \varphi_{1}, \ldots, \varphi_{i}, \ldots \) – подобного рода система собственных функций. Аналогично если \( A \) и \( F_{2} \) коммутируют, то можно найти такую систему собственных функций оператора \( A \), которую мы обозначим через \( \varphi_{1}^{\prime}, \ldots, \varphi_{i}^{\prime}, \therefore \), что, будучи взяты в качестве базисной системы, они дадут возможность одновременно привести матрицы \( A \) и \( F_{2} \) к диагональному виду. Но если оператор \( A \) не имеет вырожденных собственных значений, то система таких собственных функций определяется однозначно и функции \( \varphi_{i}^{\prime} \) совпадают с функциями \( \varphi_{i} \). Значит, путем выбора одной и той же системы базисных функций можно было бы одновременно привести к диагональному виду матрицы \( A, F_{1} \) и \( F_{2} \). Но это невозможно, так как по предположению операторы \( F_{1} \) и \( F_{2} \) не коммутируют между собой. Следовательно, оператор \( A \) должен иметь вырожденные собственные значения.

В качестве примера применения этой теоремы рассмотрим сферическисимметричную систему, гамильтониан \( H \) которой зависит только от расстояния \( r \) до начала системы координат. Как мы видели, операторы \( M_{x} \) и \( M_{y} \), соответствующие составляющим углового момента по осям \( O x \) и \( O y \), не коммутируют между собой. Но, как нетрудно убедиться, эти неполные операторы оба коммутируют с оператором \( H \). Отсюда следует, что у оператора \( H \) имеются вырожденные собственные значения. Поэтому вырожденность квантовых состояний сферически-симметричной системы – хорошо известный результат квантовой теории.
Операторы, у которых имеется общая собственная функция
Рассмотрим два оператора \( A \) и \( B \), имеющие общую собственную функцию \( \varphi \). Тогда \( A(\varphi)=\alpha \varphi, B \varphi=\beta \varphi \), откуда
\[
(A B-B A) \varphi \equiv[A, B] \varphi=\beta A \varphi-\alpha B \varphi=0 .
\]

Но полученное равенство \( [A, B] \varphi=0 \) может выполняться лишь в следующих двух случаях.
1. \( [A, B] \equiv 0 \). В этом случае операторы \( A \) и \( B \) коммутируют между собой и имеют целый набор общих собственных функций, в число которых входит функция \( \varphi \).
2. \( [A, B]
eq 0 \), но оператор \( [A, B] \) имеет собственное значение, равное нулю. Тогда операторы \( A \) и \( B \), хотя они и не коммутируют, все-таки могут обладать по меньшей мере одной общей собственной функцией \( \varphi \), если последняя является собственной функцией оператора \( [A, B] \), принадлежащей собственному значению 0 .
В качестве примера случая 2 снова рассмотрим операторы \( M_{x} \) и \( M_{y} \). Имеем
\[
\left[M_{x}, M_{y}\right]=\frac{h}{2 \pi i} M_{z}
eq 0 .
\]

Хотя эти операторы не коммутируют между собой, оператор \( M_{z} \) имеет
собственные значения \( m(h / 2 \pi) \) с \( m=0,1,2, \ldots \), т.е. у него имеется собственное значение, равное нулю. Поэтому и коммутатор \( \left[M_{x}, M_{y}\right] \) имеет собственное значение, равное нулю. Операторы \( M_{x} \) и \( M_{y} \) имеют общую собственную функцию \( \varphi= \) const, в чем нетрудно убедиться: \( \varphi=\exp \left(-\operatorname{im} \varphi_{x}\right) / \sqrt{2} \pi \) при \( m=0 \).

Важное значение имеет случай, когда оператор \( [A, B] \) равен постоянной, умноженной на единичный оператор. К этому случаю относятся канонически сопряженные величины, для которых
\( [A, B]=\frac{h}{2 \pi i} \cdot 1 \).
Поскольку единичная матрица, очевидно, не имеет нулевого собственного значения, у операторов \( A \) и \( B \) не может быть общей собственной функции.

Отметим, что все изложенное справедливо и в случае непрерывного спектра.