Чтобы уточнить формулировку принципа интерференции, заметим, что волна \( \psi \), которая является решением уравнения в частных производных и которая не является измеримой физической величиной, определяется лишь с точностью до- постоянного множителя, который может быть комплексным. Этот постоянный множитель мы можем выбрать таким образом, чтобы выполнялось равенство
\( \iiint \psi \psi^{*} d \tau=1 \),
где интеграл берется по всему пространству. Выбирая произвольный множитель в соответствии с равенством (2), мы «нормируем» функцию в данный момент \( t_{0} \), и, как мы сейчас покажем, тогда функция \( \psi \) будет оставаться нормированной в любой момент \( t \). Принцип интерференции получает следующую уточненную формулировку: вероятность обнаружить частицу с нормированной волновой функцией \( \psi(x, y, z, t) \) в элементе объема \( d \tau \) в момент \( t \) равна
\( \psi(x, y, z, t) \psi^{*}(x, y, z, t) d \tau=|\psi(x, y, z, t)|^{2} d \tau \).
\( { }^{1)} \) См. \( [11-14] .-J \). .
2) С. [15]. – Л. Б.

Чтобы наглядно представить себе, как изменяется с течением времени плотность вероятности \( |\psi|^{2} \), мы введем воображаемую жидкость \( { }^{1)} \), плотность которой в любой точке и в любой момент времени дается формулой
\[
\rho(x, y, z, t)=\psi(x, y, z, t) \psi^{*}(x, y, z, t) .
\]

Движение этой жидкости зададим, приняв для скорости \( \mathrm{v} \) в точке \( x, y, z \) в момент \( t \) выражение
\( \mathbf{v}=\frac{1}{\psi \psi^{*}} \frac{h}{4 \pi i m}\left(\psi \operatorname{grad} \psi^{*}-\psi^{*} \operatorname{grad} \psi\right)=-\frac{h}{2 \pi m} \operatorname{grad} \varphi \).
Функции \( \psi \) и \( \psi^{*} \) удовлетворяют комплексно сопряженным уравнениям
\( \Delta \psi-\frac{8 \pi^{2} m}{h^{2}} V(x, y, z, t) \psi=\frac{4 \pi i m}{h} \frac{\partial \psi}{\partial t} \),
\( \Delta \psi^{*}-\frac{8 \pi^{2} m}{h^{2}} V(x, y, z, t) \psi^{*}=-\frac{4 \pi i m}{h} \frac{\partial \psi}{\partial t} \).
Отсюда легко получим
\( \psi^{*} \Delta \psi-\psi \Delta \psi^{*}=\frac{4 \pi i m}{h} \frac{\partial}{\partial t}\left(\psi \psi^{*}\right)=\frac{4 \pi i m}{h} \frac{\partial \rho}{\partial t} \),

что можно записать в виде
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial \rho}{\partial t}=\frac{h}{4 \pi i m}\left(\psi^{*} \Delta \psi-\psi \Delta \psi^{*}\right)=-\frac{h}{4 \pi i m} \times \\
\times \sum_{x, y, z} \frac{\partial}{\partial x}\left(\psi \frac{\partial \psi^{*}}{\partial x}-\psi^{*} \frac{\partial \psi}{\partial x}\right)
\end{array}
\]

или
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div}(\rho \mathbf{v})=0 .
\]

В этом уравнении, хорошо известном в гидродинамике под названием уравнения непрерывности, выражается то обстоятельство, что для фиктивной жидкости с плотностью \( \rho \) выполняется закон сохранения, т. е. что интеграл
\[
\iiint|\psi|^{2} d \tau
\]
1) Эта жидкость называется жидкостью Маделунг. В дальнейшем она будет играть важную роль в причинной интерпретации волновой механики. – Ж. Л.

постоянен. Поэтому нормировка функции \( \psi \) не меняется во все моменты времени.