Поскольку в случае коммутирующих величин оказывается возможным определить характеристическую функцию, мы можем теперь говорить о дисперсии, коэффициенте корреляции, маргинальных распределениях, регрессиях и т. д.
Коэффициент корреляции определяется по формуле
\[
r=\frac{\overline{A B}-\bar{A} \bar{B}}{\sigma_{A} \sigma_{B}} .
\]

Вообще говоря, он отличен от нуля. Рассмотрим, например, случай, когда операторы \( A \) и \( B \) являются полными и обладают невырожденными собственными значениями. Тогда у них одна и та же система собственных функций \( \varphi_{i} \), и если \( \psi=\sum_{k} c_{k} \varphi_{k} \), то, очевидно,
\[
r=\frac{\sum_{k}\left|c_{k}\right|^{2} \alpha_{k} \beta_{k}-\sum_{k}\left|c_{k}\right|^{2} \alpha_{k} \sum_{j}\left|c_{j}\right|^{2} \beta_{j}}{\sigma_{A} \sigma_{B}}
\]
Такое выражение может быть равным нулю лишь в каких-либо особых случаях, например если все коэффициенты \( c \) равны нулю, кроме одного, равного по модулю единице, и в этом случае \( \boldsymbol{A} \) и \( \boldsymbol{B} \) имеют вполне определенные значения.

В качестве другого примера рассмотрим две независимые величины \( A \) и \( B \), когда оператор \( A \) зависит лишь от переменных \( x \), . . , а оператор \( B \) – от переменных \( y, \ldots \) Пусть собственными значениями оператора \( A \) являются \( \alpha_{i} \) и соответствующие собственные функции равны \( \varphi_{i}(x, \ldots) \) и соответственно для оператора \( B-\beta_{k} \) и \( \chi_{k}(y, \ldots) \). Тогда разложение функции \( \psi \) имеет вид
\[
\psi=\sum_{i, k} c_{i k} \varphi_{i}(x, \ldots) \chi_{k}(y, \ldots),
\]

где коэффициенты \( c_{i k} \) – постоянные при условии, что совокупностью всех \( x \), . . и всех \( y, \ldots \) исчерпывается совокупность переменных, от которых зависит \( \psi \). В таком случае
\[
r=\frac{\sum_{i, k}\left|c_{i k}\right|^{2} \alpha_{i} \beta_{k}-\sum_{i, k}\left|c_{i k}\right|^{2} \alpha_{i} \sum_{i, k}\left|c_{i k}\right|^{2} \beta_{k}}{\sigma_{A} \sigma_{B}} .
\]

Хотя операторы \( A \) и \( B \) независимы в том смысле, что они действуют на разные переменные, соответствующие им величины \( A \) и \( B \), вообще говоря, не являются статистически независимыми, поскольку данное выражение, вообще говоря, не обязано быть равным нулю. Это объясняется тем, что вероятности возможных значений \( A \) и \( B \) связаны между собой формулой разложения функции \( \psi \), т. е. значениями коэффициентов \( c_{i k} \).

Перейдем теперь к маргинальным распределениям. Чтобы внести некоторое разнообразие в изложение и чтобы подготовиться к дальнейшему, мы возьмем случай непрерывного распределения вероятностей (когда оператор имеет непрерывный спектр). Предположим, что один из операторов \( A \) является полным; его собственные значения \( \alpha \) изменяются непрерывно в некоторой области, его собственные функции обозначим через \( \varphi(\alpha, x, \ldots, y, \ldots) \). Пусть оператор \( B \) – неполный, его собственные значения \( \beta \) тоже изменяются непрерывно, его собственные функции обозначим через \( \chi(\beta, \ldots) \). Так как по предположению \( A \) и \( B \) коммутируют, естественным образом переходя от рассмотренного выше дискретного случая к непрерывному, имеем
\[
\varphi(\alpha, \beta, x, \ldots, y, \ldots)=d(\alpha, \beta, y, \ldots) \chi(\beta, x, \ldots) \text {. }
\]

Пусть разложение для \( \psi \) имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\psi(x, \ldots, y, \ldots)=\int c(\alpha, \beta) \varphi(\alpha, \beta, x, \ldots, y, \ldots) d \alpha d \beta= \\
=\int c(\alpha, \beta) d(\alpha, \beta, y, \ldots) \chi(\beta, x, \ldots) d \alpha d \beta .
\end{array}
\]

Вероятность обнаружить собственное значение \( \alpha \) наблюдаемой \( A \), очевидно,
дается плотностью распределения
\[
\rho_{A}(\alpha)=\int|c(\alpha, \beta)|^{2} d \beta .
\]

Вероятность обнаружения собственного значения \( \beta \) наблюдаемой \( B \) дается плотностью распределения, получаемой путем интегрирования по переменным \( y \) квадрата модуля коэффициента при \( \chi(\beta, x, \ldots) \) в разложении функции \( \psi \), T. e.
\( \rho_{B}(\beta)=\int d y \ldots\left|\int c(\alpha, \beta) d(\alpha, \beta, y, \ldots) d \alpha\right|^{2} \).
Что касается вероятности получить одновременно собственное значение \( \alpha \) наблюдаемой \( A \) и собственное значение \( \beta \) наблюдаемой \( B \), то она, очевидно, равна
\[
\rho(\alpha, \beta)=|c(\alpha, \beta)|^{2} .
\]

Отсюда сразу же следует, как нетрудно убедиться, равенство
\[
\int \rho(\alpha, \beta) d \beta=\rho_{A}(\alpha) .
\]

Что же касается формулы
\[
\int \rho(\alpha, \beta) d \alpha=\rho_{B}(\beta),
\]

то для ее доказательства напишем
\[
\begin{aligned}
\rho_{B}(\beta) & =\int d y \ldots \int c^{*}(\alpha, \beta) d^{*}(\alpha, \beta, y, \ldots) d \alpha \int c\left(\alpha^{\prime}, \beta\right) d\left(\alpha^{\prime}, \beta, y, \ldots\right) d \alpha^{\prime}=\quad 214 \\
& =\iint d \alpha d \alpha^{\prime} c^{*}(\alpha, \beta) c\left(\alpha^{\prime}, \beta\right) \int d y d^{*}(\alpha, \beta, y, \ldots) d\left(\alpha^{\prime}, \beta, y, \ldots\right)
\end{aligned}
\]

и учтем, что должно выполняться равенство
\[
\iint \varphi^{*}(\alpha, \beta, x, \ldots, y, \ldots) \varphi\left(\alpha^{\prime}, \beta, x, \ldots, y, \ldots\right) d x d y=\delta\left(\alpha-\alpha^{\prime}\right)
\]
(ибо функции \( \varphi \) ортонормированы), т. е.
\[
\begin{aligned}
\iint d^{*}(\alpha, \beta, y, \ldots) d & \left(\alpha^{\prime}, \beta, y, \ldots\right) \chi^{*}(\beta, x, \ldots) \chi(\beta, x, \ldots) d x d y= \\
& =\int d y d^{*}(\alpha, \beta, y, \ldots) d\left(\alpha^{\prime}, \beta, y, \ldots\right)=\delta\left(\alpha-\alpha^{\prime}\right) .
\end{aligned}
\]
Отсюда следует равенство
\[
\begin{array}{l}
\rho_{B}(\beta)=\iint d \alpha d \alpha^{\prime} c^{*}(\alpha, \beta) c\left(\alpha^{\prime}, \beta\right) \delta\left(\alpha-\alpha^{\prime}\right)= \\
=\int|c(\alpha, \beta)|^{2} d \alpha=\int \rho(\alpha, \beta) d \alpha,
\end{array}
\]

что и требовалось доказать.
В наших рассуждениях мы предполагали, что оператор \( A \) – полный, а оператор \( B \) – неполный. Аналогичные рассуждения можно провести в случае, когда операторы \( A \) и \( B \) являются неполными или даже независимыми. Во всех случаях одинаково просто определяются условные плотности распределения
\[
\rho_{A}^{(B)}(\alpha, \beta)=\begin{array}{c}
\rho(\alpha, \beta) \\
\rho_{B}(\beta)
\end{array}, \quad \rho_{B}^{(A)}(\alpha, \beta) \stackrel{\rho(\alpha, \beta)}{\rho_{A}(\alpha)} .
\]

В случае коммутирующих величин \( A \) и \( B \) все эти величины имеют тот самый смысл, какой обычно им придается в теории вероятностей. Но как мы увидим далее, если операторы \( A \) и \( B \) не коммутируют, то прямо пользоваться обычными формулами становится невозможно. Этот вопрос требует более тщательного анализа.

В случае свободной частицы Дарвина (вероятность присутствия которой подчиняется распределению Гаусса) Арнус в своей диссертации исследовал пары величин \( \left(H, p_{x}\right. \) ) и ( \( \left.H, M_{z}\right) \), которые в случае свободной частицы коммутируют между собой. Для первой из этих пар он рассчитал кривую регрессии и нашел дисперсию. Хотя его вычисления и представляют интерес как иллюстрация к данной теории, в физическом отношении они не содержат новых результатов, а потому мы их здесь не касаемся.