Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Рассмотрим сначала чистое состояние, характеризуемое заданной волновой функцией \( \psi \). Эту функцию можно рассматривать как вектор в гильбертовом пространстве функций. Если функции \( \varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}, \ldots \) образуют полную ортонормированную систему базисных функций (например, собственных функций линейного эрмитова оператора \( A \) ), то можно считать, что \( \varphi_{i} \) образуют ортогональную систему единичных векторов в гильбертовом пространстве и выражение \( \psi=\Sigma_{k} c_{k} \varphi_{k} \) будет аналогично разложению вектора по ортогональным направлениям, характеризуемым единичными векторами. Величины \( c_{k} \) будут составляющими вектора \( \psi \) в системе базисных векторов \( \varphi_{k} \). Гильбертово пространство, которое мы рассматриваем, есть комплексное пространство, и составляющие \( c_{k} \) векторов, вообще говоря, будут комплексными. Если взять два вектора в гильбертовом пространстве \( \psi=\sum_{k} c_{k} \varphi_{k} \) и \( \chi= \) \( =\sum_{k} d_{k} \varphi_{k} \), то их скалярное произведение по определению равно в силу ортонормированности функций \( \varphi_{k} \). Здесь мы имеем дело с обобщением на комплексный случай классического выражения для скалярного произ- ведения. Отметим, что \( (\psi \cdot \chi)=(\chi \cdot \psi)^{*} \). Скалярное произведение вектора \( \psi \) на самого себя, аналогичное квадрату длины обычного вектора, называется нормой вектора \( \psi \) и обозначается через \( N(\psi) \) : Если функция \( \psi \) нормирована, то \( N(\psi)=1 \) и \( \sum_{k}\left|c_{k}\right|^{2}=1 \), что мы уже знаем. В гильбертовом пространстве оператор переводит один вектор в другой. Равенство \( \chi=A \psi \) означает, что оператор \( A \) переводит вектор \( \psi \) в вектор \( \chi \). Это равенство можно переписать в виде \( \sum_{l} d_{l} \varphi_{l}=A \sum_{k} c_{k} \varphi_{k} \), откуда после умножения на \( \varphi_{j}^{*} \) и интегрирования по области \( D \) получаем Матричные элементы, порождаемые оператором \( A \) в системе функций \( \varphi_{k} \), представляют собой коэффициенты линейного преобразования, позволяющего переходить от составляющих вектора \( \psi \) к составляющим вектора \( \chi \). Пусть снова \( \psi \) – волновая функция чистого состояния. Рассмотрим в гильбертовом пространстве операцию «проектирования на вектор \( \psi \) ». Пусть \( P_{\psi} \) – соответствующий оператор. Очевидно, что \( P_{\downarrow}^{2}=P_{\psi} \) и, кроме того, \( P_{\psi}^{n}=P_{\psi} \). Такой оператор называется «идемпотентным», поскольку все его степени равны друг другу. Пусть имеется полная система ортонормированных базисных функций \( \varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}, \ldots \) Функцию \( \psi \) можно представить в виде разложения \( \psi= \) \( =\sum_{k} c_{k} \varphi_{k} \), где Оператор \( P_{\psi} \), являющийся «проектором» на \( \psi \), определяется как оператор, удовлетворяющий условию имеет элементы с индексами \( m n \) : Таким образом, матрица \( P_{\psi} \), соответствующая рассматриваемому чистому состоянию, выражается через коэффициенты разложения функции \( \psi \) по выбранным базисным функциям. В результате мы приходим к определению того, что фон Нейман назвал «статистической матрицей» для чистого состояния \( \psi \). Такая матрица, как очевидно, эрмитова. Указанная статистическая матрица обладает двумя фундаментальными свойствами. где \( A_{k l} \) – элементы матрицы, порождаемой оператором \( A \) в системе базисных функций \( \varphi_{k} \), а \( c_{k} \) – составляющие вектора \( \psi \) в разложении по функциям \( \varphi_{k} \). Таким образом, можно написать Следовательно, зная статистическую матрицу, мы можем очень просто вычислить \( \bar{A} \). Статистическая матрица для чистого состояния часто называется «элементарной» статистической матрицей (Einzelmatrix) в противоположность более общим статистическим матрицам, которые мы определим позднее для случая смешанных состояний. Элементарную статистическую матрицу легко привести к диагональному виду. Для этого в качестве системы базисных векторов необходимо взять такую систему, одной из базисных функций которых будет \( \psi \), например \( \varphi_{1}=\psi \). Тогда элементарная матрица примет влд Все ее диагональные элементы равны нулю, кроме одного, который равен единице, поскольку \( \left(P_{\psi}\right)_{n m}=c_{n} c_{m}^{*} \), так что \( \left(P_{\psi}\right)_{n m}=0 \) при \( n
|
1 |
Оглавление
|