Рассмотрим сначала чистое состояние, характеризуемое заданной волновой функцией \( \psi \). Эту функцию можно рассматривать как вектор в гильбертовом пространстве функций. Если функции \( \varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}, \ldots \) образуют полную ортонормированную систему базисных функций (например, собственных функций линейного эрмитова оператора \( A \) ), то можно считать, что \( \varphi_{i} \) образуют ортогональную систему единичных векторов в гильбертовом пространстве и выражение \( \psi=\Sigma_{k} c_{k} \varphi_{k} \) будет аналогично разложению вектора по ортогональным направлениям, характеризуемым единичными векторами. Величины \( c_{k} \) будут составляющими вектора \( \psi \) в системе базисных векторов \( \varphi_{k} \). Гильбертово пространство, которое мы рассматриваем, есть комплексное пространство, и составляющие \( c_{k} \) векторов, вообще говоря, будут комплексными.

Если взять два вектора в гильбертовом пространстве \( \psi=\sum_{k} c_{k} \varphi_{k} \) и \( \chi= \) \( =\sum_{k} d_{k} \varphi_{k} \), то их скалярное произведение по определению равно
\[
(\psi \cdot \chi)=\int_{D} \psi^{*} \chi d \tau=\sum_{k, l} c_{k}^{*} d_{l} \int_{D} \varphi_{k}^{*} \varphi_{l} d \tau=\sum_{k, l} c_{k}^{*} d_{l} \delta_{k l}=\sum_{k} c_{k}^{*} d_{k}
\]

в силу ортонормированности функций \( \varphi_{k} \). Здесь мы имеем дело с обобщением на комплексный случай классического выражения для скалярного произ-
1) И даже бесконечное множество таких операторов. — Л. Б.
\( { }^{2)} \) Сейчас автор, конечно, выразился бы осторожнее: всякой наблюдаемой, несомненно, соответствует некий эрмитов оператор, но трудно утверждать, как это делали все, обратное — что всякому произвольно выбранному оператору соответствует некая наблюдаемая. — Ж. Л.

ведения. Отметим, что \( (\psi \cdot \chi)=(\chi \cdot \psi)^{*} \). Скалярное произведение вектора \( \psi \) на самого себя, аналогичное квадрату длины обычного вектора, называется нормой вектора \( \psi \) и обозначается через \( N(\psi) \) :
\[
N(\psi)=(\psi \cdot \psi)=\int_{D} \psi^{*} \psi d \tau=\int_{D}|\psi|^{2} d \tau=\sum_{k}\left|c_{k}\right|^{2} .
\]

Если функция \( \psi \) нормирована, то \( N(\psi)=1 \) и \( \sum_{k}\left|c_{k}\right|^{2}=1 \), что мы уже знаем.

В гильбертовом пространстве оператор переводит один вектор в другой. Равенство \( \chi=A \psi \) означает, что оператор \( A \) переводит вектор \( \psi \) в вектор \( \chi \). Это равенство можно переписать в виде \( \sum_{l} d_{l} \varphi_{l}=A \sum_{k} c_{k} \varphi_{k} \), откуда после умножения на \( \varphi_{j}^{*} \) и интегрирования по области \( D \) получаем
\[
d_{j}=\sum_{k} c_{k} \int_{D} \varphi_{j}^{*} A \varphi_{k} d \tau=\sum_{k} a_{j k} c_{k} .
\]

Матричные элементы, порождаемые оператором \( A \) в системе функций \( \varphi_{k} \), представляют собой коэффициенты линейного преобразования, позволяющего переходить от составляющих вектора \( \psi \) к составляющим вектора \( \chi \).

Пусть снова \( \psi \) — волновая функция чистого состояния. Рассмотрим в гильбертовом пространстве операцию «проектирования на вектор \( \psi \) ». Пусть \( P_{\psi} \) — соответствующий оператор. Очевидно, что \( P_{\downarrow}^{2}=P_{\psi} \) и, кроме того, \( P_{\psi}^{n}=P_{\psi} \). Такой оператор называется «идемпотентным», поскольку все его степени равны друг другу.

Пусть имеется полная система ортонормированных базисных функций \( \varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}, \ldots \) Функцию \( \psi \) можно представить в виде разложения \( \psi= \) \( =\sum_{k} c_{k} \varphi_{k} \), где
\[
c_{k}=\int_{-\infty}^{\infty} \varphi_{k}^{*} \psi d \tau, \quad \sum_{k}\left|c_{k}\right|^{2}-1
\]
(поскольку величина \( \psi \) нормирована). Мы уже отмечали, что можно найти бесконечное множество систем ортонормированных базисных векторов, одним из которых будет \( \psi \). В одной из таких систем функцию \( \varphi_{r} \) можно представить в виде разложения
\[
\varphi_{k}=d \psi+\ldots \text { где } D=\int_{D}^{*} \psi^{*} \varphi_{k} d \tau=c_{k}^{*} .
\]

Оператор \( P_{\psi} \), являющийся «проектором» на \( \psi \), определяется как оператор, удовлетворяющий условию
\( P_{\psi} \varphi_{k}=d \psi=c_{k}^{*} \psi \) для всех \( \varphi_{k} \).
Матрица, порождаемая оператором \( P_{\psi} \) в системе базисных функций \( \varphi_{k} \),

имеет элементы с индексами \( m n \) :
\[
\left(P_{\psi}\right)_{m n}=\int_{D} \psi_{m}^{*} P_{\psi}\left(\varphi_{n}\right) d \tau=c_{n}^{*} \int_{D} \varphi_{m}^{*} \psi d \tau=c_{m} c_{n}^{*} .
\]

Таким образом, матрица \( P_{\psi} \), соответствующая рассматриваемому чистому состоянию, выражается через коэффициенты разложения функции \( \psi \) по выбранным базисным функциям. В результате мы приходим к определению того, что фон Нейман назвал «статистической матрицей» для чистого состояния \( \psi \). Такая матрица, как очевидно, эрмитова. Указанная статистическая матрица обладает двумя фундаментальными свойствами.
1. Ее след равен единице. В самом деле,
\( \operatorname{Tr} P_{\psi}=\sum_{n}\left(P_{\psi}\right)_{n n}=\sum_{n} c_{n}^{*} c_{n}=\sum_{n}\left|c_{n}\right|^{2}=1 \).
2. Она идемпотентна, т. е. \( P \eta=P_{\downarrow} \) ( \( n- \) целое). В самом деле, например, \( \left(P_{\psi}^{2}\right)_{m n}=\sum_{p} c_{m} c_{p}^{*} c_{p} c_{n}^{*}=c_{m} c_{n}^{*}=\left(P_{\psi}\right)_{m n} \),
откуда \( P_{\psi}^{2}=P_{\psi} \), и далее в силу рекуррентности \( P_{\psi}^{n}=P_{\psi} \).
Пусть теперь величина \( A \) измеряется в данной системе базисных функций. Функции \( \varphi_{k} \) — произвольные ортонормированные базисные функции (которые здесь необязательно должны быть собственными функциями оператора \( A \) ), так что, как мы видели, среднее значение величины \( A \) равно
\[
\bar{A}=\sum_{k, l} c_{k}^{*} c_{l} A_{k l},
\]

где \( A_{k l} \) — элементы матрицы, порождаемой оператором \( A \) в системе базисных функций \( \varphi_{k} \), а \( c_{k} \) — составляющие вектора \( \psi \) в разложении по функциям \( \varphi_{k} \). Таким образом, можно написать
\[
\bar{A}=\sum_{k, l}\left(P_{\psi}\right)_{l k} A_{k l}^{\varphi}=\operatorname{Tr}\left(P_{\psi} A\right)=\operatorname{Tr}\left(A P_{\psi}\right) .
\]

Следовательно, зная статистическую матрицу, мы можем очень просто вычислить \( \bar{A} \).

Статистическая матрица для чистого состояния часто называется «элементарной» статистической матрицей (Einzelmatrix) в противоположность более общим статистическим матрицам, которые мы определим позднее для случая смешанных состояний.

Элементарную статистическую матрицу легко привести к диагональному виду. Для этого в качестве системы базисных векторов необходимо взять такую систему, одной из базисных функций которых будет \( \psi \), например \( \varphi_{1}=\psi \).

Тогда элементарная матрица примет влд
\[
\left|\begin{array}{lllll}
1 & 0 & 0 & 0 & . \\
0 & 0 & 0 & 0 & . \\
0 & 0 & 0 & 0 & . \\
. & . & . & . & .
\end{array}\right| .
\]

Все ее диагональные элементы равны нулю, кроме одного, который равен единице, поскольку \( \left(P_{\psi}\right)_{n m}=c_{n} c_{m}^{*} \), так что \( \left(P_{\psi}\right)_{n m}=0 \) при \( n
eq m \) и \( \left(P_{\psi}\right)_{n n}=0 \) при \( n
eq 1 \);
\( \left(P_{\psi}\right)_{11}=c_{1}^{*} c_{1}=1 \), поскольку \( \psi=c_{1} \varphi_{1} \), причем \( \left|c_{1}\right|=1 \).
Так как след есть инвариант по отношению к изменению системы базисных векторов, он всегда должен равняться единице; это не требует доказательства. Кроме того, \( P^{n}=P \).