Сделаем несколько замечаний о четвертом соотношении неопределенностей. Начнем с очень давнего замечания Бора.

Как известно, если бомбардировать атомную систему быстрыми частицами, то можно вызвать ее возбуждение и даже ионизацию. С точки зрения классических представлений данное явление кажется непонятным. В самом деле, падающая частица проходит через атом со скоростью $v$. Поэтому если $a$ — средний диаметр атома, то время прохождения частицы через атом по порядку величины будет равно самое большее $a/v$. Только в течение этого времени падающая частица может взаимодействовать с остальными частями атома, передавая им энергию и вызывая возбуждение или ионизацию. Чтобы составные части атома могли поглотить энергию, необходимо, чтобы они могли заметно переместиться за время $a/v$. Для этого нужно, чтобы время $\tau =$ $=a/v$ было велико по сравнению с периодами колебаний электронов в атоме. Это легко видеть на примере гармонического осциллятора. Такой осциллятор имеет вполне определенный период $T$ и под действием внешней возбуждающей силы колеблется с данным периодом. Чтобы внешняя сила могла передать осциллятору энергию, она должна действовать на него в течение промежутка времени, по порядку величины значительно превышающего $T$. Поэтому должно выполняться условие $\tau =a/v>T$ или $a>vT;v<au$. Но возбуждение и ионизация возможны лишь в том случае, если кинетическая энергия, передаваемая падающей частицей, по порядку величины будет равна $hu$. Если скорость $v$ настолько мала, что можно пренебречь релятивистскими поправками (а здесь это обычный случай), то должно выполняться условие $m{v}^2\sim hu$.

Рассмотрим сначала электрон, находящийся на внешней оболочке атома и, следовательно, характеризуемый частотой, по порядку величины равной частоте видимого света. В этом случае
$a\approx {10}^{-8}\mathrm{cm},u\approx {10}^{14}{\mathrm{c}}^{-1}$.
Из условия $v<au$ следует, что $v<{10}^6\mathrm{cm}/\mathrm{c}$, а из условия $m{v}_2\sim hu$ имеем $v\sim \sqrt{hu/m}=2,7\cdot {10}^7\mathrm{cm}/\mathrm{c}$. Таким образом, возникает противоречие. Возьмем тогда электрон, находящийся во внутренней оболочке атома, частота колебаний которого будет соответствовать частотам рентгеновских лучей. В этом случае $a\sim {10}^{-9}\mathrm{cm},u\sim {10}^{18}$. Условие $v<u$ приводит к $v<{10}^9\mathrm{cm}/\mathrm{c}$, а из $m{v}^2\sim hu$ следует $v\sim 2,7\cdot {10}^9\mathrm{cm}/\mathrm{c}$. Здесь тоже возникает противоречие. Мы видим, что классические представления об ударном возбуждении и ударной ионизации не приводят к удовлетворительному объяснению.

Иначе обстоит дело, если перейти к новым представлениям. Закон сохранения энергии может быть применен к процессу столкновения лишь в том случае, если кинетическая энергия падающей частицы известна с неопределенностью $\delta E$, намного меньшей, чем ее величина $E\sim hu$. Отсюда следует, что $\delta E\ll hu$. Но тогда волновой пакет, сопоставляемый с падающей частицей, будет довольно протяженным, и для его прохождения через атом необходимо время $\delta t\ge h/\delta E$. Поскольку внутри промежутка $\delta t$ невозможно фиксировать момент падения частицы на атом, длительности прохождения $\tau$ нельзя приписать значение, меньшее чем $\delta t$. В связи с этим
$\tau \sim h/\delta E⋗h/E=1/u=T$.
Условие $\tau \gg T$ можно считать выполняюцимся, поскольку продолжительность взаимодействия падающей частицы с составными частями атома не может быть меньше продолжительности $\delta t$ прохождения через атом волнового пакета, сопоставляемого с частицей.

Перейдем к другому замечанию. Пусть имеется квантовая система, описываемая волновой функцией $\psi =\sum _k{c}_k{a}_k\exp [(2\pi i/h)E_{k}t]$. Как уже говорилось выше, если в момент времени’ $t$ измерить энергию, то мы должны получить значение $E_k$ с вероятностью ${\left|c_k\right|}^2$. Но теперь мы видим, что это утверждение не вполне корректно, поскольку для измерения энергии нам всегда требуется некоторое время (причем тем большее, чем более точным является измерение). Поэтому мы не можем говорить об измерении энергии в момент $t$, а можем говорить лишь об измерении в интервале времени $\delta t$, охватывающем момент $t$. При измерении импульса или координаты этого нет.

Тем не менее введенное таким путем ограничение не имеет большого значения на практике, поскольку мы можем утверждать, что величина $E$ имеет значение $E_k$, если $\delta E$ намного меньше самой малой из разностей $|E_{k-1}-E_k|$ и $|E_k-E_{k+1}|$. Разности же эти, даже если речь идет о состояниях, в которых электроны очень слабо связаны с ядром атома, соответствуют переходам, при которых испускается излучение с частотой, соответствующей по меньшей мере инфракрасной области спектра, т.е. по меньшей мере $\sim {10}^{12}{\mathrm{c}}^{-1}$. Поэтому время наблюдения, необходимое для различения двух соседних квантовых состояний, по порядку величины будет не более
$$\delta t\sim h/\delta E\sim h/(h\cdot {10}^{12})={10}^{-12}\mathrm{c}\text{. }$$

Это очень малая величина, и мы можем считать, что измерения каждого из квантованных уровней энергии можно выполнить практически мгновенно. Сделаем еще несколько замечаний, важность которых будет видна в дальнейшем.

Пусть система имеет, например, два дискретных уровня энергии $E_i$ и $E_k$. Предположим, что некое внешнее воздействие вызывает возмущение в системе и что, согласно вычислениям (которые будут уточнены в дальнейшем), в результате возмущения система осциллирует между состояниями $E_i$ и $E_k$ с частотой $u_{ik}=(E_i-E_k)/h$. Отсюда нельзя сделать вывода, что система в действительности переходит из состояния $i$ в состояние $k$ и наоборот. Мы могли бы это утверждать, если бы могли обнаружить систему в одном или другом из этих состояний, т.е. измерить ее энергию в одном или другом состоянии. Но, поскольку система пребывает в одном из этих состояний лишь в течение промежутка времени $\delta t$, меньшего, чем $1/u_{ik}=h/(E_i-E_k)$, никакими измерениями мы не можем определить энергию одного из состояний с точностью, превышающей
$\delta E\sim h/\delta t\sim E_i-E_k$.
Поэтому мы и не можем различить эти два состояния. В процессе взаимодействия энергия системы остается неопределенной в интервале от $E_i$ до $E_k$, и установить выполнение закона сохранения энергии мы можем лишь с точностью до величины $|E_i-E_k|$.

Предположим теперь, что до момента времени $t_1$ система находится в состоянии с энергией $E_1$, затем в промежутке времени от $t_1$ до $t_2$ испытывает внешнее воздействие и при $t>t_2$ оказывается в состоянии с энергией $E_2$. Поскольку при измерении $E_1$ мы располагаем всем временем, предшествующим моменту $t_1$, а при измерении $E_2$ — всем временем, следующим за моментом времени $t_2$, мы можем очень точно измерить $E_1$ и $E_2$, причем закон сохранения энергии требует равенства $E_2=E_1$. Но в период $t_2-t_1$ действия возмущающей силы система может перейти в промежуточное состояние $E$. Если время $t_2-t_1$ мало по сравнению с $h/(E-E_1)$, то невозможно обнаружить систему в состоянии $E$, измерив эту энергию. Можно сказать, что система переходит в «виртуальное» состояние $E$ и что в действительности в процессе взаимодействия энергия имеет неопределенность $E-E_1$. Закон сохранения энергии относится в полному переходу $E_1\to E_2$, но он не обязан выполняться для виртуальных переходов $E_1\to E$ и $E\to E_2$.

Уточним все сказанное выше, кратко напомнив метод анализа малых возмущений, называемый методом вариации постоянных.