В классической механике предполагалось, что в любой момент времени частице можно приписать вполне определенные положение и скорость; другими словами, в любой момент времени с частицей можно сопоставить ее координаты \( x, y, z \), ее энергию \( E \) и импульс \( \mathbf{p}=m \mathbf{v} \). Как мы сейчас увидим, в волновой механике это невозможно.

Рассмотрим простой случай равномерного прямолинейного движения в отсутствие поля. Мы знаем, что равномерному и прямолинейному движению с энергией \( E \) и с импульсом \( \mathbf{p} \) в направлении с направляющими косинусами \( \alpha, \beta \) и \( \sqrt{1-\alpha^{2}-\beta^{2}} \) соответствует плоская монохроматическая волна
\[
\psi=a \exp \left\{\frac{2 \pi i}{h}\left[E t-\sqrt{2 m E}\left(\alpha x+\beta y+\sqrt{1-\alpha^{2}-\beta^{2}} z\right)\right]\right\}
\]

с частотой \( E / h \) и длиной волны \( h / m v \). Эта монохроматическая волна, соответствуюшая вполне определенному состоянию движения, не дает никаких указаний на положение частицы, поскольку она однородна, т. е. амплитуда одинакова во всем пространстве. Значит, вероятность нахождения \( \psi \psi^{*} \) одинакова во всех точках пространства.

Но решение \( \psi \) волнового уравнения, соответствующее состоянию частицы, может быть не плоской монохроматической волной, а суперпозицией плоских монохроматических волн, образующих волновой пакет конечных размеров. Тогда интенсивность \( \psi \psi^{*} \) будет отлична от нуля лишь в ограниченной области пространства и частицу, согласно принципу интерференции, можно будет обнаружить лишь в этой области. Таким образом, неопределенность положения будет меньше, чем в случае плоской монохроматической волны. Вместе с тем если каждой монохроматической составляющей с частотой \(
u \) и длиной волны \( \lambda \) мы сопоставим состояние движения, характеризуемое энергией \( E \) и импульсом \( p \),
\[
E=h
u, p_{x}=\alpha(h / \lambda), p_{y}=\beta(h / \lambda), p_{z}=\gamma(h / \lambda),
\]

то тогда мы не сможем приписать вполне определенные значения этих величин частице. Таким образом, переходя от плоской монохроматической волны к волновому пакету, мы уменьшаем неопределенность положения, но увеличиваем неопределенность энергии и импульса. Мы можем взять предельный случай волнового пакета бесконечно малых размеров. Такой волновой пакет аналитически можно представить как суперпозицию монохроматических волн со всевозможными частотами, со всевозможными длинами волн и со всевозможными направлениями распространения. Такой предельный случай, симметричный случаю плоской монохроматической волны, соответствует полной локализации частицы, но одновременно полной неопределенности ее движения.

Итак, чем точнее определяется положение частицы, тем больше неопределенность в ее движении, и наоборот. Это – первая, качественная формулировка соотношения неопределенностей Гейзенберга, которую мы сейчас уточним.

Посмотрим теперь, как волна \( \psi \) представляется в виде суперпозиции плоских монохроматических волн. Введем обозначения
\[
\begin{array}{l}

u=\frac{E}{h}, \quad \mu_{x}=\frac{p_{x}}{h}=\frac{\alpha}{h} \sqrt{2 m E}, \quad \mu_{y}=\frac{p_{y}}{h} \frac{\beta}{h} \sqrt{2 m E}, \\
\mu_{z}=\frac{p_{z}}{h} \frac{\gamma}{h} \sqrt{2 m E} .
\end{array}
\]

Соответствующую плоскую монохроматическую волну можно записать в виде \( a \exp \left[2 \pi i\left(
u t-\mu_{x} x-\mu_{y} y-\mu_{z} z\right)\right] \).
Волну \( \psi \) можно представить в виде интеграла Фурье:
\[
\psi(x, y, z, t)=\iiint a\left(\mu_{x}, \mu_{y}, \mu_{z}\right) \exp \left[2 \pi i\left(
u t-\mu_{x} x-\mu_{y} y-\mu_{z} z\right)\right] d \mu_{x} d \mu_{y} d \mu_{z},
\]

где следует положить
\[

u=\frac{E}{h}=\frac{h}{2 m}\left(\mu_{x}^{2}+\mu_{y}^{2}+\mu_{z}^{2}\right) .
\]

Коэффициенты \( a\left(\mu_{x}, \mu_{y}, \mu_{z}\right) \) в общем случае являются комплексными, т. е. они содержат множители вида \( e^{i \alpha} \), поскольку фазы различных монохроматических составляющих в разложении функции \( \psi \) не одинаковы.

Рассмотрим теперь волновой пакет \( \psi \) в какой-либо момент времени, который мы примем за начальный момент \( t=0 \). Функция
\[
\psi(x, y, z, 0)=\iint_{-\infty}^{\infty} \int_{0} a\left(\mu_{x}, \mu_{y}, \mu_{z}\right) \exp \left[-2 \pi i\left(\mu_{x} x+\mu_{y} y+\mu_{z} z\right)\right] d \mu_{x} d \mu_{y} d \mu_{z}
\]

должна отличаться от нуля лишь в ограниченной области \( R \). Обозначим символами \( \Delta x, \Delta y, \Delta z \) максимально возможные изменения координат частиц в области \( R \), т. е. длины ребер прямоугольного параллелепипеда, в который вписана область \( R \). Начало координат мы можем выбрать в одной из вершин параллелепипеда, так что \( x, y, z \) в области \( R \) изменяются в интервалах \( (0, \Delta x) \), \( (0, \Delta y),(0, \Delta z) \).
Из теории интегралов Фурье следует соотношение
\[
a\left(\mu_{x}, \mu_{y}, \mu_{z}\right)=\iint_{R} \int \psi(x, y, z, 0) \exp \left[2 \pi i\left(\mu_{x} x+\mu_{y} y+\mu_{z} z\right)\right] d x d y d z .
\]

Поскольку все \( a \) не могут быть бесконечно малыми, имеется по крайней мере один набор величин \( \mu \), которые мы обозначим через \( \mu_{x}^{0}, \mu_{y}^{0}, \mu_{z}^{0} \), такой, что \( a\left(\mu_{x}^{0}, \mu_{y}^{0}, \mu_{z}^{0}\right) \) будет заметно отличаться от нуля. Изменим \( \mu_{x}, \mu_{y}, \mu_{z} \) на \( \delta \mu_{x} \), \( \delta \mu_{y}, \delta \mu_{z} \) относительно \( \mu_{x}^{0}, \mu_{y}^{0}, \mu_{z}^{0} \), причем изменения необязательно должны быть бесконечно малыми. Получим
\[
\begin{aligned}
a\left(\mu_{x}^{0}+\delta \mu_{x}, \mu_{y}^{0}+\delta \mu_{y}, \mu_{z}^{0}+\delta \mu_{z}\right)-a\left(\mu_{x}^{0}, \mu_{y}^{0}, \mu_{z}^{0},\right)= \\
=\int_{0}^{\Delta x} d x \int_{0}^{\Delta y} d y \int_{0}^{\Delta z} d z \psi(x, y, z, 0)\left\{\exp \left[2 \pi i\left(\delta \mu_{x} x+\delta \mu_{y} y+\delta \mu_{z} z\right)\right]-1\right\} \times \\
\times \exp \left[2 \pi i\left(\mu_{x}^{0} x+\mu_{y}^{0} y+\mu_{z}^{0} z\right)\right] d x d y d z .
\end{aligned}
\]

Экспонента в скобках может заметно отличаться от 1 лишь в том случае, ‘если хотя бы одно из произведений \( \delta \mu_{x} \Delta x, \delta \mu_{y} \Delta y, \delta \mu_{z} \Delta z \) больше отношения \( \eta \), которое не может быть намного меньшим единицы. Поэтому если одновременно выполняются соотношения \( \delta \mu_{x} \Delta x \leq \eta, \delta \mu_{y} \Delta y \leq \eta, \delta \mu_{z} \Delta z \leq \eta \), то вєличина \( a\left(\mu_{x}^{0}+\delta \mu_{x}, \mu_{y}^{0}+\delta \mu_{y}, \mu_{z}^{0}+\delta \mu_{z}\right) \) будет мало отличаться от \( a\left(\mu_{x}^{0}, \mu_{y}^{0}, \mu_{z}^{0}\right) \) и следовательно, согласно нашему предположению, будет достаточно большой. Стало быть, можно сказать, что размеры области изменения трех параметров \( \mu_{x}, \mu_{y} \mu_{z} \) для волнового пакета \( \psi \) в представлении Фурье будут характеризоваться тремя величинами \( \Delta \mu_{x}, \Delta \mu_{y}, \Delta \mu_{z} \), удовлетворяющими неравенствам \( \Delta \mu_{x} \Delta x \geq \eta, \Delta \mu_{y} \Delta y \geq \eta, \Delta \mu_{z} \Delta z \geq \eta \), откуда по определению величин \( \mu_{x}, \mu_{y} \) и \( \mu_{z} \) имеем
\[
\Delta p_{x} \Delta x \geq h, \quad \Delta p_{y} \Delta y \geq h, \Delta p_{z} \Delta z \geq h,
\]

где неравенства следует понимать как неравенства по порядку величины. Таким образом, мы получили неравенства, которые называются соотношениями нсопределенностей Гейзенберга. Они показывают, что произведение неопределенности в координате на неопределенность в сопряженной компоненте импульса по порядку величины всегда равно \( h \).