В той области, где должны учитываться релятивистские поправки (при скоростях, близких к с), можно найти новые формы соотношения неопределенностей, отмеченные Ландау и Пайерлсом [18] и вызвавшие многочисленные дискуссии.

Гіри определении энергии \( E \) в релятивистской области должна учитываться внутренняя энергия, связанная с массой. Так, для частицы с собственной массой \( m_{0} \) следует положить
\[
E=\frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}} .
\]

Если \( p_{x} \) – одна из составляющих импульса, то из уравнения Гамильтона \( \partial E / \partial p_{x}=v_{x} \) следует соотношение
\[
\delta E=v_{x} \delta p_{x},
\]

в справедливости которого нетрудно убедиться, положив
\[
E=\frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}, \quad p_{x}=\frac{m_{0} v_{x}}{\sqrt{1-\beta^{2}}} \text {. }
\]

Исходя из состояния с известными энергией \( E_{0} \) и импульсом \( p_{0} \), будем измерять величину \( E \) в течение времени \( \delta t \). Неопределенность энергии будет равна \( \delta E \geq h / \delta t \). Но \( \delta E=v_{x} \delta p_{x} \), а \( v_{x} \) не может быть больше \( c \). Следовательно,
\[
\delta p_{x} \geq h /(c \delta t)
\]
т.е. мы получили соотношение неопределенностей нового вида, связывающее неопределенность импульса Лагранжа с длительностью измерения независимо от неопределенности соответствующей координаты \( x \). Таким образом, согласно теории относительности, измерение импульса всегда требует некоторого времени, если мы хотим в результате измерения получить достаточно точное значение.

Новое соотношение можно также вывести путем следуюших рассуждений. Предположим, что в результате некоего измерения установлено, что частица нә лдится в малой окрестности точки \( O \). После такого измерения мы имеем волновой пакет \( \psi \) бесконечно малой протяженности, а, как мы видели, анализ Фурье показывает, что такой волновой пакет содержит составляющие со всевозможными частотами. Из релятивистской формулы
\[
h
u=\frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}
\]

следует, что бесконечно большие частоты соответствуют скоростям, бесконечно близким к \( c \). Позтому, если измерение производится в течение времени \( \delta t \), то в конце измерения фронт волны \( \psi \) может находиться на расстоянии \( c \delta t \) от точки \( O \) и \( \delta x=c \delta t \). Тогда из соотношения Гейзенберга \( \delta p_{x} \cdot \delta x \geq h \) следует, что \( \delta p_{x} \geq h /(c / \delta t) \), и мы снова получаем новое соотношение неопределенностей \( { }^{1)} \).

В релятивистской теории энергия \( E \) и импульс \( p \) связаны соотношением \( E^{2} / c^{2}=p^{2}+m_{0}^{2} c^{2} \), откуда \( E d E=c^{2} p d p \). Поскольку \( p=E v / c^{2} \), мы имеем \( \delta E=v \delta p \), что дает возможность записать соотношение неопределенностей \( \delta E=v \delta p \geq v h / \delta q \), т.е. \( \delta E \cdot \delta q \geq v h \),

связывающее неопределенность энергии с неопределенностью положения. В качестве примера для данного случая рассмотрим опыты фон Траубенберга, которые теоретически проанализировал Шредингер [19].

Представим себе атомы, возбужденные до уровня с энергией \( E_{i} \) и движущиеся с постоянной скоростью \( v \) вдоль оси \( O x \), в каждой точке которой задано неоднородное магнитное поле \( H(x) \). Величина \( E_{i} \) изменяется с изменением координаты \( x \) соответственно изменению поля \( H \). Переходя в основное состояние с энергией \( E_{0} \), атомы испускают фотоны с частотой, зависящей от поло-
Рис. 8
1) Поскольку \( \delta t \geq h / \delta E \), а также \( \delta E<E \), имеем \( \delta t \geq h / E \). Учитывая, что в релятивистской теории фронт волны может распространяться со скоростью \( c \), мы должны положить \( \delta q=c \delta t \), откуда
\( \delta q \geq \frac{h c}{E}=\frac{h}{m_{0} c} \sqrt{1-\beta^{2}} \),
т.е. \( \delta q \geq \lambda \beta \), поскольку
\( \lambda=\frac{h}{m_{0} \beta c} \sqrt{1-\beta^{2}} \).
Для света \( \delta q \geq \lambda \), но для частиц с конечной массой покоя величина \( \delta q \) может быть меньше \( \lambda .-Л \). Б.

жения, занимаемого атомом в момент перехода. Мы хотим установить, как изменяется \( E_{i} \), наблюдая частоту спектральных линий, испускаемых на каждом элементе оси \( O x \). К сожалению, как отметил Шредингер, здесь приходится сталкиваться со следуюшими обстоятельствами.

Во-первых, две точки на оси \( O x \) «различимы» только в том случае, если расстояние \( \delta x \) между ними больше \( \lambda(x) / \sin \varepsilon \), где \( \lambda(x) \) – длина волны света, испускаемого в точке \( x \), а \( \varepsilon \) – половина угловой апертуры прибора наблюдения. Во-вторых, за время наблюдения \( \delta t \) испускающий атом приближается к прибору наблюдателя со скоростью, которая может достигать \( v \sin \varepsilon \), а потому вследствие эффекта Доплера возникнет неопределенность в длине волны \( \delta \lambda= \) \( =(v / c) \sin \varepsilon \lambda \). Следовательно, \( \delta
u=(v / c) \sin \varepsilon
u \), поскольку \( |\delta \lambda / \lambda|=|\delta
u /
u| \), а так как \( \delta x=\lambda / \sin \varepsilon \), получим
\[
\delta E=h v(\sin \varepsilon / \lambda) \geq h v / \delta x, \delta E \cdot \delta x \geq h v .
\]

В результате мы снова приходим к выведенному ранее соотношению неопределенностей.
Запишем его еще раз в виде
\( \delta x \geq h / \delta p_{x}=h v / \delta E \).
Чтобы можно было определить с точностью \( \delta x \) координату частицы, энергия которой четко определена ( \( \delta E \ll E \) ), должно выполняться условие \( \delta x \Rightarrow h v / E=v /
u \), поскольку \( E=h
u \). Но \( \lambda=V /
u=c^{2} / v
u \), а потому \( \delta x \Rightarrow \beta^{2} \lambda \).

В ньютоновском приближении (малых скоростей частицы) величиной \( \beta^{2} \) можно пренебречь и данное неравенство нас не ограничивает. Оно позволяет нам установить, что частица находится в области, размеры которой малы по сравнению с длиной волны. Но при \( v \rightarrow c \) это невозможно, так как тогда \( \beta \rightarrow 1 \) и неравенство принимает вид \( \delta x>\lambda \). Путем измерений становится более невозможным определить, что частица находится в области порядка длины волны. Поэтому для частиц со скоростями, близкими к \( c \), и, в частности, для фотона определение положения в масштабах длины волны становится невозможным.

Рассмотренные вопросы вызвали многочисленные дискуссии. Они связаны с вопросом о состояниях с отрицательной энергией, хорошо известных из теории Дирака и из общей теории частиц со спином, а также об отсутствии положительно определенной плотности вероятности для фотонов и частиц с четным спином. Эти дискуссии не привели к вполне определенным выводам, и вопрос требует дальнейшего изучения.

Другие соображения о связи соотношений неопределенностей с релятивистскими понятиями были высказаны различными авторами, в частности Шредингером [20]. Мы здесь напомним лишь некоторые моменты, относящиеся к измерению времени и расстояния, причем проведем рассуждения в более краткой, чем у Шредингера, форме. Предположим, что в галилеевой системе отсчета, в которой проведена синхронизация часов, мы хотим выверить часы, имеюшие собственную массу \( M_{0} \). Допустим, что поверка производится по испусканию часами фотона, регистрируемого в момент времени \( t \) наблюдателем, находящимся на расстоянии \( l \) от часов. Тогда время испускания фотона будет равно \( t-l / c \), что и дает возможность выверить часы. Но чтобы часы при испускании фотона не приобрели импульс отдачи, мешающий измерению, энергия испускаемого фотона должна быть очень малой по сравнению с собственной энергией часов, т.е. \( h
u \ll M_{0} c^{2} \). Но продолжительность \( \delta t \) испускания волнового пакета, сопоставляемого с фотоном, будет больше или равна \( h / h \delta
u \), где \( \delta
u \) – неопределенность в значении \(
u \), намного меньшая самой величины \(
u \). Отсюда \( \delta t \rightarrow 1 /
u>h / M_{0} c^{2} \). Поскольку же время прибытия фотона может быть зарегистрировано наблюдателем в любой момент из временно́го интервала \( \delta t \), в течение которого волновой пакет проходит мимо наблюдателя, то сверка часов может производиться лишь с погрешностью, превышающей \( \tau_{0}=h / M_{0} c^{2} \).

Точно так же если мы хотим измерить в галилеевой системе отсчета длину линейки, то в силу соотношения \( \delta x \geq h / \delta p_{x} \) это измерение может быть проведено лишь с неопределенностью
\( \delta x \geq \frac{h}{\left(E_{0} / c^{2}\right) \delta v_{x}} \),
поскольку
\( p_{x}=\frac{M_{0} v_{x}}{\sqrt{1-\beta^{2}}} \geq \frac{E_{0}}{c^{2}} v_{x}, \quad \delta p_{x} \geq \frac{E_{0}}{c^{2}} \delta v_{x} \).
Учитывая, что \( \delta v_{x} \leq c \), имеем \( \delta x \geq h /\left(E_{0} / c\right)=h / M_{0} c \). Таким образом, длина линейки никогда не может быть известна с неопределенностью, меньшей чем \( \lambda_{0}=h / M_{0} c \),
где \( M_{0} \) – масса линейки.
За подробностями отсылаем читателя к работе Шредингера [20], все рассуждения которого в конечном итоге могут быть сведены к четвертому соотношению неопределенностей и к приведенным выше соотношениям. Но в ней можно найти его очень глубокие замечания о роли времени в волновой механике.