Укажем формальный прием, дающий возможность автоматически находить волновые уравнения. В классической механике функцией Гамильтона называется энергия, представленная как функция координат и обобщенных импульсов Лагранжа. В прямоугольной системе координат эта функция, как хорошо известно, имеет вид
\[
H\left(x, y, z, p_{x}, p_{y} p_{z}, t\right)=\frac{1}{2 m}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}\right)+V(x, y, z, t) .
\]

Если здесь произвести замену \( p_{x} \rightarrow-(h / 2 \pi i)(\partial / \partial x), p_{y} \rightarrow-(h / 2 \pi i)(\partial / \partial y) \), \( p_{z}–(h / 2 \pi i)(\partial / \partial z) \), то мы получим так называемый оператор Гамильтона
\[
\begin{array}{c}
H\left(x, y, z,-\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial x},-\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial y},-\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial z}, t\right)= \\
=\frac{1}{2 m}\left(\frac{h}{2 \pi i}\right)^{2}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}\right)+V(x, y, z, t) .
\end{array}
\]

Действуя этим оператором на функцию \( \psi \) (т. е. умножая \( \psi \) слева на оператор Гамильтона) и приравнивая результат величине ( \( h / 2 \pi i)(\partial \psi / \partial t) \), получаем
\[
\frac{1}{2 m}\left(\frac{h}{2 \pi i}\right)^{2} \Delta \psi+V(x, y, z, t) \psi=\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial \psi}{\partial t},
\]
т. е. общее уравнение, выведенное выше.

Итак, мы видим, что общее уравнение распространения можно записать в форме
\[
H\left(x, y, z, P_{x}, P_{y}, P_{z}, t\right) \psi=\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial \psi}{\partial t},
\]

где \( P_{x}, P_{y}, P_{z} \) – операторы:
\[
P_{x}=-\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial x}, \quad P_{y}=-\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial y}, \quad P_{z}=-\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial z},
\]

которые мы сопоставляем с компонентами импульса.
Отметим, что способ автоматического вывода волновых уравнений, указанный выше, пригоден лишь в том случае, когда используется прямоугольная система координат. В сферических же, например, координатах при таком способе не получается правильного выражения для оператора Лапласа, входящего в уравнение. Дело в том, что в этом случае, исходя из классической функции Гамильтона, невозможно получить однозначное выражение для оператора Гамильтона, поскольку, например, член вида \( q p_{q} \) в классической функции может в зависимости от порядка множителей приводить к членам
\[
q P_{q}, P_{q} q, \frac{P_{q} q+q P_{q}}{2}, \ldots,
\]

которые не эквивалентны друг другу.