Теперь у нас две формы соотношения неопределенностей. Во-первых, опираясь на свойства разложения Фурье, мы показали, что по порядку величины \( \delta p \cdot \delta q \geq h \).

Данное соотношение носит в какой-то мере качественный характер, поскольку относится лишь к порядкам величины. Это и понятно, если учесть допущения, на которых основаны разложения Фурье, и особенно если вспомнить рассуждения относительно микроскопа Гейзенберга, где обоснование соотношения неопределенностей опиралось на определение оптической разрешающей способности (две близко расположенные точки объекта могут быть разрешены оптическим прибором лишь в том случае, если центр дифракционного изображения одной из точек совпадает с первым минимумом дифракционного изображения второй точки). Определение разрешающей способности содержит элемент произвола и носит лишь приближенный характер.
Во-вторых, мы получили точное соотношение
\[
\sigma_{q} \cdot \sigma_{p} \geq h / 4 \pi \text {, }
\]

которое вытекает из общей формулы
\[
\sigma_{A} \cdot \sigma_{B} \geq \frac{1}{2}(\overline{A B-B A}),
\]

примененной к канонически сопряженным величинам \( q \) и \( p \).
Как мы видели, из соотношений Гейзенберга в их качественной форме следует, что в любой момент времени и, в частности, непосредственно после измерения для двух канонически сопряженных величин \( p \) и \( q \) существуют неопределенности, произведение которых по порядку величины всегда больше или равно \( h \). К тому же выводу несколько более точным путем нас приводит теорема о дисперсиях. В любой момент времени и, в частности, сразу после измерения наши сведения о состоянии системы характеризуются волновой функцией \( \psi \), а две канонически сопряженные величины \( p \) и \( q \) имеют случайные значения, характеризуемые такими вероятностными распределениями, что произведение соответствующих дисперсий всегда больше или равно \( h / 4 \pi \).

Таким образом, теорема о дисперсиях, как и качественные соотношения Гейзенберга, приводит к выводу, что в одном акте измерения невозможно получить точные значения двух канонически сопряженных величин \( p \) и \( q \), ибо, если бы после измерения величины \( p \) и \( q \) были известны точно, мы имели бы \( \sigma_{q}=0, \sigma_{p}=0 \), а это противоречит соотношению \( \sigma_{q} \cdot \sigma_{p} \geq h / 4 \pi \). После такого измерения состояние наших знаний уже нельзя было бы представлять функцией \( \psi \), ибо такое представление связано с соотношением \( \sigma_{q} \cdot \sigma_{p} \geq h / 4 \pi \).

Я столь долго останавливаюсь на данном вопросе потому, что могут показаться логичными следующие рассуждения. Возьмем большое число систем, находящихся в одном и том же состоянии, т.е. описываемых одной и той же функцией \( \psi \), и будем одновременно измерять сопряженные величины \( p \) и \( q \). Как мы знаем, для каждой системы мы можем получить различные значения с разными вероятностями, которые могут быть вычислены по известной функции \( \psi \). В связи с этим можно было бы думать, что теорема о дисперсиях требует лишь, чтобы произведение дисперсий величин \( p \) и \( q \) было больше или равно \( h / 4 \pi \), но не запрещает получать при некоторых измерениях одновременно точные значения \( p \) и \( q \). Ошибка таких рассуждений состоит в том, что рассматриваются лишь вероятности до измерения (характеризуемые функцией \( \psi \) перед измерением). Но необходимо, чтобы и после измерения состояние можно было характеризовать волновой функцией \( \psi \) и чтобы теорема о дисперсиях выполнялась для соответствующего распределения вероятностей. Именно это требование позволяет сделать на основании теоремы о дисперсиях вывод о невозможности одновременного измерения \( p \) и \( q \).
4. РАЗЛИЧНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯХ. НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ С «РЕЗКИМИ ГРАНИЦАМИ»
Чтобы уточнить характер неопределенностей \( \delta p \) и \( \delta q \), входящих в качественные соотношения Гейзенберга, рассмотрим все поподробнее:

Пусть имеется наблюдаемая величина \( A \). Для системы в заданном состоянии \( \psi \) разные значения величины \( A \) имеют вполне определенные вероятности, которые на основании общих принципов волновой механики можно вычислить по известной функции \( \psi \). Уточним понятие неопределенности в смысле Гейзенберга: будем называть неопределенностью величины \( A \) в состоянии \( \psi \) наименьший интервал \( \delta A \) значений наблюдаемой \( A \), содержащий все значения величины \( A \), полная вероятность которых превышает \( 1-\varepsilon \), где \( \varepsilon- \) очень малое число (например, \( \varepsilon=1 / 1000 \) ). Измерение величины \( A \) почти с определенностью даст значение, лежащее в интервале \( \delta A \). Такое определение зависит от выбранного значения \( \varepsilon \), но если число \( \varepsilon \) раз и навсегда выбрано, то понятие неопределенности будет совершенно четким.

Если принять данное определение, то исследование разложений Фурье приводит к следующему. Пусть \( \delta A \) и \( \delta B \) – неопределенности в состоянии \( \downarrow \) для двух каноничесқи сопряженных величин \( A \) и \( B \), так что
\( \delta A \cdot \delta B \geq \alpha(\varepsilon) h \),
где \( \alpha(\varepsilon) \) – число, по порядку величины равное по меньшей мере единице, точное значение которого зависит от \( \varepsilon \). Чем меньше \( \varepsilon \), тем больше \( \alpha \). При малых значениях \( \varepsilon \), которые принимают (зачастую не оговаривая этого) на практике, величина \( \alpha(\varepsilon) \) близка к единице. При этом мы снова получим с некоторыми уточнениями соотношение Гейзенберга.

Можно предположить, что один из определенных выше интервалов \( \delta A \) и \( \delta B \) имеет «резкие гра́ницы», т.е. что вероятность нахождения значений величины \( A \) (или \( B \) ) вне интервала \( \delta \boldsymbol{A} \) (или \( \delta B \) ) равна нулю; при этом можно принять \( \varepsilon=0 \).

В таком случае можно показать, что \( \alpha(\varepsilon)=\alpha(0)=\infty \) и что \( \delta A \cdot \delta B=\infty \). Это можно сделать снова путем исследования разложения Фурье (мы приведем пример немного погодя). Если волна \( \downarrow \) отлична от нуля лишь в интервале \( \Delta x \) (интервал с резкими границами), то в разложение Фурье функции \( \psi \) будут входить все значения \( p_{x} \), так что \( \Delta p_{x}=\infty \). Поэтому \( \Delta x \cdot \Delta p_{x}=\Delta x \cdot \infty=\infty \).

Но этот результат, точный с математической точки зрения, не представляет особого интереса с практической точки зрения, поскольку, вообще говоря, ниже определенного значения \( \varepsilon \) вероятность практически равна нулю.

По этой причине соотношение Гейзенберга \( \delta A \cdot \delta B \geq \alpha h \) с коэффициентом \( \alpha \), близким к единице, практически всегда выполняется, даже если один из интервалов \( \delta A \) и \( \delta B \) имеет резкие границы.

Поясним аналогией. В теории ширины спектральных линий доказывается, что профиль линии в частотном спектре имеет следующий вид:
Рис. 6

Теоретически ширина линии бесконечно велика, но этот математически строгий результат не имеет реального значения, поскольку при уменьшении интенсивности \( I(
u) \) ниже некоторого уровня она практически равна нулю, ибо ее невозможно зарегистрировать. На практике спектральные линии не простираются по всему спектру, а имеют довольно определенную ширину.
Примеры неопределенностей с резкими границами
Чтобы проиллюстрировать сказанное, рассмотрим простой пример неопределенностей с резкими границами. Возьмем волновую функцию вида
\[
\psi=\left\{\begin{array}{ll}
0 & \text { при } x<a \text { и } x>b, \\
\frac{\exp \left(-i k_{0} x\right)}{\sqrt{b-a}} \text { при } a<x<b .
\end{array}\right.
\]

Множитель \( 1 / \sqrt{b-a} \) обеспечивает нормировку волны
\[
\int_{-\infty}^{\infty}|\psi|^{2} d x=1 \text {. }
\]

Между границами интервала \( x=a \) и \( x=b \) наша волновая функция \( \psi \) имеет вид монохроматической волны, а вне интервала с резкими границами \( \psi=0 \). Если измерить координату \( x \), то она с определенностью окажется в интервале от \( a \) до \( b(\delta x=b-a \) с \( \varepsilon=0 \) ).

Положим \( k_{0}=(2 \pi / h) p_{0} \) и \( k=(2 \pi / h) p \) и найдем разложение Фурье для \( \psi \). Имеем
\[
\psi=\frac{1}{\sqrt{2} \pi} \int_{-\infty}^{\infty} c(k) \exp (-i k x) d k,
\]

где
\[
c(k)=\frac{1}{\sqrt{2} \pi} \int_{a}^{b} \frac{\exp \left[i\left(k-k_{0}\right) x\right]}{\sqrt{b}-a} d x,
\]

откуда
\[
\begin{array}{l}
\left.\left.c(k)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi(b-a)}} \frac{1}{i\left(k-k_{0}\right)} \right\rvert\, \exp \left[i\left(k-k_{0}\right) b\right]-\exp \left[i\left(k-k_{0}\right) a\right]\right\}, \\
|c(k)|^{2}=\frac{1}{2 \pi} \frac{1}{b-a} \frac{1}{\left(k-k_{0}\right)^{2}} 2\left[1-\cos \left(k-k_{0}\right)(b-a)\right]= \\
=\frac{1}{2 \pi} \frac{4}{(b-a)\left(k-k_{0}\right)^{2}} \sin ^{2}\left[\frac{\left(k-k_{0}\right)(b-a)}{2}\right]
\end{array}
\]

и, следовательно \( { }^{1)} \),
\[
|c(k)|^{2}=\frac{b-a}{2 \pi} \frac{\sin ^{2} u}{u^{2}}, u=\frac{\left(k-k_{0}\right)(b-a)}{2} .
\]

Таким образом, \( |c(k)|^{2} \) обращается точно в нуль лишь при бесконечных значениях \( k \). Следовательно, интервалу с резкими границами для величины \( x \) соответствует бесконечный интервал для \( k \) (или для \( p \) ). Поэтому, если положить \( \varepsilon=0 \), то \( \Delta x=b-a \) и \( \Delta p_{x}=\infty \), откуда
\( \Delta x \cdot \Delta p_{x}=\infty \).
Величина \( |c(k)|^{2} \) быстро убывает при удалении \( k \) от \( k_{0} \), но еще заметно отлична от нуля при \( u>\pi \), т.е. при
\( \Delta k>2 \pi /(b-a) \).
Поэтому мы е полной определенностью имеем \( \Delta x \cdot \Delta k>2 \pi \), т.е. \( \Delta x \cdot \Delta p> \) \( >h \). Но при дальнейшем удалении \( k \) от \( k_{0} \) величина \( |c(k)|^{2} \) быстро убывает. Вычисления показывают, что \( |c(k)|^{2} \sim 10^{-2}\left|c\left(k_{0}\right)\right|^{2} \) при \( \Delta p \cdot \Delta x=3 h \) и \( |c(k)|^{2} \sim 10^{-3}\left|c\left(k_{0}\right)\right|^{2} \) при \( \Delta p \cdot \Delta x=9 h \). Поэтому, хотя \( |c(k)|^{2} \) обращается в нуль лишь при \( k=\infty \), на практике измерения величины \( p \) всегда дают для нее значение, попадающее в интервал \( \Delta p \) (около значения \( p=p_{0}=h k_{0} / 2 \pi \) ), так что \( \Delta p \cdot(b-a)=\Delta p \cdot \Delta x=\alpha h \), где \( \alpha \approx 1 \), а только это и важно при практическом применении соотношений неопределенностей.

Микроскоп Гейзенберга. Рассмотрим снова пример с микроскопом Гейзенберга. Здесь \( \Delta p_{x} \) – интервал с резкими границами, поскольку он определяется апертурой микроскопа. В противоположность этому \( \Delta x \) – интервал без резких границ, теоретически равный бесконечности, поскольку величина \( \Delta x \) определяется дифракцией, ставящей предел разрешающей способности. Волна, приходящая в точку \( p^{\prime} \) плоскости изображения, в принципе приходит не только из одной точки \( p \) в плоскости объекта. Она может прийти от любой точки в плоскости объекта, и \( \Delta x \) в принципе не имеет гранниц, но на практике, как показывает теория разрешающей способности, неопределенность \( \Delta x \) положения точки \( P \) ограничивается ближайшей окрестностью точки, геометрическим изображением которой является точка \( p^{\prime} \).

Экран с отверстием. Перейдем к примеру экрана с отверстием. Здесь интервал \( \Delta x \) определяется границами отверстия и потому имеет резкие границы. За экраном свет дифрагирует во всех направлениях, так что интервал \( \Delta p_{x} \) в принципе бесконечен, но полосы, которые можно практически наблюдать, лежат поблизости от геометрической тени. Следовательно, на практике интервал \( \Delta p_{x} \) весьма ограничен.
1) Нетрудно убедиться, что \( \int_{-\infty}^{\infty}|c(k)|^{2} d k=1 .- \) Л. Б. .

Гауссов волновой пакет. Для гауссова волнового пакета имеем
\[
|\psi|^{2}=C^{2} \exp \left(-q^{2} / 2 \sigma_{q}^{2}\right), \quad|C(p)|^{2}=C^{\prime 2} \exp \left(-p^{2} / 2 \sigma_{p}^{2}\right),
\]

где \( \sigma_{q} \cdot \sigma_{p}=h / 4 \pi \). Поэтому гауссов волновой пакет не имеет резких границ ни по \( q \), ни по \( p \).
Положим \( \delta q=m \sigma_{q} \) и \( \delta p=m \sigma_{p} \), и пусть
\[
\varepsilon=2 \int_{m \sigma_{q} / 2}^{\infty}|\psi|^{2} d q=2 \int_{m \sigma_{p} / 2}^{\infty}|c(p)|^{2} d p .
\]

Тогда \( \delta q \) и \( \delta p \) – неопределенности, соответствующие данному значению величины \( \varepsilon \), согласно нашему определению неопределенностей, причем \( \varepsilon \) является функцией величины \( m \) и наоборот. При заданном значении \( \varepsilon \) величина \( m \) фиксирована и мы имеем
\[
\delta q \cdot \delta p=m^{2} \sigma_{q} \sigma_{p}=m^{2} \frac{h}{4 \pi} .
\]

Если \( \varepsilon \rightarrow 0 \), то \( m \rightarrow \infty \) и \( \delta q \cdot \delta p \rightarrow \infty \). Но на практике достаточно принять, что величина \( \varepsilon \) очень мала. Такое предположение будет правильным уже при \( m=4 \pi \), поскольку
\( \left|\psi\left(\sqrt{4} \pi \sigma_{q}\right)\right|^{2}=e^{-2 \pi}|\psi(0)|^{2} \ll|\psi(0)|^{2} \),
\( \left|c\left(\sqrt{4} \pi \sigma_{p}\right)\right|=e^{-2 \pi}|c(0)|^{2} \ll|c(0)|^{2} \),

ибо \( e^{-6} \approx 1 / 350 \). Таким образом, на практике \( \delta q \cdot \delta p \approx h \).
Резюме. Точное определение неопределенности Гейзенберга величины \( A \) таково: это такой интервал \( \delta A \) значений величины \( A \), что вероятность получить значение величины \( A \), лежащее за его пределами, меньше некой малой величины \( \varepsilon \). При таком определении для двух канонически сопряженных величин \( A \) и \( B \) выполняется соотношение \( \delta A \cdot \delta B \approx \alpha(\varepsilon) h \), где \( \alpha(\varepsilon) \) зависит от выбора \( \varepsilon \). Величина \( \alpha(\varepsilon) \) бесконечно большая, если \( \varepsilon=0 \), так что в этом случае \( \delta A \cdot \delta B=\infty \). Это означает, что если интервал \( \delta A \) конечен, то интервал \( \delta B \) бесконечен (случай интервалов с резкими границами). Однако на практике достаточно выбрать величину \( \varepsilon \) очень малой, но не равной нулю. Тогда произведение \( \delta A \cdot \delta B \) в благоприятных случаях сможет уменьшаться до величины порядка \( h \), но не ниже. Поэтому на практике \( \delta \boldsymbol{A} \cdot \delta B \geq h \) по порядку величины. C аналогичным положением мы встречаемся при анализе дифракции и разрешающей способности.

Теорема о дисперсиях, которая в случае сопряженных величин выражается соотношением \( \sigma_{A} \cdot \sigma_{B} \geq h / 4 \pi \), точнее соотношения неопределенностей Гейзенберга. Как и из этого соотношения, из нее следует, что для двух канонически сопряженных величин нельзя получить одновременно точные значения в одном акте измерения \( { }^{1)} \).
Составляючие углового момента
Мы рассмотрели случай канонически сопряженных величин – частный случай некоммутирующих величин, когда коммутатор равен единице. Но мы знаем, что существует и другой вид некоммутирующих действительных величин, коммутатор которых есть ненулевой оператор. К числу таких величин относятся составляющие углового момента, для которых
\[
\left[M_{x}, M_{y}\right]=\frac{h}{2 \pi i} M_{z} \text { и т.д. }
\]
1) Случай, когда соотношение неопределенностей выполняется, хотя произведение дисперсий бесконечно.
Пусть волновой пакет имеет вид
\[
\psi(x)=\left\{\begin{array}{ll}
0 & \text { при } x<0, \\
\exp (-\gamma x / 2) \exp \left(2 \pi i k_{0} x\right) & \text { при } x>0(\gamma>0) .
\end{array}\right.
\]

Если положить
\[
\psi(x)=\int_{-\infty}^{\infty} c(k) e^{2 \pi i k x} d k,
\]

то получим
\[
c(k)=\frac{1}{2 \pi i\left(k-k_{0}\right)+\gamma / 2} .
\]

Поэтому
\[
|\psi(x)|^{2}=e^{-\gamma x}, \quad|c(k)|^{2}=\frac{1}{4 \pi^{2}\left(k-k_{0}\right)^{2}+\gamma^{2 / 4}} .
\]

Мы можем принять следующее определение неопределенностей \( \delta x \) и \( \delta k \) :
\[
e^{-\gamma \delta x}=\frac{1}{N}, \frac{1}{4 \pi^{2}(\delta k)^{2}+\gamma^{2 / 4}}=\frac{4}{N \gamma^{2}},
\]

где \( N \) – очень большое число, откуда \( \delta x=(1 / \gamma) \ln N, \delta k \approx(\gamma / 4 \pi) \sqrt{N} \). Таким образом, имеем \( \delta x \cdot \delta k=(1 / 4 \pi) \sqrt{N} \ln N \), или, если \( k=p_{x} / h, \delta x \cdot \delta p_{x}=(h / 4 \pi) \sqrt{N} \ln N \). При \( N=20 \) имеем \( \delta x \cdot \delta p_{x} \approx h \). В то же время \( \sigma_{p_{x}}=\infty \), поскольку интеграл
\[
\int_{-\infty}^{\infty} p_{x}^{2} c\left(p_{x}\right) d p_{x}
\]

расходится. Для \( \sigma_{x} \) находим значение \( 1 / \gamma \). Поэтому \( \sigma_{p_{x}} \cdot \sigma_{x}=\infty \), что намного больше величины \( h / 4 \pi \). Здесь теорема о дисперсиях ничего не дает, тогда как соотношение неопределенностей по-прежнему выполняется. – Л. Б.

Из теоремы о дисперсиях следует, что
\[
\sigma_{M_{x}} \cdot \sigma_{M_{y}} \geq \frac{1}{2}\left|\overline{\left[M_{x}, \bar{M}_{y}\right]}\right|=\frac{h}{4 \pi} \bar{M}_{z} \text { и т.д. }
\]

Возникает вопрос, существуют ли для \( M_{x}, M_{y}, M_{z} \) соотношения неопределенностей?

Разумеется, можно, как и в предыдущем случае, принять определение неопределенностей \( \delta M_{x}, \ldots \), взяв очень малое число \( \varepsilon \). Однако заранее ничего нельзя сказать о величине, такого произведения, как \( \delta M_{x}: \delta M_{y} \). Но, поскольку вероятность стандартного отклонения всегда довольно велика, чаще всего величина \( \delta M_{x} \) будет больше \( \sigma_{M_{x}} \), а \( \delta M_{y} \) – больше \( \sigma_{M_{y}} \), откуда следует, что
\[
\delta M_{x} \cdot \delta M_{y} \geq(h / 4 \pi) \bar{M}_{z} .
\]

Мы покажем еще, что не могут одновременно выполняться условия \( \bar{M}_{z}
eq 0 \) и \( \delta M_{x} \cdot \delta M_{y}=0 \).

В самом деле, чтобы выполнялось условие \( \bar{M}_{z}
eq 0 \), в разложении \( \psi \) по собственным функциям оператора \( M_{z} \) должна быть по меньшей мере одна собственная функция с собственным значением, отличным от нуля. Такая собственная функция оператора \( M_{z} \) не может быть в то же время собственной функцией оператора \( M_{x} \) или \( M_{y} \), поскольку единственной собственной функцией, общей для \( M_{z} \) и \( M_{x} \) (или \( M_{y} \) ) является величина \( f=0 \). Поэтому если разложить \( \psi \) по собственным функциям оператора \( M_{x} \) (или \( M_{y} \) ), то в таком разложении будут по меньшей мере две собственные функции оператора \( M_{x} \) (или \( M_{y} \) ) с разными собственными значениями. Отсюда следует, что величины \( \delta M_{x} \) и \( \delta M_{y} \) отличны от нуля. Поэтому условия \( M_{z}
eq 0 \) и \( \delta M_{x} \cdot \delta M_{y}=0 \) не могут выполняться одновременно.

Отметим другие различия между случаем некоммутируюших величин первого типа и случаем некоммутирующих величин второго типа.

Пусть система, первоначально нахо́дящаяся в состоянии 1 , характеризуется волновой функцией \( \psi_{1} \), и пусть \( A \) и \( B \) – две наблюдаемые этой системы.

Предположим, что некоторая операция измерения переводит систему в состояние 2 , характеризуемое некоторой волновой функцией \( \psi_{2} \).
До измерения имеем
\[
\left.\sigma_{A}^{(1)} \cdot \sigma_{B}^{(1)} \geq \frac{1}{2} \right\rvert\,\left(\left.\overline{A B-B \bar{A})}\right|_{1} .\right.
\]

После измерения
\[
\sigma_{A}^{(2)} \cdot \sigma_{B}^{(2)} \geq \frac{1}{2}|\overline{(A B-B A)}|_{2} \text {. }
\]

Если \( A \) и \( B \) канонически сопряжены или, в более общем случае, если коммутатор \( [A, B] \) кратен единице, то его среднее значение \( [\bar{A}, \bar{B}] \) есть пос. тоянная, не зависящая от состояния. В таком случае произведения \( \sigma_{A}^{(1)} \cdot \sigma_{B}^{(1)} \) и \( \sigma_{A}^{(2)} \cdot \sigma_{B}^{(2)} \) имеют один и тот же нижний предел.

Если же \( A B-B A \) есть некий оператор \( C \), то среднее значение \( \overline{[A, B]} \) в общем случае зависит от рассматриваемого состояния, и если в состоянии 2 выполняется соотношение
\( \mid\left[\overline{A, B]_{2}}|<| \overline{A, B]}_{1} \mid\right. \),
то может оказаться, что
\[
\left.\left.\sigma_{A}^{(2)} \cdot \sigma_{B}^{(2)}<\frac{1}{2} \right\rvert\, \overline{(A B-B A}\right)_{1} \mid,
\]

хотя
\[
\sigma_{A}^{(2)} \cdot \sigma_{B}^{(2)}>\frac{1}{2}\left|\overline{(A B-B A)_{2}}\right| .
\]

Другими словами, нижняя граница прризведения \( \sigma_{A}^{(2)} \cdot \sigma_{B}^{(2)} \) после измерения определяется состоянием, существующии после данного измерения, а не начальным состоянием.

Применим это к случаю, когда \( A=M_{x}, B=M_{y} \) и \( [A, B]=(h / 2 \pi i) M_{z} \). Если в состоянии 1 выполняется условие \( \bar{M}_{z}^{x}
eq 0 \), то \( \sigma_{M_{x}}^{(1)} \cdot \sigma_{M_{y}}^{(1)}>0 \). Но измерение может привести к состоянию 2 , в котором \( \bar{M}_{z}=0 \) и \( \sigma_{M_{x}}^{2} \cdot \sigma_{M_{y}}^{(2)}=0 \), т.е. к состоянию, в котором величины \( M_{x} \). и \( M_{y} \) имеют точные значения, а именно \( M_{x}=M_{y}=0 \) : В этом состоит большое отличие от случая ‘канонически сопряженных величин, где никакое измерение не может привести систему в состояние, в котором обе величины имели бы точные значения.

В начальном состоянии 1 для величин \( A \) и \( B \) имеются определенные распределения вероятностей, которые можно вычислить, зная функцию \( \psi_{1} \). Пусть \( \delta A \) и \( \delta B \) – два произвольно выбранных интервала значений для наблюдаемых \( A \) и \( B \). Вообще говоря, эти интервалы для состояния 1 не будут неопределенностями в указанном выше точном смысле. Но допустим, что путем измерения мы установили, что вероятности нахождения значения величины \( A \) вне \( \delta A \) и величины \( B \) вне \( \delta B \) обе меньше \( \varepsilon \). Тогда в состоянии \( \psi_{2} \), которое мы имеем после измерения, величины \( \delta A \) и \( \delta B \) станут неопределенностями в указанном выше смысле и будет выполняться соотношение
\( \delta A \cdot \delta B \geq \frac{1}{2}\left|\overline{[A, B]}_{2}\right| \alpha \),
где \( \alpha \) – числовая функция величины \( \varepsilon \), по меньшей мере порядка единицы.
Если \( A \) и \( B \) канонически сопряжены, то мы снова находим соотношения Гейзеніберга, таким путем доказав, что никакое измерение не может дать более точные значения величин \( A \) и \( B \), чем допускается-этими соотношениями, поскольку в противном случае состояние 2 , возникающее в результате измерения, не может быть представлено в волновой механике.
Если \( A \) и \( B \) таковы, что- \( [A, B]=C \), то нижняя граница произведения

\( \delta A \cdot \delta B \) может меняться с изменением состояния и после измерения эта граница определяется значением величины \( {\overline{(A B}-\overline{B A})_{2}}^{1} \).
1) В дальнейшем Луи де Бройль никогда не публиковал столь исчерпывающего анализа соотношений неопределенностей, и мне представляется, что в мировой литературе вряд ди можно найти другую работу, воспроизводящую практически все рассуждения (по данному вопросу) Гейзенберга и Бора, причем здесь они дополнены рассуждениями самого де Бройля. Обратим внимание на его характерную черту, на то, как тщательно он различает информацию о состоянии системы до измерения и информацию о состоянии системы после измерения. Такое различие готовит почву для той интерпретации соотношений неопределенностей, которую он дал позднее [II, 27, 29 и 33]. Главная идея такой интерпретации заключается в следующем. Коль скоро частица предполагается всегда локализованной в некоторой точке волны, возможное измерение ее координаты может выявить лишь то положение частицы, которое существовало ранее, так.что неопределенность \( \Delta x \) существует в начальном состоянии системы до каких-либо измерений (координаты или другой величины), это фактическая неопределенность. В противоположность этому измерение составляющей импульса \( p_{x} \), требующее некой подготовки системы, дает не начальное значение импульса, а то его значение, к которому приводит подготовка, так что \( \Delta p_{x} \) не есть фактическая неопределенность. Это – «неопределенность значения, которое может иметь \( p_{x} \) после действия прибора для измерения \( p_{x} \), предвидимая в начальном состоянии, когда результат измерения еще не известен», – Ж. Л.