Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Матрицей называется таблица чисел, содержащая конечное или бесконечное число строк и столбцов. Если таблица имеет конечные размеры, то для простоты мы будем предполагать ее квадратной. Всякое число, входящее в таблицу (элемент матрицы), можно пометить двумя индексами – номером строки и номером столбца таблицы. Обозначим через \( a_{i k} \) элемент, находящийся на пересечении \( i \)-й строки с \( k \)-м столбцом. Всю матрицу мы обозначим через \( A \). Ее элементы \( a_{i i} \) называются диагональными, а матрица, в которой отличны от нуля лишь диагональные элементы, называется диагональной мат- с вероятностью \( \left|c_{k}\right|^{2} \) можем найти ее в состоянии \( \varphi_{k} \). Таким образом, до измерения система, состояние которой описывается функцией \( \psi=\sum_{i} c_{i} \varphi_{i} \), может находиться в разных состояниях \( \varphi_{i} \), вероятность каждого из которых отлична от нуля и равна \( \left|c_{i}\right|^{2} \). Это совершенно новая идея, чуждая классическим теориям, в которых состояние системы характеризуется вполне определенными значениями физических величин, описывающих эту систему. Новое понятие суперпозиции – возможно, самое важное из всех понятий, введенных в новой механике. Если в классической теории колебаний рассматриваются колебания, характеризуемые функцией \( \psi=\sum_{i} c_{i} \exp \left[2 \pi i\left( нельзя рассматривать как сумму волн с наперед заданными амплитудами. Например, в классической теории два волновых движения \( \psi_{1}=c_{1} \exp [2 \pi i( рицей. Две матрицы \( A \) и \( B \) считаются равными \( (A=B \) ), если все их соответствующие элементы равны друг другу: \( a_{i j}=b_{i j} \) при всех \( i \) и \( j \). В алгебре матрицы вводятся при изучении линейных преобразований. Если переменные \( x_{i}{ }^{\prime} \) представляют собой линейные комбинации переменных \( x_{i} \), то формулы преобразования имеют вид \( x_{i}{ }^{\prime}=\sum_{j} a_{i j} x_{i} \), что символически записывается как \( X^{\prime}=A X \), где \( (A X)_{i}=\sum_{j} a_{i j} x_{j} \). Поэтому мы можем ввести следующие правила сложения и умножения двух матриц: Из последнего определения следует, что, вообще говоря, матрица \( A B \) не равна матрице \( B A \). Если же в конкретном случае \( A B=B A \), то говорят, что матрицы \( A \) и \( B \) коммутируют между собой. Часто «коммутатором» матриц \( A \) и \( B \) называют матрицу \( A B-B A=[A, B] \), которая, если она отлична от нуля, характеризует степень некоммутативности матриц \( A \) и \( B \). Иногда вводят также матрицу \( A B+B A=[A, B]_{+} \), называемую «анти’коммутатором» матриц \( A \) и \( B \). Если она равна нулю, то \( A B=-B A \), и говорят, что матрицы \( A \) и \( B \) антикоммутируют; если же матрицаантикоммутатор отлична от нуля, то она служит мерой антикоммутативности матриц \( A \) и \( B \). Матрицы действительны или комплексны в зависимости от того, действительны или комплексны их элементы. Мы будем рассматривать общий случай комплексных матриц. Матрица называется эрмитовой, если \( a_{i k}=a_{k i}^{*} \) при всех \( \dot{i} \) и \( k \). В связи с этим действительная эрмитова матрица симметрична относительно диагонали, а диагональные элементы эрмитовой матрицы всегда действительны. Матрица называется антиэрмитовой, если \( a_{i k}=-a_{k i}^{*} \) при всех \( i \) и \( k \). Диагональные элементы антиэрмитовой матрицы являются мнимыми. Произведение двух эрмитовых матриц \( A \) и \( B \) является эрмитовым в том и только в том случае, если эти матрицы коммутируют; если же \( A \) и \( B \) антикоммутируют, оно будет антиэрмитовым. Матрица \( \tilde{A} \) называется «транспонированной» по отношению к \( A \), если \( \tilde{a}_{k i}=a_{i k} \). \”Сопряженной» по отношению к \( A \) называется такая матрица \( A^{+} \), для которой \( a_{i k}^{+}=a_{k i}^{*} \) или \( A^{+}=\tilde{A}^{*} \). Для эрмитовых матриц \( A=A^{+} \); в этом случае \( A \) – самосопряженная матрица. Очевидно, что \( \left(A^{+}\right)^{+}=A \), причем, как легко показать, \( (A B)^{+}=B^{+} A^{+} \). Диагональная эрмитова матрица обязательно является действительной. В частности, диагональная эрмитова матрица \( a_{i k}=\delta_{i k} \) называется единичной матрицей и часто обозначается символом 1 . Пусть дана матрица \( A \). Если существует такая матрица \( A^{-1} \), что \( A \cdot A^{-1}=A^{-1} \cdot A=1 \), то матрица \( A^{-1} \) называется обратной по отношению к \( A \). Если квадратная матрица содержит конечное число строк и столбцов, то \( A^{-1} \) существует в том случае, если детерминант из элементов \( a_{i k} \) матрицы \( A \) отличен от нуля. Если \( A \) имеет бесконечное число строк и столбцов, то \( A^{-1} \) даже в этом случае может не существовать. Если \( A^{-1} \) и \( B^{-1} \) существуют, то всегда \( (A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1} \). то говорят, что матрица \( A \) является ортогональной. Соответствующее ей линейное преобразование характеризует в этом случае ортогональное преобразование в пространстве, которое оставляет инвариантным сумму \( \sum_{i} x_{i}^{2} \). Это определение обобщается на случай комплексных матриц \( A \). Если то матрицей \( A \) определяется комплексное ортогональное преобразование, называемое унитарным, причем, как нетрудно убедиться, для такого преобразования величина \( \sum_{i} x_{i}^{*} x_{i} \) остается инвариантной. В этом случае матрица \( A \) называется унитарной, причем Отсюда видно, что матрица, сопряженная к унитарной матрице, совпадает с обратной матрицей. Следом матрицы \( A \) называется сумма ее диагональных элементов \( \operatorname{Tr} A= \) \( =\sum_{i} a_{i i} \). Отсюда следует, что то говорят, что матрица \( B \) получается из \( A \) путем канонического преобразования. Как нетрудно убедиться, если матрица \( A \) эрмитова, то эрмитовой будет и матрица \( B \). Стало быть, канонические преобразования сохраняют эрмитовость матриц, а также, как легко видеть, и след. Кроме того, если две квадратные матрицы \( A \) и \( A^{\prime} \) в результате некоторого канонического преобразования преобразуются в \( B \) и \( B^{\prime} \), то их произведение \( A A^{\prime} \) преобразуется в \( B B^{\prime} \) в результате того же самого канонического преобразования, так как \( S^{-1} A S \times \) \( \times S^{-1} A^{\prime} S=S^{-1} A A^{\prime} S \).
|
1 |
Оглавление
|