Матрицей называется таблица чисел, содержащая конечное или бесконечное число строк и столбцов. Если таблица имеет конечные размеры, то для простоты мы будем предполагать ее квадратной. Всякое число, входящее в таблицу (элемент матрицы), можно пометить двумя индексами — номером строки и номером столбца таблицы. Обозначим через $a_{ik}$ элемент, находящийся на пересечении $i$-й строки с $k$-м столбцом. Всю матрицу мы обозначим через $A$. Ее элементы $a_{ii}$ называются диагональными, а матрица, в которой отличны от нуля лишь диагональные элементы, называется диагональной мат-

с вероятностью ${\left|c_k\right|}^2$ можем найти ее в состоянии ${\phi }_k$. Таким образом, до измерения система, состояние которой описывается функцией $\psi =\sum _i{c}_i{\phi }_i$, может находиться в разных состояниях ${\phi }_i$, вероятность каждого из которых отлична от нуля и равна ${\left|c_i\right|}^2$. Это совершенно новая идея, чуждая классическим теориям, в которых состояние системы характеризуется вполне определенными значениями физических величин, описывающих эту систему. Новое понятие суперпозиции — возможно, самое важное из всех понятий, введенных в новой механике.

Если в классической теории колебаний рассматриваются колебания, характеризуемые функцией $\psi =\sum _i{c}_i\exp \left[2\pi i(u_{i}t-z/{\lambda }_i)\right]$, то это означает, что величина $\psi$ в каждый
момент времени в каждой точке пространства представляется в виде суммы членов ряда, в который амплитуды каждого из колебаний входят с соответствующими множителями $c_i$. В волновой механике к выражению для $\psi$ в виде ряда добавляется условие $\sum _i{\left|c_i\right|}^2=1$, связанное с вероятностной интерпретацией функции $\psi$, и потому $\psi$ уже

нельзя рассматривать как сумму волн с наперед заданными амплитудами. Например, в классической теории два волновых движения ${\psi }_1=c_1\exp [2\pi i(ut-z/\lambda )]$ и ${\psi }_2=$ $=c_2\exp [2\pi i(ut-z/\lambda )]$ в результате суперпозиции дают волну $\psi ={\psi }_1+{\psi }_2$ с амплитудой $c_1+c_2$. В волновой же механике два состояния ${\psi }_1$ и ${\psi }_2$, рассматриваемые по отдельности, удовлетворяют условиям $\left|c_1\right|=1/\sqrt{v}$ и $\left|c_2\right|=1/\sqrt{v}$. При их суперпозиции получается тоже состояние $\psi ={\psi }_1+{\psi }_2$, но с дополнительным условием $|c_1+c_2|=$ $=1/\sqrt{v}$, в силу которого обычное сложение амплитуд уже не имеет места. Это подчеркивает пропасть, разделяющую понятие волновой функции в классической теории волн и в волновой механике. — Л. Б.
(Замечание по поводу примечания автора.) Луи де Бройль рассматривает здесь лишь непрерывную и нормированную волну, лежащую в основе вероятностной интерпретации волновой механики. Примкнув к ортодоксальной точке зрения, он считал, что данные волны единственно возможны. В этом примечании видно, как он отстаивает новую для него точку зрения с тем большей силой, что ранее был убежден в противоположном. Именно к этим старым убеждениям, как мы знаем, он скоро вернулся, развивая теорию двойного решения. В последней он тщательно различает волну $\downarrow$, имеющую опнсанные выше свойства, и волну $v$ (регулярную часть сингулярной волны $u$ ). Волна $v$ имеет ту же самую фазу, что и волна $\psi$, но другую амплитуду; она не нормирована, не претерпевает редукции волнового пакета, но подчиняется обычному закону сложения составляющих в классической теории колебаний. Луи де Бройль в дальнейшем будет рассматривать ее как истинную физическую волну в противоположность волне $\psi$, являющейся лишь инструментом предсказания. — $\mathcal{\text{ . }}$. Л.

рицей. Две матрицы $A$ и $B$ считаются равными $(A=B$ ), если все их соответствующие элементы равны друг другу: $a_{ij}=b_{ij}$ при всех $i$ и $j$.

В алгебре матрицы вводятся при изучении линейных преобразований. Если переменные $x_i{}^{\prime }$ представляют собой линейные комбинации переменных $x_i$, то формулы преобразования имеют вид $x_i{}^{\prime }=\sum _j{a}_{ij}{x}_i$, что символически записывается как $X^{\prime }=AX$, где $(AX{)}_i=\sum _j{a}_{ij}{x}_j$. Поэтому мы можем ввести следующие правила сложения и умножения двух матриц:
1) суммой двух матриц $A$ и $B$ будем считать матрицу $A+B$ с элементами $a_{ij}+b_{ij}$;
2) произведением матриц $A$ и $B$ будем считать матрицу $AB$, элементы которой, характеризуемые индексами $ik$, равны $\sum _j{a}_{ij}{b}_{jk}$.

Из последнего определения следует, что, вообще говоря, матрица $AB$ не равна матрице $BA$. Если же в конкретном случае $AB=BA$, то говорят, что матрицы $A$ и $B$ коммутируют между собой. Часто «коммутатором» матриц $A$ и $B$ называют матрицу $AB-BA=[A,B]$, которая, если она отлична от нуля, характеризует степень некоммутативности матриц $A$ и $B$.

Иногда вводят также матрицу $AB+BA=[A,B{]}_{+}$, называемую «анти’коммутатором» матриц $A$ и $B$. Если она равна нулю, то $AB=-BA$, и говорят, что матрицы $A$ и $B$ антикоммутируют; если же матрицаантикоммутатор отлична от нуля, то она служит мерой антикоммутативности матриц $A$ и $B$.

Матрицы действительны или комплексны в зависимости от того, действительны или комплексны их элементы. Мы будем рассматривать общий случай комплексных матриц.

Матрица называется эрмитовой, если $a_{ik}=a_{ki}^{\ast }$ при всех $\dot{i}$ и $k$. В связи с этим действительная эрмитова матрица симметрична относительно диагонали, а диагональные элементы эрмитовой матрицы всегда действительны.

Матрица называется антиэрмитовой, если $a_{ik}=-a_{ki}^{\ast }$ при всех $i$ и $k$. Диагональные элементы антиэрмитовой матрицы являются мнимыми.

Произведение двух эрмитовых матриц $A$ и $B$ является эрмитовым в том и только в том случае, если эти матрицы коммутируют; если же $A$ и $B$ антикоммутируют, оно будет антиэрмитовым.

Матрица $\tilde{A}$ называется «транспонированной» по отношению к $A$, если ${\tilde{a}}_{ki}=a_{ik}$. \»Сопряженной» по отношению к $A$ называется такая матрица $A^{+}$, для которой $a_{ik}^{+}=a_{ki}^{\ast }$ или $A^{+}={\tilde{A}}^{\ast }$. Для эрмитовых матриц $A=A^{+}$; в этом случае $A$ — самосопряженная матрица.

Очевидно, что ${\left(A^{+}\right)}^{+}=A$, причем, как легко показать, $(AB{)}^{+}=B^{+}{A}^{+}$. Диагональная эрмитова матрица обязательно является действительной. В частности, диагональная эрмитова матрица $a_{ik}={\delta }_{ik}$ называется единичной матрицей и часто обозначается символом 1 .

Пусть дана матрица $A$. Если существует такая матрица $A^{-1}$, что $A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=1$, то матрица $A^{-1}$ называется обратной по отношению к $A$. Если квадратная матрица содержит конечное число строк и столбцов, то $A^{-1}$ существует в том случае, если детерминант из элементов $a_{ik}$ матрицы $A$ отличен от нуля. Если $A$ имеет бесконечное число строк и столбцов, то $A^{-1}$ даже в этом случае может не существовать. Если $A^{-1}$ и $B^{-1}$ существуют, то всегда $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$.
Если $A$ — действительная матрица и если
$$\sum _j{a}_{ji}{a}_{jk}={\delta }_{ik};\sum _l{a}_{jl}{a}_{kl}={\delta }_{jk},$$

то говорят, что матрица $A$ является ортогональной. Соответствующее ей линейное преобразование характеризует в этом случае ортогональное преобразование в пространстве, которое оставляет инвариантным сумму $\sum _i{x}_i^2$. Это определение обобщается на случай комплексных матриц $A$. Если
$$\sum _j{a}_{ji}{a}_{jl}^{\ast }={\delta }_{il};\sum _l{a}_{jl}{a}_{kl}^{\ast }={\delta }_{jk},$$

то матрицей $A$ определяется комплексное ортогональное преобразование, называемое унитарным, причем, как нетрудно убедиться, для такого преобразования величина $\sum _i{x}_i^{\ast }{x}_i$ остается инвариантной. В этом случае матрица $A$ называется унитарной, причем
$$\sum _i{a}_{ki}^{+}{a}_{ij}={\delta }_{kj};\sum _i{a}_{jl}{a}_{lk}^{+}={\delta }_{jk},$$
т.е. $A^{+}A=A{A}^{+}=1$, откуда $A^{+}=A^{-1}$.

Отсюда видно, что матрица, сопряженная к унитарной матрице, совпадает с обратной матрицей.

Следом матрицы $A$ называется сумма ее диагональных элементов $\mathrm{Tr}A=$ $=\sum _i{a}_{ii}$. Отсюда следует, что
$\mathrm{Tr}AB=\mathrm{Tr}BA=\sum _{ik}{a}_{ik}{b}_{ki}$.
Пусть имеются две квадратные матрицы, одна из них $A$ — произвольная, а вторая $S$ — унитарная, имеющая такое же число строк и столбцов. Если выполняется соотношение
$$B=S^{-1}AS\text{, }$$

то говорят, что матрица $B$ получается из $A$ путем канонического преобразования. Как нетрудно убедиться, если матрица $A$ эрмитова, то эрмитовой будет и матрица $B$. Стало быть, канонические преобразования сохраняют эрмитовость матриц, а также, как легко видеть, и след. Кроме того, если две квадратные матрицы $A$ и $A^{\prime }$ в результате некоторого канонического преобразования преобразуются в $B$ и $B^{\prime }$, то их произведение $A{A}^{\prime }$ преобразуется в $B{B}^{\prime }$ в результате того же самого канонического преобразования, так как $S^{-1}AS\times$ $\times S^{-1}{A}^{\prime }S=S^{-1}A{A}^{\prime }S$.