Матрицей называется таблица чисел, содержащая конечное или бесконечное число строк и столбцов. Если таблица имеет конечные размеры, то для простоты мы будем предполагать ее квадратной. Всякое число, входящее в таблицу (элемент матрицы), можно пометить двумя индексами — номером строки и номером столбца таблицы. Обозначим через \( a_{i k} \) элемент, находящийся на пересечении \( i \)-й строки с \( k \)-м столбцом. Всю матрицу мы обозначим через \( A \). Ее элементы \( a_{i i} \) называются диагональными, а матрица, в которой отличны от нуля лишь диагональные элементы, называется диагональной мат-

с вероятностью \( \left|c_{k}\right|^{2} \) можем найти ее в состоянии \( \varphi_{k} \). Таким образом, до измерения система, состояние которой описывается функцией \( \psi=\sum_{i} c_{i} \varphi_{i} \), может находиться в разных состояниях \( \varphi_{i} \), вероятность каждого из которых отлична от нуля и равна \( \left|c_{i}\right|^{2} \). Это совершенно новая идея, чуждая классическим теориям, в которых состояние системы характеризуется вполне определенными значениями физических величин, описывающих эту систему. Новое понятие суперпозиции — возможно, самое важное из всех понятий, введенных в новой механике.

Если в классической теории колебаний рассматриваются колебания, характеризуемые функцией \( \psi=\sum_{i} c_{i} \exp \left[2 \pi i\left(
u_{i} t-z / \lambda_{i}\right)\right] \), то это означает, что величина \( \psi \) в каждый
момент времени в каждой точке пространства представляется в виде суммы членов ряда, в который амплитуды каждого из колебаний входят с соответствующими множителями \( c_{i} \). В волновой механике к выражению для \( \psi \) в виде ряда добавляется условие \( \sum_{i}\left|c_{i}\right|^{2}=1 \), связанное с вероятностной интерпретацией функции \( \psi \), и потому \( \psi \) уже

нельзя рассматривать как сумму волн с наперед заданными амплитудами. Например, в классической теории два волновых движения \( \psi_{1}=c_{1} \exp [2 \pi i(
u t-z / \lambda)] \) и \( \psi_{2}= \) \( =c_{2} \exp [2 \pi i(
u t-z / \lambda)] \) в результате суперпозиции дают волну \( \psi=\psi_{1}+\psi_{2} \) с амплитудой \( c_{1}+c_{2} \). В волновой же механике два состояния \( \psi_{1} \) и \( \psi_{2} \), рассматриваемые по отдельности, удовлетворяют условиям \( \left|c_{1}\right|=1 / \sqrt{v} \) и \( \left|c_{2}\right|=1 / \sqrt{v} \). При их суперпозиции получается тоже состояние \( \psi=\psi_{1}+\psi_{2} \), но с дополнительным условием \( \left|c_{1}+c_{2}\right|= \) \( =1 / \sqrt{v} \), в силу которого обычное сложение амплитуд уже не имеет места. Это подчеркивает пропасть, разделяющую понятие волновой функции в классической теории волн и в волновой механике. — Л. Б.
(Замечание по поводу примечания автора.) Луи де Бройль рассматривает здесь лишь непрерывную и нормированную волну, лежащую в основе вероятностной интерпретации волновой механики. Примкнув к ортодоксальной точке зрения, он считал, что данные волны единственно возможны. В этом примечании видно, как он отстаивает новую для него точку зрения с тем большей силой, что ранее был убежден в противоположном. Именно к этим старым убеждениям, как мы знаем, он скоро вернулся, развивая теорию двойного решения. В последней он тщательно различает волну \( \downarrow \), имеющую опнсанные выше свойства, и волну \( v \) (регулярную часть сингулярной волны \( u \) ). Волна \( v \) имеет ту же самую фазу, что и волна \( \psi \), но другую амплитуду; она не нормирована, не претерпевает редукции волнового пакета, но подчиняется обычному закону сложения составляющих в классической теории колебаний. Луи де Бройль в дальнейшем будет рассматривать ее как истинную физическую волну в противоположность волне \( \psi \), являющейся лишь инструментом предсказания. — \( \mathcal{\text { . }} \). Л.

рицей. Две матрицы \( A \) и \( B \) считаются равными \( (A=B \) ), если все их соответствующие элементы равны друг другу: \( a_{i j}=b_{i j} \) при всех \( i \) и \( j \).

В алгебре матрицы вводятся при изучении линейных преобразований. Если переменные \( x_{i}{ }^{\prime} \) представляют собой линейные комбинации переменных \( x_{i} \), то формулы преобразования имеют вид \( x_{i}{ }^{\prime}=\sum_{j} a_{i j} x_{i} \), что символически записывается как \( X^{\prime}=A X \), где \( (A X)_{i}=\sum_{j} a_{i j} x_{j} \). Поэтому мы можем ввести следующие правила сложения и умножения двух матриц:
1) суммой двух матриц \( A \) и \( B \) будем считать матрицу \( A+B \) с элементами \( a_{i j}+b_{i j} \);
2) произведением матриц \( A \) и \( B \) будем считать матрицу \( A B \), элементы которой, характеризуемые индексами \( i k \), равны \( \sum_{j} a_{i j} b_{j k} \).

Из последнего определения следует, что, вообще говоря, матрица \( A B \) не равна матрице \( B A \). Если же в конкретном случае \( A B=B A \), то говорят, что матрицы \( A \) и \( B \) коммутируют между собой. Часто «коммутатором» матриц \( A \) и \( B \) называют матрицу \( A B-B A=[A, B] \), которая, если она отлична от нуля, характеризует степень некоммутативности матриц \( A \) и \( B \).

Иногда вводят также матрицу \( A B+B A=[A, B]_{+} \), называемую «анти’коммутатором» матриц \( A \) и \( B \). Если она равна нулю, то \( A B=-B A \), и говорят, что матрицы \( A \) и \( B \) антикоммутируют; если же матрицаантикоммутатор отлична от нуля, то она служит мерой антикоммутативности матриц \( A \) и \( B \).

Матрицы действительны или комплексны в зависимости от того, действительны или комплексны их элементы. Мы будем рассматривать общий случай комплексных матриц.

Матрица называется эрмитовой, если \( a_{i k}=a_{k i}^{*} \) при всех \( \dot{i} \) и \( k \). В связи с этим действительная эрмитова матрица симметрична относительно диагонали, а диагональные элементы эрмитовой матрицы всегда действительны.

Матрица называется антиэрмитовой, если \( a_{i k}=-a_{k i}^{*} \) при всех \( i \) и \( k \). Диагональные элементы антиэрмитовой матрицы являются мнимыми.

Произведение двух эрмитовых матриц \( A \) и \( B \) является эрмитовым в том и только в том случае, если эти матрицы коммутируют; если же \( A \) и \( B \) антикоммутируют, оно будет антиэрмитовым.

Матрица \( \tilde{A} \) называется «транспонированной» по отношению к \( A \), если \( \tilde{a}_{k i}=a_{i k} \). \»Сопряженной» по отношению к \( A \) называется такая матрица \( A^{+} \), для которой \( a_{i k}^{+}=a_{k i}^{*} \) или \( A^{+}=\tilde{A}^{*} \). Для эрмитовых матриц \( A=A^{+} \); в этом случае \( A \) — самосопряженная матрица.

Очевидно, что \( \left(A^{+}\right)^{+}=A \), причем, как легко показать, \( (A B)^{+}=B^{+} A^{+} \). Диагональная эрмитова матрица обязательно является действительной. В частности, диагональная эрмитова матрица \( a_{i k}=\delta_{i k} \) называется единичной матрицей и часто обозначается символом 1 .

Пусть дана матрица \( A \). Если существует такая матрица \( A^{-1} \), что \( A \cdot A^{-1}=A^{-1} \cdot A=1 \), то матрица \( A^{-1} \) называется обратной по отношению к \( A \). Если квадратная матрица содержит конечное число строк и столбцов, то \( A^{-1} \) существует в том случае, если детерминант из элементов \( a_{i k} \) матрицы \( A \) отличен от нуля. Если \( A \) имеет бесконечное число строк и столбцов, то \( A^{-1} \) даже в этом случае может не существовать. Если \( A^{-1} \) и \( B^{-1} \) существуют, то всегда \( (A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1} \).
Если \( A \) — действительная матрица и если
\[
\sum_{j} a_{j i} a_{j k}=\delta_{i k} ; \sum_{l} a_{j l} a_{k l}=\delta_{j k},
\]

то говорят, что матрица \( A \) является ортогональной. Соответствующее ей линейное преобразование характеризует в этом случае ортогональное преобразование в пространстве, которое оставляет инвариантным сумму \( \sum_{i} x_{i}^{2} \). Это определение обобщается на случай комплексных матриц \( A \). Если
\[
\sum_{j} a_{j i} a_{j l}^{*}=\delta_{i l} ; \sum_{l} a_{j l} a_{k l}^{*}=\delta_{j k},
\]

то матрицей \( A \) определяется комплексное ортогональное преобразование, называемое унитарным, причем, как нетрудно убедиться, для такого преобразования величина \( \sum_{i} x_{i}^{*} x_{i} \) остается инвариантной. В этом случае матрица \( A \) называется унитарной, причем
\[
\sum_{i} a_{k i}^{+} a_{i j}=\delta_{k j} ; \sum_{i} a_{j l} a_{l k}^{+}=\delta_{j k},
\]
т.е. \( A^{+} A=A A^{+}=1 \), откуда \( A^{+}=A^{-1} \).

Отсюда видно, что матрица, сопряженная к унитарной матрице, совпадает с обратной матрицей.

Следом матрицы \( A \) называется сумма ее диагональных элементов \( \operatorname{Tr} A= \) \( =\sum_{i} a_{i i} \). Отсюда следует, что
\( \operatorname{Tr} A B=\operatorname{Tr} B A=\sum_{i k} a_{i k} b_{k i} \).
Пусть имеются две квадратные матрицы, одна из них \( A \) — произвольная, а вторая \( S \) — унитарная, имеющая такое же число строк и столбцов. Если выполняется соотношение
\[
B=S^{-1} A S \text {, }
\]

то говорят, что матрица \( B \) получается из \( A \) путем канонического преобразования. Как нетрудно убедиться, если матрица \( A \) эрмитова, то эрмитовой будет и матрица \( B \). Стало быть, канонические преобразования сохраняют эрмитовость матриц, а также, как легко видеть, и след. Кроме того, если две квадратные матрицы \( A \) и \( A^{\prime} \) в результате некоторого канонического преобразования преобразуются в \( B \) и \( B^{\prime} \), то их произведение \( A A^{\prime} \) преобразуется в \( B B^{\prime} \) в результате того же самого канонического преобразования, так как \( S^{-1} A S \times \) \( \times S^{-1} A^{\prime} S=S^{-1} A A^{\prime} S \).