Пусть \( A \) – линейный эрмитов оператор. Напишем уравнение
\[
A_{\varphi}=\alpha \varphi \text {, }
\]

где \( \varphi \) – функция переменных, которые входят в \( A \), а \( \alpha \) – постоянная. Время \( t \) может входить в \( A, \varphi \) и \( \alpha \) в качестве числового параметра. Назовем собственными значениями оператора \( A \) в области \( D \) такие значения постоянной \( \alpha \), для которых существует по меньшей мере одно решение \( \varphi(x, y, z, \alpha) \), называемое собственной функцией, обладающее следующими свойствами. Это решение гладко и непрерывно в области \( D \), причем интеграл от квадрата его модуля в этой области сходится, откуда, очевидно, следует, что если область \( D \) бесконечна, то функция \( \varphi \) на бесконечности должна убывать достаточно быстро. Наконец, если область \( D \) конечна, то решение \( \varphi \) должно, кроме того, обращаться в нуль на ее границах.

Отметим, что в качестве различных решений уравнения на собственные значения \( A \varphi=\alpha \varphi \) мы рассматриваем лишь линейно-независимые решения.
1) В плоскости \( x O y \) оператор \( x(\partial / \partial y)-y(\partial / \partial x) \) не является полным, так как он равен \( \partial / \partial \varphi .-Л \). Б.

Допустим (это тонкий момент с точки зрения математической строгости), что для операторов волновой механики собственные значения существуют. Покажем, что они являются действительными. В самом деле, из уравнения на собственные значения и из сопряженного к нему легко получим
\[
\int_{D}\left[\varphi^{*} A(\varphi)-\varphi A^{*}\left(\varphi^{*}\right)\right] d \tau=\left(\alpha-\alpha^{*}\right) \int_{D} \varphi \varphi^{*} d \tau .
\]

Поскольку оператор \( A \) эрмитов, левая часть равенства равна нулю, а поскольку интеграл в правой части существенно положителен, должно выполняться равенство \( \alpha=\alpha^{*} \), т. е. \( \alpha \) – действительная постоянная.

Совокупность собственных значений образует «спектр» уравнения \( A \varphi=\alpha \varphi \) (или спектр оператора \( A \) в области \( D \) ). Если собственные значения изолированны, то спектр дискретен; это – спектр линий. Если же собственные значения образуют непрерывную последовательность, то спектр непрерывен, т. е. спектр полосовой. В отдельных случаях спектр может быть частично непрерывным и частично дискретным. Непрерывные спектры возникают лишь для бесконечных областей \( D \).

Будем рассматривать дискретные спектры. Обозначим через \( \alpha_{i} \) изолированное собственное значение. Тогда имеется по крайней мере одна соответствуюшая ему собственная функция \( \varphi_{i}(x, y, z, t) \).

Покажем, что совокупность собственных функций дискретного спектра образует ортогональную систему, т. е. если \( \varphi_{i} \) и \( \varphi_{j} \) – две собственные функции, соответствующие различным собственным значениям \( \alpha_{i} \) и \( \alpha_{j}
eq \alpha_{i} \), то
\[
\int_{D} \varphi_{i}^{*} \varphi_{j} d \tau=0
\]

В самом деле, в силу действительности величины \( \alpha_{i} \) имеем
\[
\int_{D}\left[\varphi_{i}^{*} A\left(\varphi_{j}\right)-\varphi_{j} A^{*}\left(\varphi_{i}^{*}\right)\right] d \tau=0=\left(\alpha_{j}-\alpha_{i}\right) \int_{D} \varphi_{i}^{*} \varphi_{j} d \tau .
\]

Левая часть равна нулю вследствие эрмитовости оператора \( A \), что и приводит к формуле (4).

Однако приведенное доказательство неприменимо в случае, когда одному и тому же собственному значению соответствуют две собственные функции. В этом случае говорят, что собственное значение «вырождено». Пусть \( \alpha_{i} \) – одно из таких собственных значений, которому соответствует \( p \) собственных линейно-независимых функций \( \varphi_{i_{1}}, \varphi_{i_{2}}, \ldots, \varphi_{i_{p}} \). Поскольку оператор \( A \) всегда линеен, произвольная линейная комбинация этих \( p \) собственных функций – тоже собственная функция. В связи с этим \( \varphi_{i_{1}}, \ldots, \varphi_{i_{p}} \) можно заменить \( p \) линейно-независимыми комбинациями этих функций и эти комбинации можно выбрать таким образом, чтобы они были взаимно ортогональны. Поэтому всегда можно считать, что совокупность собственных функций линейного эрмитова оператора взаимно ортогональна.
Собственные функции, очевидно, определяются лишь с точностью до постоянного комплексного множителя, поскольку если \( \varphi_{i} \) – решение уравнения \( A \varphi_{i}=\alpha_{i} \varphi_{i} \), то \( C \varphi \) также является решением из-за линейности оператора \( A \). Модуль комплексной постоянной \( C \) всегда можно выбрать таким образом, что
\[
\int_{D} \varphi_{i} \varphi_{i}^{*} d \tau=\int_{D}\left|\varphi_{i}\right|^{2} d \tau=1 .
\]

В этом случае функция \( \varphi_{i} \) называется нормированной; она содержит еще неопределенный фазовый множитель \( \exp (i \alpha) \), по модулю равный единице.

Поскольку функции одновременно нормированы и ортогональны (ортонормированы), можно написать
\[
\int_{D} \varphi_{i}^{*} \varphi_{j} d \tau=\delta_{i j},
\]

где \( \delta_{i j} \) – символ Кронекера, равный 1 при \( i=j \) и равный 0 при \( i
eq j \).
Мы рассматривали случай дискретного спектра. Если же оператор \( A \) обладает непрерывным спектром, то каждому собственному значению этого спектра будет соответствовать собственная функция \( \varphi(x, y, z, \alpha) \), где вместо дискретного индекса пишется непрерывная переменная \( \alpha \). Так же, как это было сделано выше, нетрудно показать, что любая собственная функция непрерывного спектра ортогональна любой собственной функции дискретного спектра, если таковой имеется. Чтобы показать, что собственные функции непрерырного спектра нормированы и взаимно ортогональны, можно во избежание некоторых трудностей со сходимостью вместо самих собственных функций \( \varphi(x, y, z, \alpha) \) использовать так называемые собственные дифференциалы \( \alpha+\Delta \alpha \varphi(x, y, z, \alpha) d \alpha \), где \( \Delta \alpha \) – очень малый интервал \( (\alpha, \alpha+\Delta \alpha) \) непрерывного спектра. Такая замена имеет физический смысл. Она соответствует аналогичной процедуре в классической теории волн, когда вместо плоской монохроматической волны, являющейся лишь абстракцией, используется группа волн, образованных путем суперпозиции волн с очень близкими частотами. Тот факт, что собственные дифференциалы нормированы и взаимно ортогональны, выражается соотношением
\[
\frac{1}{\Delta \alpha} \int_{D} d \tau\left(\int_{\alpha^{\prime}}^{\alpha^{\prime}+\Delta \alpha} \varphi(x, y, z, \alpha) d \alpha\right)^{\alpha^{\prime \prime}} \int_{\alpha^{\prime}}^{+\Delta \alpha} \varphi(x, y, z, \alpha) d \alpha=\delta_{\alpha^{\prime} \alpha^{\prime \prime}} .
\]

Собственные функции полных операторов волновой механики обладают тем важным свойством, что они образуют «полную» систему. Это означает, что при некоторых не очень жестких условиях функция, определенная в области \( D \) изменения переменных, от которых зависит оператор \( A \), может быть разложена в ряд по собственным функциям этого оператора. (Для большей строгости здесь следовало бы ввести понятие «сходимости в среднем», чего мы в нашем кратком изложении не будем делать.) Например, функция \( f(x, y, z) \) при очень общих предположениях может быть следующим образом разложена по собственным функциям полного эрмитова оператора \( A \) :
\[
f(x, y, z)=\sum_{i} c_{i} \varphi_{i}(x, y, z)+\int c(\alpha) \varphi(x, y, z, \alpha) d \alpha,
\]

где сумма берется по дискретному спектру, а интеграл – по непрерывному. Эту формулу можно переписать с помощью собственных дифференциалов:
\[
f(x, y, z)=\sum_{i} c_{i} \varphi_{i}(x, y, z)+\sum_{\Delta \alpha} c(\alpha) \int_{\alpha}^{\alpha+\Delta \alpha} \varphi(x, y, z, \alpha) d \alpha .
\]

На основании соотношений ортонормированности собственных функций дискретного спектра и собственных дифференциалов получим формулы
\[
c_{i}=\int_{D} \varphi_{i}^{*} f(x, y, z) d \tau
\]
\[
c(\alpha)=\frac{1}{\Delta \alpha} \int_{D} d \tau\left(\int_{\alpha}^{\alpha+d^{\alpha}} \varphi(x, y, z, \alpha) d \alpha\right) f(x, y, z) .
\]

Коэффициенты \( c_{i} \) и \( c(\alpha) \) обычно называются коэффициентами Фурье в разложении функции \( f(x, y, z) \) по собственным функциям оператора \( A \). Ряд и интеграл Фурье являются простыми частными случаями разложений подобного типа. Отметим, что в выражения для \( c_{i} \) и \( c(\alpha) \) время может входить в качестве числового параметра.

Отметим также, что если \( \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{i}, \ldots \) – собственные значения линейного onератора \( A \), то, как нетрудно убедиться, \( \alpha_{1}{ }^{n}, \ldots, \alpha_{i}^{n}, \ldots \) – собственные значения оператора \( A^{n} \).