Из сказанного ранее следует, что на микроскопическом уровне имеются два вида эволюции: обратимая между двумя измерениями и необратимая, обусловленная измерением.

Обратимая эволюция системы или совокупности систем характеризуется совершенно детерминированной эволюцией волновой функции системы или волновых функций совокупности систем. Если мы имеем дело с чистым состоянием и если \( \psi_{0}(0) \) – начальное значение соответствующей ему волновой
функции, то последняя будет изменяться во времени в соответствии с уравнением
\[
\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial \psi}{\partial t}=H \psi,
\]

где \( H \) – оператор Гамильтона для системы, который в случае изолированной системы не зависит от времени. Таким образом, имеем
\[
\psi(t)=e^{(2 \pi i / h) H t} \psi(0),
\]

где
\[
e^{(2 \pi i / h) H t}=\sum_{n} \frac{1}{n !}\left(\frac{2 \pi i}{h} H t\right)^{n} .
\]

Состояние, чистое в начальный момент, остается и далее чистым состоянием. Как нетрудно убедиться, для оператора \( e^{(2 \pi i / h) H t} \) сопряженным будет оператор \( e^{(-2 \pi i / h) H t} \), так что оператор, обратный этому оператору, равен его сопряженному. Следовательно, это унитарный оператор, сохраняющий норму функций \( \psi \), как и должно быть. Поскольку унитарные преобразования сохраняют след матриц, энтропия \( S \) для ансамбля из \( N \) систем в состоянии \( \psi \), равная \( -k N \operatorname{Tr}(P \ln P) \), не будет меняться с течением времени, т.е. процесс обратим.

Рассмотрим теперь некую смесь чистых состояний. Каждая из волновых функций \( \psi^{(k)}(t) \) для чистых состояний в смеси изменяется в соответствии с волновым уравнением
\[
\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial \psi^{(k)}}{\partial t}=H \psi^{(k)},
\]

где \( H \) – оператор Гамильтона для рассматриваемых тождественных систем. Таким образом, эта полностью детерминированная эволюция описывается формулой
\[
\psi^{(k)}(t)=e^{(2 \pi i / h) H t} \psi^{(k)}(0),
\]
т.е. унитарным преобразованием. Эволюция статистической матрицы дается формулой
\[
P(t)=\sum_{k} p_{k} P_{\psi^{(k)}(t)},
\]

или так как
\[
\psi^{(k)}(t)=\sum_{l} c^{(k)}(t) \varphi_{l},
\]

To
\[
(P(t))_{l m}=\sum_{k} p_{k} c \varphi^{(k)}(t) c_{m}^{(k)^{*}}(t) .
\]

След матрицы \( P=\sum_{k} p_{k} \Sigma_{l} c_{l}^{(k)}(t) c_{l}^{(k)^{*}}(t) \) сохраняется в результате унитарного преобразования функции \( \psi(k) \), норма которой \( \left|\psi^{(k)}(t)\right|^{2}=\sum_{l}\left|c_{l}^{(k)}(t)\right|^{2} \) не меняется. Поэтому энтропия \( S \) смеси остается неизменной. Эволюция смешанного состояния обратима.

Необратимые переходы, соответствующие недетерминированным процессам, происходят в момент взаимодействий при измерении, рассматривавшихся выше. Взаимодействие изучаемой системы (системы 1) с измерительным прибором (системой 2) соответствует детерминированной обратимой эволюции состояния полной системы \( 1+2 \), пока макроскопическая констатация индивидуального состояния системы 2 наблюдателем не нарушит эту эволюцию, позволив приписать системе 1 новое состояние в результате процесса, который не является ни обратимым, ни [даже] причинным [согласно принятой теперь интерпретации] \( { }^{1} \). Энтропия системы 1 в ее начальном состоянии равна
\[
S=-k \operatorname{Tr}(P \ln P)=-k \sum_{i} p_{i} \ln p_{i} \text {. }
\]

Если начальным состоянием системы 1 является чистое состояние, то все \( p_{i} \) будут равны нулю, кроме одного, равного 1 . В связи с этим энтропия \( S \) будет равна нулю и будет оставаться равной нулю, если система остается изолированной и эволюционирует обратимо. Если же взаимодействие с системой 2 в дальнейшем переведет систему 1 в смешанное состояние, то все \( p_{i} \) станут меньшими единицы, величины \( \ln p_{i} \) станут отрицательными и энтропия станет положительной: процесс необратим, измерение приводит к возрастанию энтропии. Цепь обратимой эволюции разрывается; как мы отмечали выше, становится невозможным каким-либо путем по состоянию после измерения установить состояние до измерения.

Если начальное состояние смешанное, то можно показать, что любое измерение, существенно изменяющее это смешанное состояние, приводит к увеличению энтропии. Доказательство оказывается довольно пространным; его можно найти в книге фон Неймана \( { }^{2} \).

Итак, всякое измерение, меняющее состояние системы, приводит к возрастанию энтропии. Такой вывод представляется вполне логичным, поскольку он соответотвует необратимому характеру измерения, создающего новое состояние, зная которое никоим образом невозможно установить прежнее состояние. Поскольку само представление об определенном направлении течения времени, возникающее из опыта, основывается на необратимости физических явлений и на соответствующем возрастании энтропии, то, очевидно, время в
\( { }^{1)} \) Слова «даже» и «согласно принятой теперь интерпретации» добавлены автором позднее. – Ж.Л.
\( { }^{2)} \) (Более позднее добавление к тексту.) Объяснение возрастания энтропии (фон Нейман) утратой сведений о разностях фаз при измерении, которая соответствует уменьшению информации, т.е. нега-энтропии. – Л.Б.

Это примечание было сделано в период активных исследований Шеннона и Бриллюэна, за которыми Луи де Бройль внимательно следил. Мысль, выраженная здесь, развита затем в «Теории измерений в волновой механике» [II, 27, с. 119] – Ж.Л.
волновой механике должно играть особую роль в связи с тем значением, которое играет в ней измерение. Эта роль игнорируется в классической теории и, в частности, в теории относительности. В свете этого может стать более понятным то обстоятельство, что в волновой механике и в теории относительности время рассматривается не одинаково. В теории относительности время заставляют играть роль, симметричную роли пространственных координат, и в явном виде не учитывают того, что время течет в одном направлении, между тем как в волновой механике время рассматривается как параметр, с которым не связана никакая статистика, аналогичная статистике, связанной с пространственными координатами, так что измерение, проводимое в некоторый момент времени, играет важнейшую роль в силу необратимости времени. Мы не будем более задерживаться на этих вопросах, которые, будучи необычайно интересными, в то же время оказываются весьма тонкими [и могут выступать в разных аспектах в зависимости от эволюции представлений о причинности в волновой механике \( { }^{1)} \) ].

Определение энтропии, в какой-то мере микроскопическое, к которому мы пришли, существенно отличается от определения, даваемого в классической термодинамике: в самом деле, возрастание энтропии оказывается связанным с процессом измерения, тогда как в классической теории энтропии измерение не играет никакой роли. Поэтому необходимо выяснить, каким образом эти два взгляда на энтропию могут быть согласованы между собой. Именно это было сделано фон Нейманом в его книге [40, с. 273], где были введены операторы, соответствующие макроскопическим наблюдаемым и коммутирующие между собой. Эта теория, которая была развита Ватанабе в его докторской диссертации (1935 г.), носит довольно деликатный характер, содержит не вполне ясные моменты и требует дополнительных исследований. Здесь я не буду далее касаться этих вопросов.