Широко известный мысленный эксперимент, носящий название микроскопа Гейзенберга, состоит в том, что в оптический микроскоп наблюдают электрон, положенный на предметный столик. Конечно, такой эксперимент невозможен, но его можно представить так, что он будет более похож на опыты, осуществимые на практике.

Возьмем оптический или корпускулярный (электронный) микроскоп и будем рассматривать в него объект столь малой массы \( M \), что его можно считать точечным, положенный на предметный столик микроскопа.

Объект «освещается» пучком частиц одинаковой энергии, падающих параллельно оси микроскопа. Если \( p \) – их импульс, то соответствующая длина волны равна \( \lambda=h / p \). В оптическом микроскопе падающими частицами служат фотоны, а в корпускулярном – электроны (или, скажем, протоны).

Если микроскоп идеальный, т.е. свободен от аберраций и дифракционных эффектов, то точечному объекту \( M \) будет соответствовать точечное изображение \( \boldsymbol{P} \) в плоскости наблюдения \( \pi \). Аберрации можно сделать очень малыми (в оптическом микроскопе путем соответствующего выбора линз, а в корпускулярном путем уменьшения угловой апертуры \( 2 \varepsilon \) ). Но никогда нельзя исключить дифракцию волны \( \psi \), соответствующей частицам, на отверстии прибора, имеющем всегда конечные размеры. Теория разрешающей способности микроскопа показывает, что по положению изображения точки положение точечного источника на оси \( x \) можно определить лишь с точностью до \( \delta x= \) \( =(\lambda / 2) \sin \varepsilon \). Если бы дифракции (и аберраций) не было, то приход частицы в точку \( P \) (а это в принципе наблюдаемый эффект) позволил бы определить точное положение точки \( M \). Однако принципиально неустранимая дифракция приводит к тому, что по факту попадания частицы в точку \( P \) можно установить положение точки \( M \) на оси \( x \) лишь с неопределенностью \( \delta x=(h / 2) \sin \varepsilon \). Как видим, эта неопределенность существует вне зависимости от интенсивности падающего пучка, поскольку она оказывается той же и в случае одной частицы, рассеиваемой на точечном объекте.

Рассеяние падающих частиц на объекте является результатом кратковременного взаимодействия при столкновении частицы с объектом. В процессе такого взаимодействия обмен импульсами между движущейся частицей и первоначально неподвижным объектом должен быть малым, так как в противном случае волна, сопоставляемая с рассеиваемой частицей, характеризовалась бы длиной волны, отличной от длины волны падающей частицы, что привело бы к отсутствию правильного изображения. Для решения такой задачи следовало бы даже рассмотреть систему, состоящую из объекта и частицы, и перейти к конфигурационному пространству такой системы. В общем можно принять, что импульс \( |p| \) рассеиваемой частицы равен \( |p|=k / \lambda \).

После столкновения рассеянная частица имеет импульс \( \mathbf{p}^{\prime} \), образующий угол \( \alpha \) с первоначальным направлением движения (оптической осью микроскопа). Чтобы рассеиваемая частица участвовала в процессе измерения, она должна по меньшей мере пройти через микроскоп, а для этого должно выполняться условие \( |\alpha|<\varepsilon \). Пусть, наконец, \( P_{x}-x \)-составляющая импульса объекта после столкновения. Тогда можно написать закон сохранения этой составляющей импульса для системы, состоящей из объекта и падающей частицы, что дает
\( P_{x}^{\prime}=p^{\prime} \sin \alpha \approx p \sin \alpha=(h / \lambda) \sin \alpha \).
Поэтому \( P_{x} \) имеет значение, лежащее между
\[
-\frac{h}{\lambda} \sin \varepsilon \text { и }+\frac{h}{\lambda} \sin \varepsilon \text {. }
\]

Таким образом, неопределенность в величине \( P_{x} \) равна ( \( \left.2 h / \lambda\right) \sin \varepsilon \). Поэтому, обнаружив попадание частицы в точку \( P \), наблюдатель будет знать ее координату \( x \) объекта и его составляющую импульса \( P_{x} \) лищь с неопределенностями
\( \delta x=\frac{\lambda}{2 \sin \varepsilon}, \delta P_{x}=2(h / \lambda) \sin \varepsilon \),
откуда \( \delta x \cdot \delta P_{x} \geq h \).
Знак равенства относится здесь к идеальному случаю, когда нет аберраций и т.д.

Итак, мы снова получили соотношение неопределенностей для сопряженных величин \( x \) и \( P_{x} \). Мы видим, что по крайней мере в рассмотренном случае эти величины не могут быть определены с абсолютной точностью. Из проведенных рассуждений явствует, что данное обстоятельство обусловлено конечным значением постоянной \( h \). Если мы хотим повысить точность определения величины \( x \), то нужно уменьшить длину волны \( \lambda \), взяв более быстрые падающие частицы. Но тогда (и как раз здесь проявляется конечная величина кванта действия) возрастет импульс \( |\mathbf{p}| \) падающей частицы, так как \( |\mathrm{p}|= \) \( =h / \lambda \), а \( h- \) конечная величина. Но тогда возрастет и \( \delta P_{x} \), в связи с чем по- отношениями Гейзенберга кроется невозможность нарушения связи между \( \delta x \) и \( \delta P_{x} \), обусловленной наличием кванта действия, а это заставляет думать, что такие соотношения должны всегда выполняться вне зависимости от взятого измерительного прибора.