В качестве иллюстрации, поясняющей смысл четвертого соотношения неопределенностей, рассмотрим пример, на который указал в несколько иной форме Леннюйе [16] в своей статье, посвященной оптическому резонансу.

Рассмотрим дифракционную решетку с полным числом штрихов, равным \( N(N \) очень велико). Период решетки равен \( a \). Пусть по нормали к решетке падает свет с длиной волны \( \lambda(\lambda=c /
u) \).

Свет, рассеиваемый двумя соседними штрихами решетки в направлении, образующем угол \( \theta \) с нормалью, имеет разность фаз ( \( 2 \pi / \lambda) a \sin \theta \). Поэтому амплитуда света, рассеиваемого в направлении \( \theta \), на бесконечности пропорциональна \( \sum_{n=0}^{N-1} e^{i n u} \), где \( u=(2 \pi / \lambda) a \sin \theta \), т.е. пропорциональна отношению \( \left(e^{i N u}-1\right) /\left(e^{i u}-1\right) \). Следовательно, соответствующая интенсивность (квадрат модуля амплитуды) будет пропорциональна величине
\[
\left|\frac{e^{i N u}-1}{e^{i u}-1}\right|^{2}=\frac{1-\cos N u}{1-\cos u}=\frac{\sin ^{2}(N u / 2)}{\sin ^{2}(u / 2)} .
\]

Этот классический результат показывает, что возникают максимумы интенсивности в направлениях, для которых \( u / 2=m \pi \) ( \( m \) целое), т.е. \( \sin \theta_{m}= \) \( =m(\lambda / a)=(m / a)(c /
u) \). Поэтому можно определить частоту \(
u \) (а следовательно, и энергию фотонов \( E=h
u \) ), наблюдая угол \( \theta_{m} \), который соответствует \( m \)-му максимуму. Но при этом останется некоторая неопределенность значения \(
u \) (или \( E \) ), поскольку угол \( \theta_{m} \) никогда нельзя определить точно. Исследуем этот вопрос.
Выражение
\( I=\frac{\sin ^{2}(N u / 2)}{\sin ^{2}(u / 2)} \)
достигает максимума, равного \( N^{2} \), при \( u / 2=m \pi \). При значениях \( u / 2 \), равных \( m \pi+\eta \), величина \( I \) будет равна
\( I=\frac{\sin ^{2} N(m \pi+\eta)}{\sin ^{2} \eta} \).
При \( \eta=\pi / N \) (число \( N \) предполагается большим) имеем
\[
I=\frac{\sin ^{2}(N m \pi+\pi)}{\sin ^{2}(\pi / N)}=0 .
\]

Таким образом, \( I \) изменяется от максимального значения \( N^{2} \) до 0 . Поэтому ошибка, возможная при измерении \( \theta_{m} \), всегда такова, что \( \delta(u / 2) \) может достигать некой доли \( \pi / N \). Поскольку \( \delta(u / 2)=\pi(a \sin \theta / c) \delta
u \), то можно видеть, что неопределенность \( \delta
u \) величины \(
u \), измеряемой таким путем, может достигать некой доли числа \( c / N a \sin \theta \). Поэтому \( \delta
u \sim c / N a \sin \theta \).

Пусть теперь \( \delta t \) – ограниченная длительность эксперимента. Чтобы все штрихи дифракционной решетки оказывали свое влияние и, следовательно, чтобы все изложенное выше было справедливо, нужно, чтобы свет, рассеиваемый \( N \)-м штрихом решетки в направлении \( \theta \), мог опередить фронт волны \( P \), а для этого должно выполняться условие
\( \delta t \geq N a \sin \theta / c \)
или по порядку величины
\( \delta
u \cdot \delta t \geq \frac{c}{N a \sin \theta} \frac{N a \sin \theta}{c}=1 \)
и по порядку величины
\( \delta E \cdot \delta t \geq h \).
Здесь хорошо видно, что при измерении энергии фотона \( E=h
u \) важна продолжительность опыта \( \delta t \). Поэтому в четвертом соотношении неопределенностей величина \( \delta t \) имеет физический смысл продолжительности эксперимента, оцениваемой наблюдателем, который проводит эксперимент.
Пример Дарвина
Дарвин [17] рассматривает электрон, который покоится, но может перемещаться по прямой. В одной из точек прямой находится электрометр, который путем измерения электрического поля дает возможность определить положение \( x \) электрона. Для упрошения анализа Дарвин принимает, что электрометром служит один атом, а принцип действия электрометра основан на эффекте Штарка. Атом может испускать спектральную линию, переходя с энергетического уровня \( E_{1}+M_{1} \) ६ на уровень \( E_{2}+M_{2} \digamma_{1} \) Здесь \( E_{1} \) и \( E_{2} \) – энергии уровней в отсутствие электрического поля \( \ell \), а \( M_{1} \) и \( M_{2} \) – электрические моменты атома до и после перехода.

Чтобы измерить поле \( \mathscr{E} \) с точностью \( \delta \mathscr{f} \), необходимо иметь возможность различить две частоты, разность которых равна \( \left|M_{1}-M_{2}\right|(\delta / / h) \). Для этого нужно затратить время \( \delta t \), для которого \( \delta v \cdot \delta t \sim 1 \), т.е.
\( \delta t \geq \frac{h}{\left|M_{1}-M_{2}\right| \delta \mathscr{E}} \).
В результате мы приходим к четвертому соотношению неопределенностей.
Продолжим рассуждения. В некоторый неизвестный нам момент времени атом-электрометр переходит из состояния 1 в состояние 2 . Этот переход оказывает влияние на электрон, на который сначала действовал электрический момент \( M_{1} \), а затем – с некоего неизвестного момента времени электрический момент \( M_{2} \). Чтобы скомпенсировать это изменение воздействия, мы можем создать в месте расположения электрона постоянное поле, эквивалентное наличию в месте нахождения электрометра электрического момента, равного \( \left(M_{1}+M_{2}\right) / 2 \). Но даже при такой компенсации вначале будет иметься остаточный момент, равный \( 1 / 2\left(M_{1}-M_{2}\right) \), а в конце – остаточный момент, равный \( 1 / 2\left(M_{2}-M_{1}\right) \). В связи с этим истинный электрический момент атома-электрометра в какой-либо момент времени будет задаваться с неопределенностью, по порядку величины равной \( \left|M_{2}-M_{1}\right| \). Дарвин добавляет: «То обстоятельство, что невозможны наблюдения без неопределенностей, иллюстрируется наличием спектральных линий, для которых \( M_{1}=M_{2} \). Для таких линий реакция на электрон будет в точности скомпенсирована, но такая линия не обнаруживает эффекта Штарка и непригодна для электрометрических измерений».

Чтобы измерить положение \( x \) электрона с неопределенностью \( \delta x \), нужно измерить электрическое поле с неопределенностью \( \delta\left(e / r^{2}\right)=e \delta x / r^{3} \). Как мы видели, для этого нужно проводить наблюдения в течение времени \( \delta t \), такого, что
\[
\delta t \geq \frac{h}{\left|M_{1}-M_{2}\right| \delta \epsilon^{\prime}}=\frac{h r^{3}}{e \delta x\left|M_{1}-M_{2}\right|} .
\]

В течение этого времени на электрон будет действовать поле, эквивалентное наличию в электрометре,электрического момента \( M \), по порядку величины равного по меньшей мере \( \left|M_{1}-M_{2}\right| \). Значит, на электрон будет действовать сила \( e\left(M / r^{3}\right) \geq\left(e / r^{3}\right)\left|M_{1}-M_{2}\right| \). За время \( \delta t \) эта сила изменит импульс электрона \( p_{x} \) на величину
\[
\delta p_{x}=\frac{e M}{r^{3}} \delta t \geq \frac{e}{r^{3}}\left|M_{1}-M_{2}\right| \frac{h r^{3}}{e \delta x\left|M_{1}-M_{2}\right|}=\frac{h}{\delta x} ;
\]

отсюда по порядку величины имеем
\( \delta x \cdot \delta p_{x} \geq h \).
Таким образом, мы пришли к первому соотношению неопределенностей, исходя из четвертого соотношения.