Уравнение на собственные значения гамильтониана можно написать в виде
\( H_{\varphi}=E_{\varphi} \)
(здесь вместо \( \alpha \) взята величина \( E \) ). Для свободной частицы \( v=0 \) и \( H=\left(-h^{2} / 8 \pi^{2} m\right) \Delta \), так что
\( -\frac{h^{2}}{8 \pi^{2} m} \Delta \varphi=E \varphi \).

Пусть p – вектор импульса частицы. Тогда собственные функции оператора энергии имеют вид

\[
\varphi(x, y, z, \mathbf{p})=a \exp \left[-\frac{2 \pi i}{h}\left(p_{x} x+p_{y} y+p_{z} z\right)\right]=a \exp \left[-\frac{2 \pi i}{h}(\mathbf{p} \cdot \mathbf{r})\right],
\]

где
\[
\frac{1}{2 m}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}\right)=\frac{p^{2}}{2 m}=E .
\]

Мы видим, что 1) любое положительное значение величины \( E \) является собственным значением; 2) всякому положительному значению \( E \) соответствует бесконечное множество собственных функций вида (11), где \( p_{x}, p_{y}, p_{z} \) принимают всевозможные значения, допускаемые уравнением (12). Таким образом, мы получаем для энергии непрерывный спектр, простирающийся от 0 до \( +\infty \), в котором все значения \( E \), отличные от нуля, бесконечно кратно вырождены.

Всякой собственной функции соответствует плоская монохроматическая волна, являющаяся решением волнового уравнения и имеющая вид
\[
\psi(x, y, z, \mathbf{p}, t)=\varphi(x, y, z, \mathbf{p}) \exp \left(\frac{2 \pi i}{h} E t\right)=a \exp \left(\frac{2 \pi i}{h}[E t-\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}]\right) .
\]

В результате мы снова получаем известные результаты. Зачастую вводят обозначение
\( \mathbf{k}=\frac{2 \pi}{h} \mathbf{p}, \quad k=\frac{2 \pi}{h c} E \),
и тогда можно написать
\( \psi(x, y, z, t, \mathbf{k})=a \exp [i(k c t-\mathbf{k} \cdot \mathbf{r})] \),
где
\( k c=\frac{1}{2 m}|\mathbf{k}|^{2} \frac{h}{2 \pi} \).
Вектор \( \mathbf{k} \) называется волновым вектором плоской волны, поскольку он полностью задает плоскую волну.

Отметим, что в качестве собственных функций оператора \( H \) с одинаковым успехом можно брать как \( \psi_{k} \), так и \( \varphi_{\mathbf{k}} \), ибо они различаются только множителем \( \exp (i k c t) \), а собственные функции определяются лишь с точностью до множителя, по модулю равного единице.

Соотношение ортонормированности плоских волн можно записать, пользуясь собственными дифференциалами. В ходе соответствующих выкладок, которые мы здесь не воспроизводим, оказывается целесообразным ввести «несобственную», или «сингулярную», функцию Дирака \( \delta(x) \), обладающую двумя следующими свойствами: 1) она есть четная функция аргумента \( x \);2) всегда выполняется равенство

\[
\int_{x_{1}}^{x_{2}} f(x) \delta(x) d x=\left\{\begin{array}{l}
f(0), \text { если знаки } x_{1} \text { и } x_{2} \text { разные, } \\
0, \text { если знаки } x_{1} \text { и } x_{2} \text { одинаковы. }
\end{array}\right.
\]

Функцию \( \delta(x) \) можно представить в виде сингулярной функции Дирихле, положив
\[
\delta(x)=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{\sin 2 \pi N x}{\pi x .} .
\]

С учетом нормировки в конечном итоге получим, что нормированные собственные функции частицы в случае непрерывного спектра должны иметь вид
\[
\begin{array}{l}
\varphi(x, y, z, \mathbf{k})=\frac{1}{(2 \pi)^{3 / 2}} \exp [-i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r})], \\
\psi(x, y, z, t, \mathbf{k})=\frac{1}{(2 \pi)^{3 / 2}} \exp [i(k c t-\mathbf{k} \cdot \mathbf{r})] .
\end{array}
\]

Полнота совокупности этих собственных функций выражается в том, что при очень общих условиях функция \( f(x, y, z) \) может быть разложена в интеграл Фурье, имеющий вид
\[
f(x, y, z)=\frac{1}{(2 \pi)^{3 / 2}} \int_{-\infty}^{\infty} c(\mathbf{k}) \exp (-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}) d \mathbf{k},
\]

где через \( d \mathbf{k} \) обозначено произведение \( d k_{x} d k_{y} d k_{z} \). Коэффициенты \( c(\mathbf{k}) \) даются выражением
\[
c(\mathbf{k})=\frac{1}{(2 \pi)^{3 / 2}} \int_{D} f(x, y, z) \exp (i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}) d \mathbf{r},
\]

где через \( d \mathbf{r} \) обозначено произведение \( d x d y d z \). Это – не что иное, как классическое выражение для коэффициентов интеграла Фурье.
Аналогично можно написать
\[
f(x, y, z)=\frac{1}{(2 \pi)^{3 / 2}} \int_{-\infty}^{\infty} c(\mathbf{k}, t) \psi(x, y, z, t, \mathbf{k}) d \mathbf{k},
\]

где
\[
c(\mathbf{k}, t)=c(\mathbf{k}) e^{-i k c t} .
\]