В качестве еще одного примера рассмотрим опыт по определению положения частицы, проходящей через прямоугольное отверстие со сторонами \( 2 a \) и \( 2 b \) в плоском экране. Чтобы определить координаты частицы, приходится уменьшать размеры отверстия, но чем меньше размеры отверстия, тем больше влияние дифракции, неизбежной при прохождении частицы через отверстие, согласно представлениям волновой механики.

Чтобы ввести четвертое соотношение неопределенностей, о котором мы еще не говорили и которое мы подробно рассмотрим позднее, предположим, что мы определяем момент прохождения частицы через отверстие, открывая на мгновение заслонку, которой оно закрыто. Чем меньше времени будет открыто отверстие, тем точнее будет определяться момент прохождения, но тем больше будет протяженность волнового пакета, сопоставляемого частице. В результате будет уменьшаться монохроматичность волнового пакета, т.е. увеличиваться неопределенность энергии частицы. Это и выражается четвертым соотношением неопределенностей:
\( \delta W \cdot \delta \tau \geq h \).
Чтобы рассмотреть задачу математически, возьмем центр прямоугольного отверстия за начало системы координат, оси \( O x \) и \( O y \) проведем параллельно сторонам \( 2 a \) и \( 2 b \) прямоугольного отверстия, а ось \( z \) направим перпендикулярно плоскости отверстия и примем, что ее положительное направление совпадает с направлением распространения света. Пусть \( M \) – некая точка отверстия с координатами \( X, Y \) и 0 , а \( d X d Y \) – малый прямоугольник, охружающий эту точку. Как известно, элементарную волну, излучаемую малым прямоугольником \( d X d Y \) в направлении с направляющими косинусами \( \alpha, \beta, \gamma \), составляющим очень малый угол с осью \( O z \), можно найти на основании принципа Гюйгенса. Если \( x, y, z \) – координаты весьма удаленной точки, лежащей в указанном выше направлении \( \alpha, \beta, \gamma \), то рассматриваемая элементарная волна дается выражением
\[
\delta \psi_{\alpha \beta}=K d X d Y \exp \left[2 \pi i\left(
u t-\frac{\alpha(x-X)+\beta(y-Y)+z}{\lambda}\right)\right],
\]

где \( K \) – коэффициент, который хотя и меняется с изменением направляющих косинусов \( \alpha, \beta, \gamma \), но гораздо медленнее, чем по экспоненциальному закону. Здесь мы положили \( \gamma \approx 1 \). Следовательно, полная волна, посылаемая в направлении \( \alpha, \beta, \gamma \), дается выражением
\( \psi_{\alpha \beta}=C \exp \left(2 \pi i\left[
u t-\frac{\alpha x+\beta y+z}{\lambda}\right]\right) \),
где
\( C=A+i B=\iint K \exp \left(2 \pi i \frac{\alpha X+\beta Y}{\lambda} d X d Y\right) \),
причем интеграл берется по прямоугольному отверстию. Если учесть симметрию отверстия, то мы получим, что \( B=0 \), а выражение для \( C \) сводится к виду
\[
C=A=\iint K \cos 2 \pi \frac{\alpha X+\beta Y}{\lambda} d X d Y .
\]

Косинус можно представить в виде суммы произведения косинусов и произведения синусов, а интеграл произведения синусов равен нулю. Поэтому
\[
A=4 K \int_{0}^{a} d X \cos \frac{2 \pi \alpha X}{\lambda} \int_{0}^{b} d Y \cos 2 \pi \frac{\beta Y}{\lambda}=\frac{K \lambda^{2}}{\pi^{2} \alpha \beta} \sin \frac{2 \pi \alpha a}{\lambda} \sin \frac{2 \pi \beta b}{\lambda},
\]

откуда
\[
\psi_{\alpha \beta}=\frac{K \lambda^{2}}{\pi^{2} \alpha \beta} \sin \frac{2 \pi \alpha a}{\lambda} \sin \frac{2 \pi \beta b}{\lambda} \exp \left[2 \pi i\left(
u t-\frac{\alpha x+\beta y+z}{\lambda}\right)\right] .
\]

Таким образом, волновая функция \( \psi_{\alpha \beta} \) равна нулю при \( 2 \pi \alpha a / \lambda=k \pi \) и при \( 2 \pi \beta b / \lambda=k \pi \), где \( k \) – целое число, т.е. она равна нулю в направлениях, для которых либо \( \alpha=k \lambda / 2 a \), либо \( \beta=k \lambda / 2 b \).

В противоположность этому функция \( \psi_{\text {х }} \) максимальна в направлениях, для которых
\[
\alpha=\frac{2 k+1}{2} \frac{\lambda}{2 a}, \beta=\frac{2 k+1}{2} \frac{\lambda}{2 b} .
\]

Таким образом, мы получили так называемый случай дифракции, локализованной на бесконечности. Для наблюдения картины дифракции (по крайней мере в оптической области) возьмем объектив, оптическая ось которого совпадает с осью \( O z \). В отсутствие дифракции наблюдалось бы лишь изображение прямоугольного отверстия, расположенного в фокальной плоскости объектива на оптической оси. Но из-за существования плоских монохроматических волн, падающих под углом к оси, мы получим также ряд других изображений, соответствующих максимумам волновой функции \( \psi_{\alpha \beta} \). При возрастании \( k \) интенсивность этих изображений убывает (поскольку \( \alpha \) и \( \beta \) входят в знаменатель выражения для \( \psi_{\alpha \beta} \) ).
Итак, плоская волна, падающая на экран, имеет вид
\[
\psi=a \exp \left[2 \pi i\left(v t-\frac{z}{\lambda}\right)\right] \text {, }
\]

но при прохождении через прямоугольное отверстие она преобразуется в совокупность плоских волн, распространяющихся под малыми углами к оси:

\[
\psi=\sum_{\alpha, \beta} a(\alpha, \beta) \exp \left[2 \pi i\left(
u t-\frac{\alpha x+\beta y+z}{\lambda}\right)\right],
\]

причем амплитуды парциальных волн \( a(\alpha, \beta) \) при изменении \( \alpha \) и \( \beta \) проходят поочередно через максимумы и минимумы. Поскольку интенсивность максимумов с увеличением их порядка быстро убывает, протяженность волнового пакета по переменной \( \alpha \) равна
\[
\delta \alpha=k_{1} \frac{\lambda}{2 a} \geq \frac{\lambda}{2 a},
\]

где \( k_{1} \) – малое положительное число, соответствующее высшему порядку дифракции, для которого интенсивность имеет заметную величину. Аналогично протяженность группы волн по переменной \( \beta \) равна
\[
\delta \beta=k_{2} \frac{\lambda}{2 b} \geq \frac{\lambda}{2 b} \text {. }
\]

Если через \( \mu \) обозначить «волновой вектор», соответствующий волне, дифрагируемой в направлении \( \alpha, \beta, \gamma \), т.е. вектор длиной \( 1 / \lambda \), имеющий указанное направление, то
\[
\mu_{x}=\alpha / \lambda, \quad \mu_{y}=\beta / \lambda, \quad \mu_{z}=\gamma / \lambda \approx 1 / \lambda .
\]

Максимальные изменения величин \( \mu_{x} \) и \( \mu_{y} \) таковы:
\[
\delta \mu_{x}=\delta \alpha / \lambda, \quad \delta \mu_{y}=\delta \beta / \lambda,
\]

откуда следует, что
\[
\delta \mu_{x} \geq 1 / 2 a, \quad \delta \mu_{y} \geq 1 / 2 b \text {. }
\]

Поскольку положение частицы в момент прохождения через отверстие известно с неопределенностями \( \delta x=2 a \) и \( \delta y=2 b \), мы имеем
\[
\delta \mu_{x} \cdot \delta x \geq 1, \delta \mu_{y} \cdot \delta y \geq 1 .
\]

Но фундаментальное соотношение \( |p|=h / \lambda \) можно переписать в виде
\( \mathrm{p}=\boldsymbol{h} \boldsymbol{\mu} \),
откуда следуют соотношения
\( \delta p_{x} \cdot \delta x \geq h, \delta p_{y} \cdot \delta y \geq h \),
т.е. мы снова приходим к соотношениям неопределенностей Гейзенберга.

Если же мы хотим определить координату \( z \) частицы и момент \( t \) ее прохождения через экран, то мы должны применить заслонку, о которой говорилось выше. Пусть \( \tau \) – время, в течение которого отверстие открыто. Неопределенность величины \( t \), очевидно, будет равна \( \tau \), а неопределенность величины \( z \) равна \( U \tau \), где \( U \) – групповая скорость волн \( \psi \), которая, как мы знаем, равна скорости движения частицы. Поэтому
\[
\delta t=\tau, \quad \delta z=U \tau .
\]

Но если отверстие открывается только на время \( \tau \), то мы можем пропустить через отверстие лишь урезанный пакет волн, который состоит из монохроматических волн, занимающих спектральный интервал, по порядку величины по меньшей мере равный \( 1 / \tau \), причем \( \delta
u \geq 1 / \tau \). Поэтому
\[
\delta\left(\frac{1}{\lambda}\right)=\frac{\partial(1 / \lambda)}{\partial
u} \delta
u \geq \frac{1}{U_{\tau}},
\]

так как
\[
\frac{1}{U}=\frac{\partial(1 / \lambda)}{\partial
u} \text {. }
\]

Таким образом, имеем
\( \delta
u \geq 1 / \tau, \quad \delta(1 / \lambda) \geq 1 / U \tau \).
Но из общих принципов волновой механики следует, что неопределенность энергии частицы в конечном состоянии будет равна \( h / \delta v \), а неопределенность составляющей импульса \( p_{z} \) равна \( h \delta \mu_{z} \approx h \delta(1 / \lambda) \). Следовательно, \( \delta W \cdot \delta t \geq h, \delta p_{z} \cdot \delta z \geq h \).

Это и есть два других соотношения неопределенностей Гейзенберга.