Исходя из фундаментального постулата о возможности представления в любой момент времени состояния наших знаний о частице некой волновой бункцией \( \psi \), мы, опираясь на свойства разложений в ряд и интеграл Фурье, ноказали, что неопределенности двух канонически сопряженных величин \( p \) и \( q \) по порядку величины удовлетворяют соотношению
\( \Delta q \cdot \Delta p \geq h \).
Данное соотношение представляет собой качественную форму соотношения Гейзенберга. Мы видели, что никакой опыт не может дать для канонически сопряженных величин более точные значения, чем те, которые допускаются соотношением (1).
Мы показали также, что, вообще говоря, невозможно одновременно измерить любые две физические величины, операторы которых не коммутируют, даже если эти величины и не являются канонически сопряженными (например, составляющие углового момента). Правда, в этом, последнем случае одновременное измерение может оказаться возможным в виде исключения (если соответствующие операторы имеют собственное значение, равное нулю).
Мы дадим более точный вывод этих результатов, доказав теорему о дисперсии некоммутирующих величин, которая, по-видимому, принадлежит Паули.
Первое доказательство
Прежде всего введем одно новое понятие. Пусть \( F \) – линейный оператор, определенный на некоторых переменных в области \( D \). Назовем сопряженным оператором по отношению к \( F \) такой оператор \( F^{+} \), который тоже определен в области \( D \) и удовлетворяет равенству
\[
\int_{D} f^{*} F g d \tau=\int_{, D}\left(F^{+} f\right)^{*} g d \tau
\]
для всех конечных, гладких и непрерывных в \( D \) функций \( f \) и \( g \), которые обращаются в нуль на границе области \( D \), так что поверхностные интегралы, возникающие при взятии по частям интеграла по области \( D \), равны нулю. Если сравнить определение оператора \( F^{+} \)с определением эрмитова оператора
\[
\int_{D} f^{*} A \dot{g} d \tau=\int_{D} g A^{*} f^{*} d r,
\]
то мы увидим, что для эрмитова оператора \( F \) выполняется равенство \( F^{+}= \) \( =F \), т.е. эрмитов оператор – самосопряженный
Для того чтобы линейный оператор был эрмитовым, среднее (в смысле волновой механики) значение произведения \( F F^{*} \) должно быть действительным и положительным (или равным н̆улю):
\[
\overline{F F^{+}}=\int_{D} \psi^{*} F F^{+} \psi d \tau=\int_{D}\left(F^{+} \psi\right)^{*} F^{+} \psi d \tau=\int_{D}\left|F^{+} \psi\right|^{2} d \tau \geq 0 .
\]
На этом основании мы сможем доказать следующую теорему фундаментального характера.
Теорема. Если две наблюдаемые физические величины соответствуют двум линейным эрмитовым операторам \( A \) и \( B \), то
\[
\left.\left.\sigma_{A} \sigma_{B} \geqslant \frac{1}{2} \right\rvert\, \overline{[A, \bar{B}}\right] \mid
\]
где \( [A, B] \) – коммутатор операторов \( A \) и \( B \), а \( \sigma_{A} \) и \( \sigma_{B} \) – дисперсии \( { }^{1)} \), определяемые формулами
\[
\sigma_{A}=\sqrt{\left(\overline{A-\bar{A})^{2}}\right.}, \sigma_{B}=\sqrt{\left(\overline{B-\bar{B})^{2}}\right.} .
\]
Для доказательства рассмотрим линейный неэрмитов оператор \( A+i \lambda B \), где \( \lambda \) – действительная постоянная. Сопряженным к этому оператору будет \( A \) – \( i \lambda B \), и по формуле (2) получим, что среднее значение
\[
\overline{(A+i \lambda B)(A-i \lambda B)}=\overline{A^{2}+\lambda^{2} B^{2}-i \lambda[A, B]}
\]
есть действительное положительное число (или равно нулю). Поэтому функция
\[
f(\lambda)=\overline{A^{2}}+\lambda^{2} \overline{B^{2}}-i \lambda \overline{[A, B]}
\]
действительна и неотрицательна. Следовательно, \( \overline{[A, B]} \) – чисто мнимая величина. Кроме того, \( f(\lambda) \) имеет минимум при
\[
\lambda_{0}=\frac{i}{2} \frac{\overline{A, B]}}{B^{2}},
\]
1) См. примечание на с. 83. – Прим. ред.
в котором ее значение таково:
\[
f\left(\lambda_{0}\right)=\overline{A^{2}}+\frac{1}{4} \frac{\overline{([A, B])^{2}}}{\bar{B}^{2}} .
\]
Поскольку это значение должно быть положительным или нулевым, мы имеем
\[
\overline{A^{2}} \cdot \overline{B^{2}} \geqslant-\frac{1}{4} \overline{([A, B])^{2}} .
\]
Положим
\[
\delta A=A-\vec{A}, \delta B=B-\bar{B},
\]
где \( \bar{A} \) и \( \bar{B} \) – наблюдаемые величины, а \( A \) и \( B \) – операторы, так что \( \delta A \) и \( \delta B \) – операторы. Легко получим
\[
[\delta A, \delta B]=[A-\bar{A}, B-\bar{B}]=[A, B] \text {. }
\]
Применяя неравенство (4) к операторам \( \delta A \) и \( \delta B \) и учитывая последнее соотношение, получаем
\[
\overline{(\delta A)^{2}} \cdot \overline{(\delta B)^{2}} \geqslant-\frac{1}{4} \overline{([A, B])^{2}} .
\]
Поскольку \( [A, B] \) есть чисто мнимая величина,
\[
\sigma_{A} \cdot \sigma_{B} \equiv \sqrt{(\sigma A)^{2}} \cdot \sqrt{(\delta B)^{2}} \geq \frac{1}{2}|[A, B]|,
\]
что и утверждалось в формулировке теоремы.
Применим эту теорему к случаю двух канонически сопряженных величин, для которых \( [A, B]=-h / 2 \pi i \), так что
\[
\langle A, B]=\int_{D} \psi^{*}\left(-\frac{h}{2 \pi i}\right) \psi d \tau=-\frac{h}{2 \pi i}
\]
есть чисто мнимая величина, как это и должно быть. По доказанной теореме имеем
\[
\sigma_{A} \cdot \sigma_{B} \geq \frac{h}{4 \pi} .
\]
Это и есть точная форма соотношения неопределенностей Гейзенберга. В частности, из нее следует, что
\[
\sigma_{x} \cdot \sigma_{p_{x}} \geq \frac{h}{4 \pi} .
\]
Применяя доказанную теорему к двум некоммутирующим наблюдаемым, коммутатор которых есть оператор \( C([A, B]=C) \), получим \( [\bar{A}, \bar{B}]=\bar{C} \) и,
—————————————————————-
001_book2_original_page-0126.jpg.txt
Точная борма соотношений неопределенностей
125
следовательно,
\( \sigma_{A} \cdot \sigma_{B} \geq|\bar{C}| / 2 \).
В частности, при
\[
A=M_{x}, B=M_{y},[A, B]=\frac{h}{2 \pi i} M_{z}
\]
имеем
\[
\sigma_{M_{x}} \cdot \sigma_{M_{y}} \geqslant \frac{h}{4 \pi}\left|\bar{M}_{z}\right| .
\]
Вообще говоря, произведение дисперсий больше нуля. Но в отдельных случаях, когда \( \bar{M}_{z}=0 \), оно может равняться нулю.
Второе доказательство
Дадим втӧрое доказательство формулы \( \sigma_{x} \cdot \sigma_{p_{x}} \geq h / 4 \pi \) для канонически сопряженных величин.
Пусть \( q_{k} \) – координата, а \( p_{k} \) – канонически сопряженный с ней импульс. Имеем
\[
\bar{q}_{k}=\int_{D} \psi^{*} q_{k} \psi d \tau
\]
Возьмем за начало отсчета координаты \( q_{k} \) значение \( \bar{q}_{k} \), чтобы среднее значение координаты \( q_{k} \) было равно нулю. Тогда
\[
\overline{\sigma_{q_{k}}^{2}}=\overline{\left(q-\bar{q}_{k}\right)^{2}}=\overline{q_{k}^{2}}=\int_{D} \psi^{*} q_{k}^{2} \psi d \tau .
\]
В то же время
\[
\begin{aligned}
\bar{p}_{k} & =\int_{D} \psi^{*}\left(-\frac{h}{2 \pi i}\right) \frac{\partial \psi}{\partial q_{k}} d \tau, \\
\sigma_{p_{k}}^{2} & =\overline{\left(p_{k}-\bar{p}_{k}\right)^{2}}=\overline{p_{k}^{2}}-\left(\bar{p}_{k}\right)^{2}= \\
& =\int_{D} \psi^{*}\left(-\frac{h^{2}}{4 \pi^{2}}\right) \frac{\partial^{2} \psi}{\partial q_{k}^{2}} d \tau-\left(\bar{p}_{k}\right)^{2} .
\end{aligned}
\]
Положим
\[
\psi^{\prime}=\psi \exp \left(\frac{2 \pi i}{h} \bar{p}_{k} q_{k}\right) .
\]
Функция \( \psi^{\prime} \), как и функция \( \psi \), конечна, непрерывна и гладка в области \( D \) и
—————————————————————-
001_book2_original_page-0127.jpg.txt
126
Глaвa VII
обращается в нуль на границах этой области. Можно написать
\[
\sigma_{q_{k}}^{2}=\int_{D} \psi^{\prime *} q_{k}^{2} \psi^{\prime} d \tau, \sigma_{p_{k}}^{2}=\int_{D} \psi^{\prime *}\left(-\frac{h^{2}}{4 \pi^{2}}\right) \frac{\partial^{2} \psi^{\prime}}{\partial q_{k}^{2}} d \tau,
\]
где мы учли, что \( \psi^{\prime} \psi^{\prime}=|\psi|^{2} \), т.е. что \( \psi^{\prime} \) имеет ту же норму, что и \( \psi \). В правильности второй формулы (13) нетрудно убедиться, подставив в нее вместо \( \psi^{\prime} \) величину \( \psi \exp \left\{(2 \pi i / h) p_{k} q_{k}\right\} \).
Поскольку \( \psi \) обращается в нуль на границах области \( D \), взяв интеграл по частям, получим
\( \sigma_{p_{k}}^{2}=\frac{h^{2}}{4 \pi^{2}} \int_{D} \frac{\partial \psi^{\prime *}}{\partial q_{k}} \frac{\partial \psi^{\prime}}{\partial q_{k}} d \tau \).
Теперь я утверждаю, что
\[
\frac{1}{4}\left(\int_{D} \psi^{\prime *} \psi^{\prime} d \tau\right)^{2} \leq \int_{D} q_{k}^{2} \psi^{\prime *} \psi^{\prime} d \tau \int_{D} \frac{\partial \psi^{\prime *}}{\partial q_{k}} \frac{\partial \psi^{\prime}}{\partial q_{k}} d \tau .
\]
Чтобы доказать это, рассмотрим две последовательности комплексных величин \( a_{1}, \ldots, a_{n} \) и \( b_{1}, \ldots, b_{n} \). Очевидно, что
\[
\left|\sum_{i} a_{i} b_{i}\right| \leq \sum_{i}\left|a_{i} b_{i}\right| \leq \sum_{i}\left|a_{i}\right|\left|b_{i}\right|
\]
откуда
\[
\left|\sum_{i}\left(a_{i} b_{i}\right)\right|^{2} \leq\left(\sum_{i}\left|a_{i}\right|\left|b_{i}\right|\right)^{2}
\]
и, следовательно,
\[
\sum_{i}\left|a_{i}\right|^{2} \sum_{i}\left|b_{i}\right|^{2}-\left.i \sum_{i} a_{i} b_{i}\right|^{2} \geq \sum_{i}\left|a_{i}\right|^{2} \sum_{i}\left|b_{i}\right|^{2}-\left(\sum_{i}\left|a_{i}\right|\left|b_{i}\right|\right)^{2} .
\]
Второй член в правой части данного соотношения равен
\[
\sum_{i>j}\left(\left|a_{i}\right|\left|b_{j}\right|-\left|b_{i}\right|\left|a_{j}\right|\right)^{2}
\]
т.е. это сумма квадратов. Поэтому
—————————————————————-
001_book2_original_page-0128.jpg.txt
Точная форма соотношений неопределенностей
127
\[
\sum_{i}\left|a_{i}\right|^{2} \sum_{i}\left|b_{i}\right|^{2} \geq\left|\sum_{i} a_{i} b_{i}\right|^{2},
\]
или в развернутом виде
\[
\left|a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\ldots\right|^{2} \leq\left(\left|a_{1}\right|^{2}+\left|a_{2}\right|^{2}+\ldots\right)\left(\left|b_{1}\right|^{2}+\left|b_{2}\right|^{2}+\ldots\right) .
\]
Разобъем теперь область \( D \) на элементы \( \Delta \tau \) и рассмотрим две последовательности комплексных величин
\[
\begin{array}{l}
{\left[q_{k} \psi^{\prime}\right]_{\Delta \tau_{1}} \sqrt{\Delta \tau_{1}} ;\left[q_{k} \psi^{\prime}\right]_{\Delta \tau_{1}} \sqrt{\Delta \tau_{1}} ;\left[q_{k} \psi^{\prime}\right]_{\Delta \tau_{2}} \sqrt{\Delta \tau_{2}} ;\left[q_{k} \psi^{\prime}\right]_{\Delta \tau_{2}} \sqrt{\Delta \tau_{2}} ; \ldots,} \\
{\left[\frac{\partial \psi^{\prime *}}{\partial q_{k}}\right]_{\Delta \tau_{1}} \sqrt{\Delta \tau_{1}} ;\left[\frac{\partial \psi^{\prime}}{\partial q_{k}}\right]_{\Delta \tau_{1}} \sqrt{\Delta \tau_{1}} ;\left[\frac{\partial \psi^{\prime} *}{\partial q_{k}}\right]_{\Delta \tau_{2}} \sqrt{\Delta \tau_{2}} ;\left[\frac{\partial \psi^{\prime}}{\partial q_{k}}\right]_{\Delta \tau_{2}} \sqrt{\Delta \tau_{2}} ; \ldots}
\end{array}
\]
Здесь \( \left[q_{k} \psi^{\prime}\right]_{\Delta t_{1}} \) – среднее значение величины \( q_{k} \psi^{\prime} \) в объеме \( \Delta \tau_{1} \). Применим к этим двум последовательностям предыдущую формулу. Получим
\[
\begin{aligned}
\sum_{i}\left[q_{k} \psi^{\prime} \frac{\partial \psi^{\prime *}}{\partial q_{k}}\right]_{\Delta \tau_{1}} \Delta \tau_{i} & =\left.\sum_{i}\left[q_{k} \psi^{\prime} * \frac{\partial \psi^{\prime}}{\partial q_{k}}\right]_{\Delta \tau_{i}} \Delta \tau_{i}\right|^{2} \leq \\
& \leq 2 \sum_{i}\left[q_{k}^{2} \psi^{\prime} \psi^{\prime *}\right]_{\Delta \tau_{i}} \Delta \tau_{i} 2 \sum_{i}\left[\frac{\partial \psi^{\prime}}{\partial q_{k}} \frac{\partial \psi^{\prime *}}{\partial q_{k}}\right]_{\Delta \tau_{i}} \Delta \tau_{i}
\end{aligned}
\]
Если число элементов \( \Delta t_{i} \) увеличивать до бесконечности, уменьшая каждый из них, то в пределе получим
\[
\left|\int_{D} q_{k} \psi^{\prime} \frac{\partial \psi^{\prime *}}{\partial q_{k}} d \tau+\int_{D} q_{k} \psi^{\prime *} \frac{\partial \psi^{\prime}}{\partial q_{k}} d \tau\right|^{2} \leqslant 4 \int_{D} q_{k}^{2} \psi^{\prime} \psi^{\prime *} d \tau \int_{D} \frac{\partial \psi^{\prime}}{\partial q_{k}} \frac{\partial \psi^{\prime *}}{\partial q_{k}} d \tau
\]
Поскольку функция \( \psi^{\prime} \) обращается в нуль на границах области \( D \), интегри- рование по частям дает
\[
\left\lvert\, \int_{D} q_{k} \frac{\partial}{\partial q_{k}}\left\langle\left.\left(\psi^{\prime} \psi^{\prime}\right) d \tau\right|^{2}=\left|-\int_{D} \psi^{\prime} * \psi^{\prime} d \tau\right|^{2}=\left(\int_{D} \psi^{\prime} \psi^{\prime} d \tau\right)^{2},\right.\right.
\]
что и доказывает справедливость формулы (14).
—————————————————————-
001_book2_original_page-0129.jpg.txt
128
Глава VIII
Следовательно,
\[
\sigma_{q_{k}}^{2} \cdot \sigma_{p_{k}}^{2}=\frac{h^{2}}{4 \pi^{2}} \int_{D} q_{k}^{2} \psi^{\prime *} \psi^{\prime} d \tau \int_{D} \frac{\partial \psi^{\prime *}}{\partial q_{k}} \frac{\partial \psi^{\prime}}{\partial q_{k}} d \tau,
\]
и с учетом формулы (14) получаем
\[
\sigma_{q_{k}}^{2} \cdot \sigma_{p_{k}}^{2} \geqslant \frac{h^{2}}{16 \pi^{2}}\left[\int_{D} \psi^{\prime} \psi^{\prime} d \tau\right]^{2}=\frac{h^{2}}{16 \pi^{2}},
\]
поскольку функция \( \psi^{\prime} \) нормирована в области \( D \). Таким образом,
\[
\sigma_{q_{k}} \cdot \sigma_{p_{k}} \geq \frac{h}{4 \pi},
\]
и мы снова получаем теорему о дисперсиях канонически сопряженных величин.
2. ОПТИМАЛЬНОСТЬ ГАУССОВА ВОЛНОВОГО ПАКЕТА
Второе доказательство теоремы о дисперсиях дает нам возможность показать, что равенство в соотношении \( \sigma_{q_{k}} \cdot \sigma_{p_{k}} \geq h / 4 \pi \) соответствует случаю, когда зависимость функции \( |\psi| \) от \( q_{k} \) имеет вид гауссовой экспоненты \( { }^{1)} \)
\[
\exp \left(-\frac{\left(q_{k}-\overline{q_{k}}\right)^{2}}{2 a^{2}}\right) \text {. }
\]
В таком случае имеем гауссов волновой пакет; он характеризуется наименьшей возможной дисперсией и в этом смысле «оптимален».
Для доказательства вернемся к рассуждениям на с. 126 , которые привели нас к формуле
\[
\sum_{i}\left|a_{i}\right|^{2} \sum_{i}\left|b_{i}\right|^{2} \geq\left. 1 \sum_{i} a_{i} b_{i}\right|^{2} .
\]
Можно видеть, что в этом соотношении знак равенства допустим только в том случае, если все отношения \( \left|a_{i}\right| /\left|b_{i}\right| \) одинаковы при всех значениях индекса \( i \).
Рассуждения, приведшие к формуле (14), показывают, что в этой формуле знак неравенства относится \( \mathbf{к} \) случаю, когда все отношения
\[
\left[\frac{\partial\left|\psi^{\prime}\right|}{\partial q_{k}}\right]_{\Delta \tau} /\left[q_{k}\left|\psi^{\prime}\right|\right]_{\Delta \tau}
\]
одинаковы во всех элементах \( \Delta \tau_{i} \).
1) Плотности нормального распределения. – Прим. ред.
—————————————————————-
001_book2_original_page-0130.jpg.txt
Точная форма соотношений неопределенностей
129
Отсюда следует, что в соотношении
\[
\sigma_{q_{k}} \cdot \sigma_{p_{k}} \geq h / 4 \pi
\]
знак равенства соответствует случаю, когда величина
\[
\frac{1}{q_{k}\left|\psi^{\prime}\right|} \cdot \frac{\partial\left|\psi^{\prime}\right|}{\partial q_{k}}
\]
не зависит от \( q_{k} \).
Таким образом, величина \( \left|\psi^{\prime}\right| \), рассматриваемая как функция переменной \( q_{k} \), должна удовлетворять дифференциальному уравнению
\[
\frac{\partial\left|\psi^{\prime}\right|}{\partial q_{k}}=C q_{k}\left|\psi^{\prime}\right|,
\]
общее решение которого имеет вид
\( \left|\psi^{\prime}\right|=C^{\prime} \exp \left(C q_{k}^{2} / 2\right) \).
Поскольку величина \( \left|\psi^{\prime}\right| \) должна обращаться в нуль при \( q_{k}= \pm \infty \), постоянная \( C \) должна быть отрицательной, так что можно положить \( C=-1 / a^{2} \). Тогда
\[
\left|\psi^{\prime}\right|=C^{\prime} \exp \left(-q_{k}^{2} / 2 a^{2}\right) \text {. }
\]
Этот результат получен в предположении (с. 125), что \( \bar{q}_{k}=0 \). Если же \( \bar{q}_{k}
eq \) \(
eq 0 \), то получим
\( \left|\psi^{\prime}\right|=|\psi|=C^{\prime} \exp \left(-\left(q_{k}-\bar{q}_{k}\right)^{2}\right) / 2 a^{2} \).
Отметим, что здесь «постоянная» \( C^{\prime} \) может быть функцией переменных \( q \), отличных от переменных \( q_{k} \). Нетрудно показать, что \( \sigma_{q_{k}}=a / \sqrt{2} \). В самом деле,
\[
\sigma_{q_{k}}^{2}=\frac{\int_{-\infty}^{\infty}\left(q_{k}-\bar{q}_{k}\right)^{2} \exp \left(-\left(q_{k}-\bar{q}_{k}\right)^{2} / a^{2}\right) d q_{k}}{\int_{-\infty}^{\infty} \exp \left(-\left(q_{k}-\bar{q}_{k}\right)^{2} / a^{2}\right) d q_{k}}=\frac{\int_{-\infty}^{\infty} u^{2} \exp \left(-u^{2} / a^{2}\right) d u}{\int_{-\infty}^{\infty} \exp \left(-u^{2} / a^{2}\right) d u}=\frac{a^{2}}{2} .
\]
Если волновая функция представляет собой гауссов волновой пакет по координате \( q_{k} \), то вероятность нахождения частицы в интервале ( \( q_{k}, q_{k}+d q_{k} \) ) будет пропорциональна \( \left|\psi^{\prime}\right|^{2} \sim \exp \left(-\left(q_{k}-\bar{q}_{k}\right)^{2} / 2 \sigma_{q_{k}}^{2}\right) \). Таким образом, эта вероятность подчиняется нормальному (гауссову) распределению.
Рассматриваемое состояние \( \psi \) соответствует случаю, когда возможные ошибки измерения величины \( q_{k} \) удовлетворяют нормальному распределению. В соотношении неопределенностей Гейзенберга это наиболее благоприятный
5-782
случай, поскольку в этом случае произведение дисперсий минимально и равно \( h / 4 \pi \).
Замечание о гауссовых пакетах
Из изложенного выше явствует важное значение гауссовых волновых пакетов в волновой механике. Такие пакеты обладают еще одним замечательным свойством: волновой пакет, являющийся гауссовым по переменной \( q_{k} \), будет также гауссовым и по переменной \( p_{k} \).
В самом деле, предположим, что
\( |\psi|=C \exp \left(-q_{k}^{2} / 2 a^{2}\right)=C \exp \left(-q_{k}^{2} / 4 \sigma_{q_{k}}^{2}\right) \)
(где принято \( \bar{q}_{k}=0 \) ). Тогда \( |\psi|^{2}=C^{2} \exp \left(-q_{k}^{2} / 2 \sigma_{q_{k}}^{2}\right. \) ). Постоянная \( C \) может зависеть от координат \( q \), отличных от \( q_{k} \). Предположим, что волновая функция \( \psi \) допускает разложение в интеграл Фурье вида
\[
\psi=\frac{1}{\sqrt{h}} \int_{-\infty}^{+\infty} C\left(p_{k}\right) \exp \left(-\frac{2 \pi i}{h} p_{k} q_{k}\right) d p_{k},
\]
где \( \psi \) и \( C\left(p_{k}\right) \) могут зависеть от переменных \( q \), отличных от \( q_{k} \). Эти дополнительные переменные мы не пишем, так как они не влияют на ход рассуждений.
Из теории интегралов Фурье следует, что
\( C\left(p_{k}\right)=\frac{1}{\sqrt{h}} \int_{-\infty}^{\infty} \psi \exp \left(\begin{array}{l}2 \pi i \\ h\end{array} p_{k} q_{k}\right) d q_{k} \),
и, поскольку
\( \psi=C \exp \left(-\frac{q_{k}^{2}}{2 a^{2}}\right) \exp \left(-\frac{2 \pi i}{h} \bar{p}_{k} q_{k}\right) \),
имеем
\[
\begin{array}{c}
C\left(p_{k}\right)=\frac{C}{\sqrt{h}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left(-\frac{q_{k}^{2}}{2 a^{2}}\right) \exp \left(-\frac{2 \pi i}{h} \bar{p}_{k} q_{k}\right) \exp \left(\frac{2 \pi i}{h} p_{k} q_{k}\right) d q_{k}, \\
C\left(p_{k}\right)=\frac{C}{\sqrt{h}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left(-\left[\frac{q_{k}}{a \sqrt{2}}-\frac{2 \pi i\left(p_{k}-\bar{p}_{k}\right) a}{h \sqrt{2}}\right]^{2}\right) \times \\
C\left(p_{k}\right)=C^{\prime} \exp \left(-\frac{4 \pi^{2}}{h^{2}}\left(p_{k}-\bar{p}_{k}\right)^{2} \frac{a^{2}}{2}\right) .
\end{array}
\]
—————————————————————-
001_book2_original_page-0132.jpg.txt
Точная форма соотношений неопределенностей
131
Позтому
\[
\begin{array}{l}
\left|C\left(p_{k}\right)\right|^{2}=\left|C^{\prime}\right|^{2} \exp \left(-\frac{4 \pi^{2}}{h^{2}}\left(p_{k}-\bar{p}_{k}\right)^{2} a^{2}\right)= \\
=\left|C^{\prime}\right|^{2} \exp \left(-\frac{4 \pi^{2}\left(p_{k}-\bar{p}_{k}\right)^{2}}{h^{2}}\right), \\
\left|C\left(p_{k}\right)\right|^{2}=\left|C^{\prime}\right|^{2} \exp \left(-\frac{4 \pi^{2}}{h^{2}} \frac{\left(p_{k}-\bar{p}_{k}\right)^{2}}{2 \sigma_{p_{k}}^{2}}\right),
\end{array}
\]
где \( a^{\prime}=1 / a \). Учитывая, что \( \left|C\left(p_{k}\right)\right|^{2} \) есть вероятность значения \( p_{k} \), можно видеть, что распределение вероятностей для \( p_{k} \) будет нормальным в том случае, когда
\( \sigma_{p k}^{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{a^{\prime} h}{2 \pi}\right)^{2}=\frac{h^{2}}{8 \pi^{2}} \frac{1}{a^{2}}=\frac{h^{2}}{16 \pi^{2}} \frac{2}{a^{2}} \),
т.е. \( \sigma_{q_{k}}^{*} \cdot \sigma_{p_{k}}=h / 4 \pi \), так как \( a=\sqrt{2} \sigma_{q_{k}} \).
Мы получили теорему о дисперсиях со знаком равенства, но теперь мы видим, что волновой пакет будет гауссовым как по \( q_{k} \), так и по \( p_{k} \).
