Чтобы проиллюстрировать сказанное, мы кратко напомним метод вариации постоянных и понятие вероятности перехода.

В методе вариации постоянных рассматривается не зависящий от времени невозмушенный гамильтониан \( H^{(0)} \), котсрому соответствуют стационарные состояния системы, рассматриваемой в отсутствие возмущения. Считается, что собственные значения \( E_{k}^{(0)} \) и собственные функции \( \psi_{k}^{(0)} \) этого гамильтониана известны. Принимается, что система испытывает возмущающее воздействие, которое может зависеть от времени и характеризуется членом \( V \) в гамильтониане, так что \( H=H^{(0)}+V(t) \).

Следовательно, при наличии возмущения уравнение, описывающее эволюцию системы во времени, принимает вид
\[
\left[H^{(0)}+V(t)\right] \psi=\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial \psi}{\partial t} .
\]

В любой момент \( t \) волновую функцию \( \psi \) системы можно разложить в ряд по полной системе собственных функций \( \psi_{k}^{(0)} \) невозмущенного гамильтониана \( H^{(0)} \) и записать в виде
\[
\psi(t)=\sum_{k} c_{k}(t) \psi_{k}^{(0)} \exp \left[(2 \pi i / h) E_{k}^{(0)} t\right],
\]

где
\[
c_{k}(t)=\int_{D} \psi_{k}^{(0)} \psi(t) \exp \left[-(2 \pi i / h) E_{k}^{(0)} t\right] d \tau .
\]

Согласно общим принципам волновой механики, вероятность найти систему в момент \( t \) в состоянии \( \psi_{k}^{(0)} \) пропорциональна ведичине \( \left|c_{k}(t)\right|^{2} \). Наряду с этим, как мы отмечали выше, необходимо, чтобы система оставалась в этом состоянии в течение достаточно долгого времени, позволяющего достаточно ічно измерить ее энергию. Влновая функция всегда предполагается нормированной, откуда следует, что
\[
\sum_{k}\left|c_{k}\right|^{2}=1
\]

Подставив выражение для \( \psi \) в уравнение эволюции, с учетом того, что функции \( \psi_{k}^{(0)} \) являются собственными функциями оператора \( H^{(0)} \), получим
\[
\sum_{k} \frac{d c_{k}}{d t} \psi_{k}^{(0)} \exp \left[(2 \pi i / h) E_{k}^{(0)} t\right]=\frac{2 \pi i}{h} \sum_{k} c_{k}(t) V(t) \psi_{k}^{(0)} \exp \left[(2 \pi i / h) E_{k}^{(0)} t\right]
\]

Умножим обе части равенства на
\[
\psi_{l}^{(0)^{*}} \exp \left[-(2 \pi i / h) E_{l}^{(0)} t\right]
\]

и проинтегрируем по \( D \). Учитывая ортонормированность функций \( \psi_{k}^{(0)} \), получаем фундаментальное уравнение
\[
\frac{d c_{l}}{d t}=\frac{2 \pi i}{h} \sum_{k} V_{l k}(t) c_{k}(t) \exp \left([2 \pi i / h)\left(E_{k}^{(0)}-E_{l}^{(0)}\right) t\right],
\]

где
\[
V_{l k}(t)=\int_{D} \psi_{l}^{(0)^{*}} V(t) \psi_{k}^{(0)} d \tau .
\]

При \( V=0 \) величины \( c_{l} \) суть постоянные и волновая функция \( \psi \) равна сумме собственных функций оператора \( H^{(0)} \) с постоянными коэффициентами – случай, нам известный. Если возмущение \( V \) отлично от нуля, то козффициенты \( c_{l} \) меняются с течением времени, ши и объясняется название «метод вариации постоянных». (Как нетруднг убедиться,
\[
\frac{d}{d t} \sum_{k} c_{k} c_{k}=0
\]
т.е. в любой момент времени
\[
\sum_{k}\left|c_{k}\right|^{2}=\text { const }=1 \text {.) }
\]

В общем случае интегрирование уравнений вариации постоянных – трудная задача; из этих уравнений можно извлечь различные следствия, на которых мы не будем подробно останавливаться. Ограничимся случаем, когда известно, что в момент времени \( t=0 \) система находится в состоянии с индексом \( n \), так что \( c_{n}(0)=1 \) и \( c_{m}(0)=0 \) при \( m
eq n \).

Предполагая, что возмущение, представленное в гамильтониане оператором \( V(t) \), мало, мы найдем решение уравнений вариации постоянных, которое будет приближенно справедливым в течение некоторого времени. Уравнения принимают вид
\[
\frac{d c_{m}}{d t}=\frac{2 \pi i}{h} V_{m n} \exp \left[(2 \pi i / h)\left(E_{n}-E_{m}\right) t\right], \quad m
eq n .
\]

Четвертое соотношение неопределенностей Гейзенберга
151
Решение, соответствующее начальному условию \( c_{m}(0)=0 \), таково:
\( c_{m}(t)=V_{m n} \frac{\exp \left[(2 \pi i / h)\left(E_{n}-E_{m}\right) t\right]-1}{E_{n}-E_{m}} \),
откуда
\[
\begin{array}{l}
\left|c_{m}(t)\right|^{2}=\frac{2\left|V_{m n}\right|^{2}}{\left(E_{n}-E_{m}\right)^{2}}\left[1-\cos \frac{2 \pi}{h}\left(E_{n}-E_{m}\right) t\right]= \\
=\frac{4\left|V_{m n}\right|^{2}}{\left(E_{n}-E_{m}\right)^{2}} \sin ^{2} \frac{\pi}{h}\left(E_{n}-E_{m}\right) t .
\end{array}
\]

Эту величину можно рассматривать как вероятность нахождения системы в момент времени \( t \) в состоянии \( m \); она пропорциональна \( \left|V_{m n}\right|^{2} \), что и указывает на особую важность этих матричных элементов. Однако, согласно сказанному выше, \”во время действия возмушения мы не можем обнаружить систему в состоянии с энергией \( E_{m} \), поскольку для этого нужно измерить энергию с неопределенностью, меньшей чем \( E_{m}-E_{n} \), а время, в течение которого система остается в состоянии \( E_{m} \), меньше \( h /\left(E_{m}-E_{n}\right) \). Обнаружить систему в состоянии \( E_{m} \) возможно лишь в том случае, если в момент \( t \) возмущение \( V(t) \) внезапно выключается, так что состояние \( E_{m} \) становится стационарным конечным состоянием, и вероятность такой возможности пропорциональна \( \left|c_{m}(t)\right|^{2} \). Поскольку энергия системы не может быть измерена во время действия возмущения, в этот период к ней неприменим закон сохранения энергии, который должен выполняться лишь по окончании действия возмущения \( { }^{11} \).
1) В теории возмущений возникает ряд тонких вопросов относительно возмущающего потенциала \( V \). Рассмотрим сначала случай системы с дискретным спектром. В этом случае потенциал \( V \) есть потенциал взаимодействий внутри системы (не зависящих от \( t \) ) или внешний потенциал (который может зависеть от \( t \) ). Если это потенциал внутренних взаимодействий, то взаимодействию нельзя приписать ни начала, ни конца, а в отсутствие взаимодействия измерение энергий \( E_{n}^{(0)}, E_{m}^{(0)}, \ldots \) оказывается невозможным. Если же \( V \) характеризует внешнее воздействие, то можно предположить, что это воздействие имеет начало и конец (например, соответственно приближению и удалению системы, создающей внешнее поле). При этом энергию можно измерить как до взаимодействия, так и после него. Вообще говоря, эти две энергии будут неодинаковы, но закон сохранения энергии можно оставить в силе, сказав, что система получила или отдала энергию внешней системе, которая создает поле.

Тогда естественно рассматривать полную систему \( \Sigma \), составленную из исследуемой системы \( S \) и системы \( S^{\prime} \), создающей поле. Но для того, чтобы можно было применить закон сохранения энергии, необходимо иметь возможность сначала приблизить систему \( S^{\prime} \) к системе \( S \), а затем удалить, для чего требуется, чтобы система \( \sum \) обладала непрерывным спектром. Тогда нужно воспользоваться теорией, излагаемой на с. 153 и далее, которая показывает, каким образом выполняется закон сохранения энергии. В общем, во всех случаях, когда закон сохранения энергии может быть подтвержден экспериментально, по-видимому, верна теория, излагаемая на с. 153 и далее. – Л. Б.
Может оказаться, что некоторые из матричных элементов \( V_{m n} \) равны нулю. Это означает, что прямые переходы \( n \rightarrow m \) невозможны. Но такие переходы иногда могут осуществляться косвенно через промежуточное состояние \( p \), если только \( V_{m p} \) и \( V_{p n} \) не равны нулю. В более общем случае может иметься несколько состояний \( p, p^{\prime}, \ldots \), которые могут играть роль промежуточных в соответствии со схемой:
Рис. 7
В принятом выше приближении можно написать (что будет справедливым также для \( p, p^{\prime}, \ldots \) ):
\[
\begin{aligned}
\frac{h}{2 \pi i} \frac{d c_{m}}{d t} & =\sum_{p} V_{m p} c_{p} \exp \left[(2 \pi i / h)\left(E_{p}-E_{m}\right) t\right], \\
\frac{h}{2 \pi i} \frac{d c_{p}}{d t} & =V_{p n} \exp \left[(2 \pi i / h)\left(E_{n}-E_{p}\right) t\right] .
\end{aligned}
\]

Второе уравнение дает
\[
c_{p}(t)=V_{p n} \frac{\exp \left[(2 \pi i / h)\left(E_{n}-E_{p}\right) t\right]-1}{E_{n}-E_{p}},
\]

а из первого получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{h}{2 \pi i} \frac{d c_{m}}{d t}=\sum_{p} V_{m p} V_{p n} \times \\
\times \frac{\exp \left[(2 \pi i / h)\left(E_{n}-E_{m}\right) t\right]-\exp \left[(2 \pi i / h)\left(E_{p}-E_{m}\right) t\right],}{E_{n}-E_{p}},
\end{array}
\]

откуда после интегрирования с начальными условиями \( c_{m}(0)=0 \) будем иметь
\[
\begin{aligned}
c_{m}(t) & =\sum_{p} \frac{V_{m p} V_{p n}}{E_{n}-E_{p}} \times \\
& \times\left\{\frac{\exp \left[(2 \pi i / h)\left(E_{n}-E_{m}\right) t\right]-1}{E_{n}-E_{m}}-\frac{\exp \left[(2 \pi i / h)\left(E_{p}-E_{m}\right) t\right]-1}{E_{p}-E_{m}}\right\} .
\end{aligned}
\]

Вводя обозначение
\[
V_{m n}^{\prime}=\sum_{p} \frac{V_{m p} V_{p n}}{E_{n}-E_{p}},
\]

для вероятности найти систему в момент времени \( t \) в состоянии \( E_{m} \) получаем выражение
\[
\begin{aligned}
\left|c_{m}(t)\right|^{2}=\frac{2\left|V_{m n}^{\prime}\right|^{2}}{\left(E_{m}-E_{n}\right)^{2}}\left[1-\cos \frac{2 \pi}{h}\left(E_{n}\right.\right. & \left.\left.-E_{m}\right) t\right]+ \\
& + \text { члены, зависящие от }\left(E_{p}-E_{n}\right) .
\end{aligned}
\]

Вообще говоря, члены, содержащие \( E_{p}-E_{n} \), практически не фигурируют в приложениях этой формулы, играющей исключительно важную роль в теории взаимодействия излучения с веществом.

Здесь снова в течение промежутка времени, когда действует возмущение, невозможно ни обнаружить на опыте систему в состоянии \( E_{p} \), ни применить закон сохранения энергии. В итоге систему в конечном состоянии с энергией \( E_{m} \) можно обнаружить лишь по окончании действия возмущения, причем вероятность этого события равна \( \left|c_{m}(t)\right|^{2} \). Но даже в этом случае никогда нельзя обнаружить систему в одном из состояний \( p, p^{\prime}, \ldots \), а следовательно, закон сохранения энергии неприменим к этим промежуточным состояниям. Это ясно покажет нам излагаемая ниже теория, рассматривающая вероятности квантовых переходов.

Отметим, что с аналогичными обстоятельствами мы встречаемся в том случае, когда переход \( n-m \) может происходить через последовательность нескольких промежуточных состояний.