Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Чтобы проиллюстрировать сказанное, мы кратко напомним метод вариации постоянных и понятие вероятности перехода. В методе вариации постоянных рассматривается не зависящий от времени невозмушенный гамильтониан \( H^{(0)} \), котсрому соответствуют стационарные состояния системы, рассматриваемой в отсутствие возмущения. Считается, что собственные значения \( E_{k}^{(0)} \) и собственные функции \( \psi_{k}^{(0)} \) этого гамильтониана известны. Принимается, что система испытывает возмущающее воздействие, которое может зависеть от времени и характеризуется членом \( V \) в гамильтониане, так что \( H=H^{(0)}+V(t) \). Следовательно, при наличии возмущения уравнение, описывающее эволюцию системы во времени, принимает вид В любой момент \( t \) волновую функцию \( \psi \) системы можно разложить в ряд по полной системе собственных функций \( \psi_{k}^{(0)} \) невозмущенного гамильтониана \( H^{(0)} \) и записать в виде где Согласно общим принципам волновой механики, вероятность найти систему в момент \( t \) в состоянии \( \psi_{k}^{(0)} \) пропорциональна ведичине \( \left|c_{k}(t)\right|^{2} \). Наряду с этим, как мы отмечали выше, необходимо, чтобы система оставалась в этом состоянии в течение достаточно долгого времени, позволяющего достаточно ічно измерить ее энергию. Влновая функция всегда предполагается нормированной, откуда следует, что Подставив выражение для \( \psi \) в уравнение эволюции, с учетом того, что функции \( \psi_{k}^{(0)} \) являются собственными функциями оператора \( H^{(0)} \), получим Умножим обе части равенства на и проинтегрируем по \( D \). Учитывая ортонормированность функций \( \psi_{k}^{(0)} \), получаем фундаментальное уравнение где При \( V=0 \) величины \( c_{l} \) суть постоянные и волновая функция \( \psi \) равна сумме собственных функций оператора \( H^{(0)} \) с постоянными коэффициентами — случай, нам известный. Если возмущение \( V \) отлично от нуля, то козффициенты \( c_{l} \) меняются с течением времени, ши и объясняется название «метод вариации постоянных». (Как нетруднг убедиться, В общем случае интегрирование уравнений вариации постоянных — трудная задача; из этих уравнений можно извлечь различные следствия, на которых мы не будем подробно останавливаться. Ограничимся случаем, когда известно, что в момент времени \( t=0 \) система находится в состоянии с индексом \( n \), так что \( c_{n}(0)=1 \) и \( c_{m}(0)=0 \) при \( m Предполагая, что возмущение, представленное в гамильтониане оператором \( V(t) \), мало, мы найдем решение уравнений вариации постоянных, которое будет приближенно справедливым в течение некоторого времени. Уравнения принимают вид Четвертое соотношение неопределенностей Гейзенберга Эту величину можно рассматривать как вероятность нахождения системы в момент времени \( t \) в состоянии \( m \); она пропорциональна \( \left|V_{m n}\right|^{2} \), что и указывает на особую важность этих матричных элементов. Однако, согласно сказанному выше, \»во время действия возмушения мы не можем обнаружить систему в состоянии с энергией \( E_{m} \), поскольку для этого нужно измерить энергию с неопределенностью, меньшей чем \( E_{m}-E_{n} \), а время, в течение которого система остается в состоянии \( E_{m} \), меньше \( h /\left(E_{m}-E_{n}\right) \). Обнаружить систему в состоянии \( E_{m} \) возможно лишь в том случае, если в момент \( t \) возмущение \( V(t) \) внезапно выключается, так что состояние \( E_{m} \) становится стационарным конечным состоянием, и вероятность такой возможности пропорциональна \( \left|c_{m}(t)\right|^{2} \). Поскольку энергия системы не может быть измерена во время действия возмущения, в этот период к ней неприменим закон сохранения энергии, который должен выполняться лишь по окончании действия возмущения \( { }^{11} \). Тогда естественно рассматривать полную систему \( \Sigma \), составленную из исследуемой системы \( S \) и системы \( S^{\prime} \), создающей поле. Но для того, чтобы можно было применить закон сохранения энергии, необходимо иметь возможность сначала приблизить систему \( S^{\prime} \) к системе \( S \), а затем удалить, для чего требуется, чтобы система \( \sum \) обладала непрерывным спектром. Тогда нужно воспользоваться теорией, излагаемой на с. 153 и далее, которая показывает, каким образом выполняется закон сохранения энергии. В общем, во всех случаях, когда закон сохранения энергии может быть подтвержден экспериментально, по-видимому, верна теория, излагаемая на с. 153 и далее. — Л. Б. Второе уравнение дает а из первого получим откуда после интегрирования с начальными условиями \( c_{m}(0)=0 \) будем иметь Вводя обозначение для вероятности найти систему в момент времени \( t \) в состоянии \( E_{m} \) получаем выражение Вообще говоря, члены, содержащие \( E_{p}-E_{n} \), практически не фигурируют в приложениях этой формулы, играющей исключительно важную роль в теории взаимодействия излучения с веществом. Здесь снова в течение промежутка времени, когда действует возмущение, невозможно ни обнаружить на опыте систему в состоянии \( E_{p} \), ни применить закон сохранения энергии. В итоге систему в конечном состоянии с энергией \( E_{m} \) можно обнаружить лишь по окончании действия возмущения, причем вероятность этого события равна \( \left|c_{m}(t)\right|^{2} \). Но даже в этом случае никогда нельзя обнаружить систему в одном из состояний \( p, p^{\prime}, \ldots \), а следовательно, закон сохранения энергии неприменим к этим промежуточным состояниям. Это ясно покажет нам излагаемая ниже теория, рассматривающая вероятности квантовых переходов. Отметим, что с аналогичными обстоятельствами мы встречаемся в том случае, когда переход \( n-m \) может происходить через последовательность нескольких промежуточных состояний.
|
1 |
Оглавление
|