Предположим, что нам известна система ортонормированных функций \( \varphi_{1}, \ldots, \varphi_{i}, \ldots \), заданных в области \( D \) изменения некоторых переменных. Назовем их базисными функциями. Такими функциями могут быть, например, нормированные собственные функции линейного эрмитова оператора в волновой механике. Если задана такая система базисных функций, то любому линейному оператору мы можем поставить в соответствие матрицу. В самом деле, пусть \( A \) – линейный оператор. Действуя этим оператором на одну из базисных функций \( \varphi_{i} \), получаем новую функцию, которая может быть разложена по базисным функциям. В результате мы придем к соотношениям вида
\[
A \varphi_{i}=\sum a_{j i} \varphi_{j},
\]

где
\[
a_{j i}=\int_{D} \varphi_{j}^{*} A \varphi_{i} d \tau .
\]

Здесь \( D \) – область изменения переменных, от которых зависят \( \varphi_{i} \). По определению \( a_{i j} \) являются элементами матрицы, порождаемой оператором \( A \) в системе базисных функций \( \varphi_{i} \). Обозначим эту матрицу тем же символом \( A \), что и оператор, или, если мы хотим уточнить систему базисных функций, символом \( A^{\varphi} \). Как нетрудно убедиться, определяемые таким путем матрицы удовлетворяют введенным выше правилам сложения и умножения алгебраических матриц.

Если система базисных функций образована собственными функциями операторов волновой механики и если сам оператор \( A \) является линейным эрмитовым оператором, то мы будем называть матрицу \( A \) квантовомеханической Нетрудно видеть, что такие матрицы всегда эрмитовы, поскольку в силу определения элементов \( a_{i j} \) эрмитовость оператора \( A \) влечет за собой равенство \( a_{i j}=a_{j k}^{*} \). Можно утверждать в более общем смысле, что необходимым и достаточным условием эрмитовости матрицы, порождаемой оператором \( A \) в некоторой системе базисных функций, является эрмитовость самого оператора. Поэтому эрмитовость является внутренним свойством операторов в том смысле, что эрмитов оператор порождает эрмитовы матрицы в любых системах базисных функций. Поэтому все матрицы волновой механики являются эрмитовыми.

Наши определения устанавливают тесную связь между операторами и матрицами. В частности, необходимым и достаточным условием коммутативности (или антикоммутативности) двух матриц является коммутативность (или антикоммутативность) соответствуюцих операторов, и наоборот. Поэтому можно ввести коммутатор \( [A, B] \) и антикоммутатор \( [A, B]_{+} \)двух операторов \( A \) и \( B \) :
\( [A, B]=A B-B A ;[A, B]_{+}=A B+B A \).
Особенно важный класс квантовомеханических матриц получается в том случае, когда в качестве базисных функций берутся собственные функции опе-
\( \mathrm{V} \)
ратора Гамильтона, соответствующего рассматриваемой задаче. Пусть \( \psi_{i}, \ldots, \psi_{n}, \ldots \) – собственные функции оператора \( H \). Матрицы \( A^{\downarrow} \), порождаемые линейным эрмитовым оператором \( A \) в системе базисных функций \( \psi_{i} \), состоят из элементов
\( a_{j k}=\int_{D} \psi_{j}^{*} A \psi_{k} d \tau \)
Их можно назвать матрицами Гейзенберга, поскольку именно Гейзенберг положил их в основу своей квантовой механики. Если в выражение для \( \psi_{k} \) входит экспоненциальный множитель \( \exp \left[(2 \pi i / h) E_{k} t\right] \) и если положить
\( \psi_{k}=a_{k}(x, y, z) \exp \left(\frac{2 \pi i}{h} E_{k} t\right) \),
то получим
\( a_{j k}=\int_{D} a_{j}^{*} A a_{k} d \tau \exp \left(\frac{2 \pi i}{h}\left(E_{k}-E_{j}\right) t\right) \).
Эти элементы составляют матрицу Гейзенберга, зависящую от времени. В отдельных случаях в выражении для \( \psi_{k} \) опускают экспоненциальный множитель и полагают \( a_{j k}^{\prime}=\int_{D} a_{j}^{*} A a_{k} d \tau \); в результате получается матрица \( A^{\prime} \), элементы которой \( a_{j k}^{\prime} \) не зависят от времени. Это – матрица Шредингера, соответствующая рассмотренной выше матрице Гейзенберга. Мы, как правило, будем пользоваться матрицами Гейзенберга.

В случае матриц Гейзенберга матрица \( H \), соответствующая энергии, есть диагональная матрица, диагональные экементы которой суть собственные значения оператора энергии (т.е. квантованные стационарные значения энергии). Правда, если у оператора \( H \) имеются вырожденные собственные значения, то сказанное выше будет справедливо лишь в том случае, если выбрать собственные функции, соответствующие кратным собственным значениям, так, чтобы они были взаимно ортогональными. Это сразу же явствует из равенства
\[
H_{j k}=\int_{D} \psi_{j}^{*} H \psi_{k} d \tau=E_{k} \int_{D} \psi_{j}^{*} \psi_{k} d \tau=E_{k} \delta_{j k} .
\]

Отметим, что изложенный результат представляет собой всего лишь частный случай следующей легко доказываемой теоремы: если матрица, порождаемая оператором \( A \), строится в системе собственных ортонормированных функций этого оператора, то матрица будет диагональна и ее диагональные элементы будут равны собственным векторам оператора \( A \) (причем вырожденные собственные вектора должны входить в нее соответственно их степени вырождения).