Нетрудно обобщить принцип интерференции на случай систем частиц. При этом он получает следующую формулировку: если состояние системы частиц характеризуется волновой функцией \( \psi\left(x_{1}, \ldots, z_{N}, t\right) \), то вероятность обнаружения на опыте в момент времени \( t \) точки, описывающей положение системы в конфигурационном пространстве, в элементе объема \( d \tau=d x_{1} \ldots d z_{N} \) равна \( |\psi|^{2} d \tau=\psi\left(x_{1}, \ldots, z_{N}, t\right) \psi^{*}\left(x_{1}, \ldots, z_{N}, t\right) d \tau \). Если имеется только одна частица, то мы, очевидно, возвращаемся к рассмотренной ранее форме принципа интерференции. Для \( N \) частиц, которые не взаимодействуют между собой и никогда не взаимодействовали ранее (независимые состояния), имеем
\[
\psi=\prod_{k=1}^{N} \psi_{k}\left(x_{k}, y_{k}, z_{k}, t\right)
\]

и, следовательно,
\[
|\psi|^{2} d \tau=\left|\psi_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}, t\right)\right|^{2} d x_{1} d y_{1} d z_{1} \ldots\left|\psi_{N}\left(x_{N}, y_{N}, z_{N}, t\right)\right|^{2} d x_{N} d y_{N} d z_{N} .
\]

Таким образом, вероятность того, что точка, характеризующая систему, будет находиться в элементе объема \( d x_{1} \ldots d z_{N} \) конфигурационного пространства, равна произведению вероятностей нахождения первой частицы в элементе объема \( d x_{1} d y_{1} d z_{1}, \ldots, N \)-й частицы — в элементе объема \( d x_{N} d y_{N} d z_{N} \). Этот результат соответствует теореме умножения вероятностей: поскольку присутствие различных частиц в разных областях пространства события независимые, волновая функция \( \psi \) должна иметь форму произведения \( \prod_{k=1}^{N} \psi_{k} \).

Чтобы величина \( |\psi|^{2} d \tau \) давала абсолютную вероятность нахождения точки, характеризующей систему, внутри элемента \( d \tau \) конфигурационного пространства, волновую функцию необходимо нормировать, положив
\[
\int_{3 N} \cdots \int|\psi|^{2} d x_{1} \ldots d z_{N}=1 .
\]

Этим условием функция \( \psi \) определяется с точностью до постоянного фазового множителя вида \( \exp (i \alpha) \).

Чтобы показать, что нормировка, проведенная в некоторый момент времени \( t \), сохраняется с течением времени, рассмотрим фиктивную вероятностную жидкость, определяемую в конфигурационном пространстве соотношениями
\[
\rho=|\psi|^{2} \text {, }
\]
\[
\rho \mathbf{v}_{k}=\left(\rho v_{x_{k}}\right)+\frac{\partial}{\partial y_{k}}\left(\rho v_{y_{k}}\right)+\frac{\partial}{\partial z_{k}}\left(\rho v_{z_{k}}\right)
\]

Здесь \( \mathbf{v}_{k} \) — вектор с компонентами \( d x_{k} / d t, d y_{k} / d t, d z_{k} / d t \), a \( \operatorname{grad}_{k} \) — оператор с компонентами \( \partial / \partial x_{k}, \partial / \partial y_{k}, \partial / \partial z_{k} \).

Умножая уравнение распространения на \( \psi^{*} \), а сопряженное уравнение на \( \psi \) и вычитая одно из другого, получаем
\[
\sum_{\substack{k=1 \\ \text { или }}}^{N} \frac{1}{m_{k}}\left[\psi^{*} \Delta_{k} \psi-\psi \Delta_{k} \psi^{*}\right]=\frac{4 \pi i}{h} \frac{\partial}{\partial t}\left(\psi \psi^{*}\right),
\]
\[
\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{m_{k}} \operatorname{grad}_{k}\left(\psi^{*} \operatorname{grad}_{k} \psi-\psi \operatorname{grad}_{k^{*}} \psi^{*}\right)=\begin{array}{c}
4 \pi i \partial \rho \\
h \partial t
\end{array} .
\]

Пользуясь определением фиктивной жидкости вероятности, имеем также
\[
\sum_{k=1}^{N}\left[\frac{\partial}{\partial x_{k}}\left(\rho v_{x_{k}}\right)+\frac{\partial}{\partial y_{k}}\left(\rho v_{y_{k}}\right)+\frac{\partial}{\partial z_{k}}\left\langle\rho v_{z_{k}}\right)\right]+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0 .
\]

Это уравнение представляет собой гидродинамическое уравнение непрерывности \( \operatorname{div}(\rho \mathbf{v})+\partial \rho / \partial t=0 \), обобщенное на случай \( 3 N \). В нем находит выражение то обстоятельство, что фиктивная жидкость вероятности сохраняется при своем движении в конфигурационном пространстве. Таким образом, нормировка функции \( \psi \) с течением времени не меняется.

Принцип спектрального разложения формулируется так же, как и в случае одной частицы. Если система консервативная, то волну \( \psi \) всегда можно представить в виде суперпозиции монохроматических волн, и интенсивность каждой спектральной составляющей дает вероятность экспериментального обнаружения у системы соответствующей энергии.

Представив волновой пакет в конфигурационном пространстве в виде интеграла Фурье, можно получить соотношение неопределенностей в форме

\[
\Delta x_{k} \Delta p_{x_{k}} \geq h \text {. }
\]

Это соотношение имеет такой же смысл, как и для отдельной частицы.
В изложенной выше теории предполагалось, что частицы могут свободно двигаться во всем пространстве (системы без связей), и мы использовали прямоугольную (декартову) систему координат для частиц при описании системы. Если пользоваться криволинейными координатами, как это принято при наличии связей, когда число степеней свободы меньше \( 3 N \), то теория будет несколько отличаться от изложенной выше. Здесь мы не останавливаемся на данном вопросе [II, 22]. Кроме того, если система содержит одинаковые частицы, то неразличимость таких частиц приводит к исключению некоторых решений уравнения распространения. Подобного рода вопросы мы здесь также оставляем в стороне.