Нетрудно обобщить принцип интерференции на случай систем частиц. При этом он получает следующую формулировку: если состояние системы частиц характеризуется волновой функцией $\psi (x_1,\dots ,z_N,t)$, то вероятность обнаружения на опыте в момент времени $t$ точки, описывающей положение системы в конфигурационном пространстве, в элементе объема $d\tau =d{x}_1\dots d{z}_N$ равна $|\psi {|}^{2}d\tau =\psi (x_1,\dots ,z_N,t){\psi }^{\ast }(x_1,\dots ,z_N,t)d\tau$. Если имеется только одна частица, то мы, очевидно, возвращаемся к рассмотренной ранее форме принципа интерференции. Для $N$ частиц, которые не взаимодействуют между собой и никогда не взаимодействовали ранее (независимые состояния), имеем
$$\psi =\prod _{k=1}^N{\psi }_k(x_k,y_k,z_k,t)$$

и, следовательно,
$$|\psi {|}^{2}d\tau ={\left|{\psi }_1(x_1,y_1,z_1,t)\right|}^{2}d{x}_{1}d{y}_{1}d{z}_1\dots {\left|{\psi }_N(x_N,y_N,z_N,t)\right|}^{2}d{x}_{N}d{y}_{N}d{z}_N.$$

Таким образом, вероятность того, что точка, характеризующая систему, будет находиться в элементе объема $d{x}_1\dots d{z}_N$ конфигурационного пространства, равна произведению вероятностей нахождения первой частицы в элементе объема $d{x}_{1}d{y}_{1}d{z}_1,\dots ,N$-й частицы — в элементе объема $d{x}_{N}d{y}_{N}d{z}_N$. Этот результат соответствует теореме умножения вероятностей: поскольку присутствие различных частиц в разных областях пространства события независимые, волновая функция $\psi$ должна иметь форму произведения $\prod _{k=1}^N{\psi }_k$.

Чтобы величина $|\psi {|}^{2}d\tau$ давала абсолютную вероятность нахождения точки, характеризующей систему, внутри элемента $d\tau$ конфигурационного пространства, волновую функцию необходимо нормировать, положив
$${\int }_{3N}\cdots \int |\psi {|}^{2}d{x}_1\dots d{z}_N=1.$$

Этим условием функция $\psi$ определяется с точностью до постоянного фазового множителя вида $\exp (i\alpha )$.

Чтобы показать, что нормировка, проведенная в некоторый момент времени $t$, сохраняется с течением времени, рассмотрим фиктивную вероятностную жидкость, определяемую в конфигурационном пространстве соотношениями
$$\rho =|\psi {|}^2\text{, }$$
$$\rho {\mathbf{v}}_k=\left(\rho v_{x_k}\right)+\frac{\partial }{\partial y_k}\left(\rho v_{y_k}\right)+\frac{\partial }{\partial z_k}\left(\rho v_{z_k}\right)$$

Здесь ${\mathbf{v}}_k$ — вектор с компонентами $d{x}_k/dt,d{y}_k/dt,d{z}_k/dt$, a ${\mathrm{grad}}_k$ — оператор с компонентами $\partial /\partial x_k,\partial /\partial y_k,\partial /\partial z_k$.

Умножая уравнение распространения на ${\psi }^{\ast }$, а сопряженное уравнение на $\psi$ и вычитая одно из другого, получаем
$$\sum _{\begin{array}{c}k=1\\ \text{ или }\end{array}}^N\frac{1}{m_k}[{\psi }^{\ast }{\mathrm{\Delta }}_k\psi -\psi {\mathrm{\Delta }}_k{\psi }^{\ast }]=\frac{4\pi i}{h}\frac{\partial }{\partial t}\left(\psi {\psi }^{\ast }\right),$$
$$\sum _{k=1}^N\frac{1}{m_k}{\mathrm{grad}}_k({\psi }^{\ast }{\mathrm{grad}}_k\psi -\psi {\mathrm{grad}}_{k^{\ast }}{\psi }^{\ast })=\begin{array}{c}4\pi i\partial \rho \\ h\partial t\end{array}.$$

Пользуясь определением фиктивной жидкости вероятности, имеем также
$$\sum _{k=1}^N[\frac{\partial }{\partial x_k}\left(\rho v_{x_k}\right)+\frac{\partial }{\partial y_k}\left(\rho v_{y_k}\right)+\frac{\partial }{\partial z_k}⟨\rho v_{z_k})]+\frac{\partial \rho }{\partial t}=0.$$

Это уравнение представляет собой гидродинамическое уравнение непрерывности $\mathrm{div}(\rho \mathbf{v})+\partial \rho /\partial t=0$, обобщенное на случай $3N$. В нем находит выражение то обстоятельство, что фиктивная жидкость вероятности сохраняется при своем движении в конфигурационном пространстве. Таким образом, нормировка функции $\psi$ с течением времени не меняется.

Принцип спектрального разложения формулируется так же, как и в случае одной частицы. Если система консервативная, то волну $\psi$ всегда можно представить в виде суперпозиции монохроматических волн, и интенсивность каждой спектральной составляющей дает вероятность экспериментального обнаружения у системы соответствующей энергии.

Представив волновой пакет в конфигурационном пространстве в виде интеграла Фурье, можно получить соотношение неопределенностей в форме

$$\mathrm{\Delta }{x}_k\mathrm{\Delta }{p}_{x_k}\ge h\text{. }$$

Это соотношение имеет такой же смысл, как и для отдельной частицы.
В изложенной выше теории предполагалось, что частицы могут свободно двигаться во всем пространстве (системы без связей), и мы использовали прямоугольную (декартову) систему координат для частиц при описании системы. Если пользоваться криволинейными координатами, как это принято при наличии связей, когда число степеней свободы меньше $3N$, то теория будет несколько отличаться от изложенной выше. Здесь мы не останавливаемся на данном вопросе [II, 22]. Кроме того, если система содержит одинаковые частицы, то неразличимость таких частиц приводит к исключению некоторых решений уравнения распространения. Подобного рода вопросы мы здесь также оставляем в стороне.