Теперь рассмотрим смешанное состояние. Ранее мы определили такое состояние, рассматривая \( \mathscr{N} \) систем, из которых \( \mathscr{A} p_{1} \) находятся в состоянии \( \psi^{(1)} \), \( \mathscr{M} p_{2} \) – в состоянии \( \psi^{(2)} \) и т. д., причем \( \sum_{k} p_{k}=1 \). Но мы можем ввести также понятие смешанного состояния для одной-единственной системы. Мы можем даже не знать точного вида функции \( \psi \) для этой системы, а знать лишь, что с вероятностью \( p_{1} \) она находится в состоянии \( \psi^{(1)} \), с вероятностью \( p_{2} \) – в состоянии \( \psi^{(2)}, \ldots \), наконец, с вероятностью \( p_{n} \) – в состоянии \( \psi^{(n)} \), причем, разумеется, \( \sum_{k=1}^{n} p_{k}=1 \). Состояние данной системы представляется в этом случае смесью чистых состояний \( \psi^{(1)}, \psi^{(2)}, \ldots, \psi^{(n)} \), характеризуемых весами \( p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n} \).

Каждое из чистых состояний в смеси имеет свою статистическую матрицу \( P_{\psi(k)} \). Смешанному состоянию мы сопоставим эрмитову статистическую матрицу
\( P=\sum_{k=1}^{n} p_{k} P_{\psi(k)} \), откуда
\( P_{l m}=\sum_{k=1}^{n} p_{k} c_{l}^{(k)} c_{m}^{(k)} \)
где статистические веса \( p_{k} \) – положительные числа, принимающие значения от 0 до 1 и удовлетворяющие условию \( \sum_{k=1}^{n} p_{k}=1 \). Величины \( \mathrm{c}^{(k)}- \) это составляющие различных векторов \( \psi^{(k)} \) в одной и той же системе базисных функций \( \varphi_{1}, \ldots, \varphi_{i}, \ldots \) Здесь статистическая матрица представляется в виде суперпозиции элементарных статистических матриц\”).
Среднее значение наблюдаемой \( A \) для нашей системы равно
\( \bar{A}=\sum_{k=1}^{n} p_{k} \overline{A_{\psi(k)}} \),
где \( \overline{A_{\psi(k)}} \) есть среднее значение, которое имела бы величина \( A \), если бы система находилась в чистом состоянии \( \psi^{(k)}\left(\overline{A_{\psi(k)}}=\int_{D} \psi^{(k)} A^{(k)} d \tau\right) \). Поскольку \( \overline{A_{\psi(k)}}=\operatorname{Tr}\left(P_{\psi(k)} A\right) \),

мы находим
\[
\bar{A}=\sum_{k=1}^{n} p_{k} \sum_{i}\left(P_{\psi(k)} A\right)_{j j}==\sum_{j}\left(\sum_{k=1}^{n} p_{k} P_{\psi(k) A}\right)_{j j}=\operatorname{Tr}(P \cdot A)=\operatorname{Tr}(A \cdot P) .
\]

Получается такая же формула, как и для чистого состояния.
Статистическая матрица для смешанного, как и для чистого, состояния всегда имеет след, равный единице, поскольку
\( \operatorname{Tr} P=\sum_{m} P_{m m}=\sum_{m} \sum_{k=1}^{n} p_{k} c_{m}^{(k)} c_{m}^{(k)}==\sum_{k=1}^{n} p_{k} \sum_{m}\left|c_{m}^{(k)}\right|^{2}=1 \),
так как функции \( \psi^{(k)}=\sum_{m} c_{m}^{(k)} \varphi_{m} \) нормированы.
В противоположность этому, хотя элементарная статистическая матрица идемпотентна, этим свойством не обладает статистическая матрица смешанного состояния. В самом деле, мы можем показать, что всякая идемпотентная статистическая матрица является элементарной. Для этого предположим, что \( P^{2}=P \), и приведем матрицу \( P \) к диагональному виду, что всегда возможно, так как, поскольку \( p_{i} \) есть \( i \)-й диагональный элемент матрицы \( P \), соотношение \( P^{2}=P \) приводит к равенству \( p_{i}=p_{i}^{2} \). В таком случае элементы \( p_{i} \) равны либо
1) Если в качестве базисных функций \( \varphi_{i} \) выбрать систему собственных функцнй, характеризующих положение, т. е. функций \( \delta\left(q-q^{\prime}\right) \), то \( c_{i}^{(k)} \) будут иметь значения \( \psi^{(k)}\left(q^{\prime}, t\right) \), как можно видеть из формулы
\[
\psi^{(k)}(q, t)=\int \psi^{(k)}\left(q^{\prime}, t\right) \delta\left(q-q^{\prime}\right) d q^{\prime},
\]

и тогда
\[
P\left(q^{\prime}, q^{\prime \prime}\right)=\sum_{k=1}^{n} \psi^{(k)}\left(q^{\prime}\right) \psi^{(k)^{*}}\left(q^{\prime \prime}\right)
\]

Это – «статистическая матрица Дирака» – Л. Б.

0 , либо 1. Соотношение \( \operatorname{Tr} P=1 \), выполняющееся для всякой статистической матрицы, показывает, что лишь одно из значений \( p_{i} \) будет отлично от 0 и равно 1. Поэтому для системы имеется единственная функция \( \psi \), совпадающая с одной из базисных функций в представлении, в котором матрица \( P \) диагонализуется. Таким образом, для того, чтобы статистическая матрица была идемпотентна, необходимо и достаточно, чтобы она была элементарной.

Рассмотрим неэлементарную статистическую матрицу для смешанного состояния. Если бы функции \( \psi^{(1)}, \psi^{(2)}, \ldots, \psi^{(n)} \), которыми характеризуются чистые состояния, входящие в смесь, были взаимно ортогональны (что возможно в отделіьных случаях), то их можно было бы взять в качестве \( n \) первых базисных функций ортонормированной системы. Тогда \( c_{m}^{(k)}=\delta_{k m} \), поскольку \( \psi^{(k)}=\sum_{m} c_{m}^{(k)} \varphi_{m} \) сводится к \( \varphi_{k} \), и \( P_{m n} \) будет равно нулю при \( m
eq n \) и \( P_{k k}=p_{k} \) при \( k \leq n \). В связи с этим статистическая матрица принимает диагональный вид

где \( n \) первых диагональных элементов равны \( p_{1}, \ldots, p_{n} \), а все остальные равны нулю.

Но это – исключительный случай. Вообще же говоря, \( \psi^{(1)}, \psi^{(2)}, \ldots, \psi^{n} \) не являются взаимно ортогональными. Тем не менее эрмитову матрицу можно привести к диагональному виду, но диагональные элементы \( p_{1}^{\prime}, p_{2}^{\prime}, \ldots \) не обязательно будут равны \( p_{1}, p_{2}, \ldots \) :
\[
P=\left|\begin{array}{cccc}
p_{1}^{\prime} & 0 & 0 & 0 \\
0 & p_{2}^{\prime} & 0 & 0 \\
0 & 0 & p_{3}^{\prime} & 0 \\
0 & 0 & 0 & \ddots
\end{array}\right|
\]

Поскольку матрица \( P \) эрмитова, ее элементы \( p_{k}^{\prime} \) – действительные числа. Кроме того, \( \sum_{p_{k}} p_{k}^{\prime}=1 \), поскольку след матрицы равен единице. Покажем, что элементы \( p_{k}^{\prime} \) не могут быть отрицательными. Для этого положим, что \( \xi_{k} \) – координаты вектора \( \Xi \) в гильбертовом пространстве, и рассмотрим скалярное произведение вектора \( \Xi \) на \( P Z \). Оно будет равно
\[
\sum_{m, n} \xi_{m}^{*} \sum_{k=1}^{n} p_{k} c_{m}^{(k)} c_{n}^{(k)^{*}} \xi_{n}=\sum_{k=1}^{n} p_{k} \mid\left(\Xi \cdot \psi^{(k)} \mid\right)^{2} .
\]

Поскольку квадрат модуля скалярного произведения \( \Xi \) на \( \psi^{(k)} \) должен быть положительным или равным нулю и все \( p_{k} \) тоже неотрицательны, произведение ( \( (\cdot \cdot \boldsymbol{P} \boldsymbol{z} \) ) должно быть либо положительным, либо равным нулю. Но если
мы приведем матрицу \( P \) к диагональному виду, то скалярное произведение \( (\Xi \cdot P Z) \geqslant 0 \) примет вид \( \sum_{m} p_{m}^{\prime}\left|\xi_{m}\right|^{2} \), так что
\[
(\Xi \cdot P \Xi)=\sum_{m} p_{m}^{\prime}\left|\xi_{m}\right|^{2} \geq 0,
\]

и это должно выполняться для любого вектора \( \Xi \). Поэтому все элементы \( p_{m}^{\prime} \) либо положительны, либо равны нулю. Поскольку их сумма равна единице, мы имеем
\[
0 \leq p_{m}^{\prime} \leq 1 \text {. }
\]

Отсюда следует, что \( p_{m}^{\prime}-p_{m}^{\prime 2} \geq 0 \), и, стало быть, для любого вектора \( \Xi \) в гильбертовом пространстве выполняется условие
\[
\left(\boldsymbol{\Xi} \cdot\left(P-P^{2}\right) \Xi\right)=\sum_{m}\left|\xi_{m}\right|^{2}\left(p_{m}^{\prime}-p_{m}^{\prime 2}\right) \geq 0 .
\]
4. НЕПРИВОДИМОСТЬ чиСТЫХ СОСТОянИЙ

Теперь мы приходим к очень важной теореме, на основе которой фон Нейман доказал\” невозможность сведения вероятностного характера волновой механики к скрытой детерминированности; его доказательство мы приведем ниже.

Рассматриваемая важная теорема устанавливает действительную специфичность чистых состояний. Она формулируется следующим образом:

Теорема. Чистое состояние невозможно представить в виде смешанного, или, другими словами, чистое состояние нельзя представить в виде суммы чистых состояний.

Если бы это было неверно, то по меньшей мере в некоторых случаях можно было бы иметь соотношение
\[
P=\sum_{i} \alpha_{i} Q_{i}
\]

где \( P \) и \( Q_{i} \) – элементарные статистические матрицы, т. е. идемпотентные эрмитовы матрицы со следом, равным единице, а \( \alpha_{i} \) – положительные числа, для которых \( \sum_{i} \alpha_{i}=1 \). Но тогда мы имели бы
\[
P^{2}=\sum_{i} \alpha_{i}^{2} Q_{i}^{2}+\sum_{i
eq j} \frac{1}{2} \alpha_{i} \alpha_{j}\left(Q_{i} Q_{j}+Q_{j} Q_{i}\right)=
\]
1) Позже автор другими чернилами зачеркнул слово «доказал» и написал «пытался доказать». – Ж. Л.

\[
\begin{array}{l}
=\sum_{i} \alpha_{i}^{2} Q_{i}^{2}+\sum_{i>j} \alpha_{i, j} \alpha_{j}\left[Q_{i}^{2}+Q_{i}^{2}-\left(Q_{i}-Q_{j}\right)^{2}\right]= \\
=\sum_{i}\left[\alpha_{i}^{2}+\alpha_{i} \sum_{j
eq i} \alpha_{j}\right] Q_{i}^{2}-\sum_{i>j} \alpha_{i} \alpha_{j}\left(Q_{i}-Q_{j}\right)^{2}= \\
=\sum_{i} \alpha_{i} Q_{i}^{2}-\sum_{i>j} \alpha_{i} \alpha_{j}\left(Q_{i}-Q_{j}\right)^{2}
\end{array}
\]

поскольку \( \sum_{j
eq i} \alpha_{j}=1-\alpha_{i} \). Таким образом,
\[
P^{2}-P=\sum_{i} \alpha_{i}\left(Q_{i}^{2}-Q_{i}\right)-\sum_{i>j}{ }_{i, j} \alpha_{i} \alpha_{j}\left(Q_{i}-Q_{j}\right)^{2} .
\]

Но \( P^{2}=P \) и \( Q_{i}^{2}=Q_{i} \), т. е.
\[
\sum_{i>j} \alpha_{i, j} \alpha_{j}\left(Q_{i}-Q_{j}\right)^{2}=0,
\]

и, поскольку \( \alpha_{i} \) положительны,
\[
\left(Q_{i}-Q_{j}\right)^{2}=0 \text {. }
\]

Но квадрат эрмитовой матрицы может равняться нулю только в том случае, если сама эта матрица равна нулю, так как если \( A \) – эрмитова матрица, то элементы матрицы \( A^{2} \) равны
\[
\left(a^{2}\right)_{i k}=\sum_{l} a_{i l} a_{l k}=\sum_{l} a_{i l} a^{*}{ }_{k l}
\]

и, если элементы \( \left(a^{2}\right)_{i i} \) равны нулю, то должно выполняться равенство \( \sum_{l}\left|a_{i i}\right|^{2}=0 \), откуда следует, что \( a_{i l}=0 \), т. е. \( A=0 \).

Для эрмитовой матрицы \( Q_{i}-Q_{j} \) из условия \( \left(Q_{i}-Q_{j}\right)^{2}=0 \) следует равенство \( Q_{i}=Q_{j} \), и все \( Q_{i} \) будут совпадать между собой, т. е. \( P=Q_{i} \sum_{i} \alpha_{i}=Q_{i} \), поскольку \( \sum_{i} \alpha_{i}=1 \). Отсюда вытекает, что матрица \( P \) вопреки нашему предположению не является суммой элементарных статистических матриц.

Итак, мы доказали, что чистые состояния неприводимы и что их нельзя представить в виде смеси чистых состояний. Таким образом, чистое состояние в волновой механике обладает двумя следующими свойствами: 1) оно характеризуется элементарной статистической матрицей, тогда как всякое смешанное состояние описывается статистической матрицей, которая не является элементарной; 2) никаким способом его нельзя представить в виде смеси чистых состояний.