Оживленные и интересные дискуссии, в которых приняли участие известные ученые, вызвал вопрос о коррелированных системах, т. е. о таких системах, которые, будучи приведены во взаимодействие, переходят в такие состояния, вероятности которых не являются больше независимыми.

Начало дискуссии по этому вопросу положила работа Эйнштейна, Подольского и Розена [22], комментарии по поводу которой содержатся в статье Шредингера [23] и ответ на которую дается в статье Бора [24]. Дополнительные замечания по этому вопросу можно найти также в работе Фарри [25].

Я изложу суть затронутой в дискуссиях трудности сначала абстрактно. Рассмотрим в самом общем случае две системы 1 и 2. Обозначим через \( x_{1} \) совокупность координат, характеризующих систему 1 , а через \( x_{2} \) – совокупность координат, характеризующих систему 2. В начальный момент системы «разделены», т. е. не взаимодействуют; в этом случае волновая функция системы имеет вид
\( \psi\left(x_{1}, x_{2}\right)=\psi_{1}\left(x_{1}\right) \psi_{2}\left(x_{2}\right) \) (cм. c. 64).
Затем системы взаимодействуют между собой, после чего они разделяются, т. е. взаимодействие прекращается. Чтобы разложить функцию \( \psi \) в ряд, рассмотрим две величины \( A^{(1)} \) и \( A^{(2)} \), относящиеся к обеим системам (и соответствующие полной системе операторов). Пусть \( \alpha_{i}^{(1)} \) и \( \varphi_{i}^{(1)}- \) собственные значения и собственные функции оператора \( A^{(1)} ; \alpha_{i}^{(2)} \) и \( \varphi_{i}^{(2)}- \) собственные значения и собственные функции оператора \( A^{(2)} \). На протяжении взаимодействия в любой момент времени имеем
\( \psi\left(\dot{x}_{1}, x_{2}, t\right)=\sum_{i, k} c_{i k}(t) \varphi_{i}^{(1)} \varphi_{k}^{(2)} \),
причем коэффициенты разложения \( c_{i k} \) найдем по методу вариации постоянных. После окончания взаимодействия получим
\( \psi=\sum_{i, k} c_{i k} \varphi_{i}^{(1)} \varphi_{k}^{(2)} \),

где величины \( c_{i k} \) уже не зависят от времени. В ряде случаев предыдущее разложение может быть записано в виде
\[
\psi=\sum_{i, i^{\prime}} c_{i i^{\prime}} \varphi_{i}^{(1)} \varphi_{i}{ }^{\prime(2)},
\]

где каждому значению \( i \) соответствует одно и только одно значение \( i^{\prime} \) и наоборот.

Если после взаимодействия измеряют величину \( A^{(2)} \) для системы 2 и получают значение \( \alpha_{i^{\prime}}^{(2)} \), то на основании общих принципов волновой механики можно утверждать, что система 1 находится в состоянии, для которого величина \( A^{(1)} \) имеет собственное значение \( \varphi_{i}^{(1)} \). В результате взаимодействия возникла «корреляция» между собственными значениями величин \( A^{(1)} \) и \( A^{(2)} \), несмотря на то, что системы разделены.

Может показаться, что данное утверждение противоречит здравому смыслу. До сих пор мы говорили, что если система находится в состоянии, в котором величина \( A \) не имеет определенного значения, но может принимать цельй ряд возможных значений, и если мы точно измерим величину \( A \), то мы переведем систему в состояние, в котором \( A \) имеет вполне определенное значение. При этом само измерение величины \( A \) приводит к неконтролируемому возмущению системы, вследствие которого мы теряем сведения о значениях величин, не коммутирующих с \( A \). Это мы объясняли тем, что при измерении мы обязательно воздействуем на систему, причем существование кванта действия не позволяет сделать такое воздействие бесконечно малым. Что же касается коррелированных систем, то здесь возникает парадоксальная ситуация: измерение проводится над системой 2 , которая по предположению отделена от системы 1, а в результате изменяется состояние системы 1. Как выразился Шредингер, «это было бы магией» (Das wäre Magie).

Можно было бы, очевидно, выйти из затруднительного положения, заявив, что опыт, проведенный над системой 2 , не меняет состояния системы 1 , а меняет лишь наши знания о состоянии системы 1. Но тогда пришлось бы допустить, что после взаимодействия величина \( A^{(1)} \) имеет определенное значение и что наличие в функции \( \psi \) нескольких членов характеризует лишь наше незнание этого точного значения \( A^{(1)} \). Тогда вероятности, вводимые в волновой механике, были бы следствием лишь нашего незнания истинного значения величин, а не недетерминированности зтих значений, что привело бы нас к «классической» интерпретации волновой механики. Но, как следует из рассмотренных выше результатов, в частности из интерференции вероятностей, и как более подробно будет показано далее, подобного рода классическая интерпретация волновой механики неприемлема. В общем случае величины не имеют числовых значений до измерения; именно измерение в некотором смысле создает значение величины. Такое представление может казаться вполне приемлемым, когда измерение производится над системой, к которой относится измеряемая величина, но оно кажется невозможным, если измерение производится над другой системой, совершенно не связанной с первой.

Чтобы еще больше подчеркнуть характер возникающей трудности, Эйнштейн, Подольский и Розен указали на то обстоятельство, что физик свободен «в выборе» проводимого им измерения. Вместо того чтобы рассматривать величины \( A^{(1)} \) и \( A^{(2)} \), мы можем взять другие величины \( B^{(1)} \) и \( B^{(2)} \), имеющие собственные значения и собственные функции \( \beta_{i}^{(1)}, \chi_{i}^{(2)} \) и \( \beta_{i}^{(2)}, \chi_{i}^{(2)} \). Может оказаться (Эйнштейн, Подольский и Розен демонстрируют это на примере, который мы разберем далее), что после измерения волновая функция \( \psi \) будет иметь вид
\[
\psi=\sum_{i, i^{\prime}} c_{i i^{\prime}} \varphi_{i}^{(1)} \varphi_{i}^{\prime}{ }^{(2)}=\sum_{k, k^{\prime}} d_{k k^{\prime}} \chi_{k}^{(1)} \chi_{k^{\prime}},
\]

где между \( i \) и \( i^{\prime} \), а также между \( k \) и \( k^{\prime} \) имеется взаимно однозначное соответствие. Тогда если после взаимодействия мы измерим величину \( A^{(2)} \), относящуюся к системе 2 , и если для нее получим значение \( \alpha_{l}(2) \), то мы будем знать, что величина \( A^{(1)} \) для системы 1 имеет значение \( \alpha_{i}^{(1)} \). Если же мы измерим величину \( B^{(2)} \) и для нее получим значение \( \beta_{k}{ }^{(2)} \), то тем самым мы будем знать, что величина \( B^{(1)} \) для системы 1 имеет значение \( \beta_{k}^{(1)} \). Таким образом, после взаимодействия физик может по своему выбору измерять для системы 2 либо \( A^{(2)} \), либо \( B^{(2)} \), причем это имеет место также и в том случае, когда величины \( A^{(2)} \) и \( B^{(2)} \) не коммутируют между собой и не могут быть измерены одновременно. Стало быть, даже не имея контакта с системой 1 , отделенной от системы 2, мы вынуждены приписывать точные значения либо \( A^{(1)} \), либо \( B^{(1)} \) в зависимости от измерений, относящихся к системе 2. Этот результат еще более парадоксален и даже кажется противоречащим соотношению неопределенностей Гейзенберга, если \( A^{(1)} \) и \( B^{(1)} \) – канонически сопряженные величины типа \( x \) и \( p_{x} \).

Эйнштейн, Подольский и Розен приняли следующее определение для «физической реальности наблюдаемой величины»: «если можно, никоим образом не возмуцая систему, с определенностью предсказать численное значение некой физической величины, то существует объект физической реальности, соответствующий этой величине». В рассмотренном выше случае величины \( A^{(1)} \) и \( B^{(1)} \) обладают физической реальностью после взаимодействия систем и, поскольку в волновой механике невозможно одновременно точно определить числовые значения канонически сопряженных величин \( A^{(1)} \) и \( B^{(1)} \), согласно названным авторам, можно сделать вывод, что волновая механика «не дает полного описания физической реальности».

Чтобы обсудить вопрос более детально, разберем теперь пример Эйнштейна, Подольского и Розена, который позднее анализировался Шредингером.

Рассмотрим две частицы, движущиеся вдоль оси \( x \). Здесь мы имеем дело с двумя системами, каждая из которых определяется одной координатой: \( x_{1} \) – для первой системы и \( x_{2} \) – для второй системы. Предположим, что волновая функция системы имеет вид
\( \psi\left(x_{1}, x_{2}\right)=\int \oint \delta(a-b) \delta\left(x_{1}-a\right) \delta\left(x_{2}-b\right) d a d b= \)
\[
=\int \delta\left(x_{1}-a\right) \delta\left(x_{2}-a\right) d a .
\]

Поскольку
\[
\delta\left(x_{1}-a\right)=\int \exp \left[2 \pi i k\left(x_{1}-a\right)\right] d k,
\]

можно также написать
\[
\begin{array}{l}
\psi\left(x_{1}, x_{2}\right)=\iiint \exp \left[2 \pi i k_{1}\left(x_{1}-a\right)\right] \exp \left[2 \pi i k_{2}\left(x_{2}-a\right)\right] d k_{1} d k_{2} d a, \\
\psi\left(x_{1}, x_{2}\right)=\iint \delta\left(k_{1}+k_{2}\right) \exp \left[2 \pi i\left(k_{1} x_{1}+k_{2} x_{2}\right)\right] d k_{1} d k_{2}, \\
\psi\left(x_{1}, x_{2}\right)=\int \exp \left[2 \pi i k_{1}\left(x_{1}-x_{2}\right)\right] d k_{1} .
\end{array}
\]

Из этих различных выражений для \( \psi \) следует, что: 1) если измерить \( x_{2} \), то получим \( \left.x_{1}=x_{2} ; 2\right) \) если измерить \( k_{2} \), то будем иметь \( k_{1}=-k_{2}\left(k_{1}\right. \) и \( k_{2} \) с точностью до множителя \( 1 / h \) являются импульсами обеих частиц) \( { }^{1)} \).

Какой физический смысл имеет функция \( \psi \) ? Чтобы установить это, предположим, что у нас имеется экран с очень узкой прямоугольной щелью. Если в плоскости экрана перпендикулярно щели положение точки характеризуется переменной \( x \), то положение щели будет определяться значением \( x=a \).

Пусть по нормали к одной из сторон экрана падает волна, сопоставляемая частице 1 , и волна, сопоставляемая частице 2 , и обе частицы движутся равномерно и прямолинейно. За экраном волновая функция \( \psi \) системы из двух частиц имеет указанный выше вид, поскольку она равна нулю всюду, кроме точки \( x=a \), соответствующей щели, и поскольку обе частицы должны пройти через щель, чтобы попасть в пространство за экраном. Предположим, что мы точно знаем импульс экрана вдоль оси \( O X \). В этом случае нам неизвестно положение щели и все значения величины \( a \) равновероятны. В связи с этим мы имеем выражение
\[
\psi=\int \delta\left(x_{1}-a\right) \delta\left(x_{2}-a\right) d a,
\]

которое соответствует присутствию двух частиц в щели при совершенно неопределенном положении самой щели.

Но поскольку мы точно знаем импульс экрана, который по предположению не изменяется при прохождении частицы через щель \( { }^{2} \), то из закона со-
1) Другими словами, \( x_{1}-x_{2}{ }^{\zeta}=0, k_{1}+k_{2}=0 \). Может существовать состояние \( \psi \), для которого \( x_{1}-x_{2} \) и \( p_{1}+p_{2}-k_{1}+k_{2} \) имеют точные значения, поскольку \( \left[\left(x_{1}-x_{2}\right),\left(p_{1}+p_{2}\right)\right]=\left[x_{1}, p_{1}\right]+\left[x_{1}, p_{2}\right]-\left[x_{2}, p_{1}\right]-\left[x_{2}, p_{2}\right]=0 \), так как \( \left[x_{1}, p_{2}\right]= \) \( =\left[x_{2}, p_{1}\right]=0 \) и \( \left[x_{1}, p_{1}\right]=\left[x_{2}, p_{2}\right]=h / 2 \pi i .- \) Л. Б.
2) См. замечание на с. 182 . – Л. Б.

—————————————————————-
001_book2_original_page-0182.jpg.txt

Некоторые трудные вопросы волновой механики
\( 18 I \)
хранения составляющей импульса по оси \( x \) следует, что \( k_{1}+k_{2}=0 \), так как все значения \( k_{1} \) равновероятны, а это позволяет получить другое выражение для функции \( \psi \), а именно
\[
\psi=\iint \delta\left(k_{1}+k_{2}\right) \exp \left[2 \pi i\left(k_{1} x_{1}+k_{2} k_{2}\right)\right] d k_{1} d k_{2} .
\]

Но, согласно Эйнштейну, Подольскому, Розену, мы можем по своему усмотрению измерять \( x_{2} \) или \( k_{2} \), что позволяет нам либо приписать положению частицы 1 значение \( x_{1}=x_{2} \), либо приписать импульсу той же частицы (деленному на \( h \) ) значение \( k_{1}=-k_{2} \), и, поскольку характер одного из этих двух измерений не влияет на первую частицу, этой частице без какого-либо воздействия на нее мы можем приписать либо положение, либо импульс. Это и приводит к отмеченной выше трудности.

Следует признать, что в приведенном нами изложении рассмотренный пример представляется совершенно неподходящим. В самом деле, из вида функции \( \psi \) явствует, что положение частицы 1 совпадает с положением частицы 2. Поэтому здесь нельзя говорить, что системы разделены, а если они не разделены, то больше не существует и парадокса, так как любое измерение первой частицы, очевидно, затрагивает и вторую частицу. Чтобы избежать этого возражения, Эйнштейн, Подольский и Розен исследовали не рассмотренное выше выражение для \( \psi \), а функцию \( \psi \) вида
\[
\begin{aligned}
\psi=\iint \delta\left(x_{1}-a\right) \delta\left(x_{2}-b-d\right) \delta(a-b) d a d b= & \\
& =\int \delta\left(x_{1}-a\right) \delta\left(x_{2}-a-d\right) d a,
\end{aligned}
\]
\[
\begin{array}{l}
\psi=\iint \delta\left(k_{1}+k_{2}\right) \exp \left[2 \pi i\left(k_{1} x_{1}+k_{2} x_{2}\right) \exp \left(-2 \pi i k_{2} d\right) d k_{1} d k_{2}=\right. \\
=\int \exp \left[2 \pi i k_{1}\left(x_{1}-x_{2}+d\right)\right] d k_{1},
\end{array}
\]

где \( d \) – отличная от нуля постоянная. При таком выражении для \( \psi \) можно видеть, что измерение \( k_{2} \) для частицы 2 всегда приводит к \( k_{1}=-k_{2} \), но измерение \( x_{2} \) для частицы 2 влечет за собой \( x_{1}=x_{2}-d \). Таким образом, мы снова приходим здесь к такому же парадоксальному выводу, как и в рассмотренном ранее примере, но поскольку равенство \( x_{1}=x_{2} \) уже не имеет более места, то, по-видимому, системы можно считать разделенными, так что пример, казалось бы, более полно иллюстрирует характер возникающей трудности.

В действительности же введение параметра \( d \) не дает заметного преимущества. Это становится очевидным, если попытаться дать физическую интерпретацию новому выражению для \( \psi \), как это делал в своей статье Бор. В самом деле, рассмотрим экран не с одной очень узкой щелью, а с двумя параллельными узкими щелями, расположенными на расстоянии \( d \) одна от другой. В начальный момент две частицы характеризуются плоскими монохроматическими волнами, падающими по нормали с одной стороны на экран.

Если в начальный момент нам точно известен импульс \( p_{x} \) экрана вдоль оси \( O x \), то положение экрана вдоль оси \( O x \) (а следовательно, и абсцисса \( a \) первой щели) остается неизвестным, поскольку все значения \( x \) будут равновероятны. Тогда значение волновой функции \( \psi \) системы сзади экрана будет характеризоваться формулой \( \psi=\int \delta\left(x_{1}-a\right) \delta\left(x_{2}-a-d\right) d a \), выражающей факт при-
Рис. 11

сутствия частицы 1 в первой щели и частицы 2 во второй при неопределенном положении двух щелей.

Если импульс экрана не изменяется, то мы должны иметь \( k_{1}+k_{2}=0 \), что соответствует выражению
\( \psi=\iint \delta\left(k_{1}+k_{2}\right) \exp \left[2 \pi i\left(k_{1} x_{1}+k_{2} x_{2}\right)\right] \exp \left(-2 \pi i k_{2} d\right) d k_{1} d k_{2} \).
Замечание. На первый взгляд может показаться, что здесь, как и на с. 180 , делается произвольное предположение, что экран не обменивается с частицами импульсами. Это возражение нетрудно устранить. Обозначим через \( x_{0} \) координату первой щели и для учета импульса экрана обозначим через \( K_{0} \) заданное значение его начального импульса, а через \( K_{1} \) – его конечный импульс. Тогда
\[
\begin{aligned}
\psi=\iiint \delta\left(k_{1}+k_{2}+K_{1}-K_{0}\right) \exp \times & \left(2 \pi i k_{1} x_{1}\right) \exp \left[2 \pi i k_{2}\left(x_{2}-d\right)\right] \times \\
& \times \exp \left[2 \pi i\left(K_{1}-K_{0}\right) x_{0}\right] d k_{1} d k_{2} d K_{1},
\end{aligned}
\]

\[
\begin{array}{l}
\psi=\iiint \int \exp \left[-2 \pi i\left(k_{1}+k_{2}+K_{1}-K_{0}\right) a\right] \ldots d k_{1} d k_{2} d K_{1} d a, \\
\psi=\int \delta\left(x_{1}-a\right) \delta\left(x_{2}-a-d\right) \delta\left(x_{0}-a\right) d a .
\end{array}
\]

Это выражение показывает, что если измерить координату \( x_{1} \) первой щели, мы получим \( x_{1}=x_{0} \) и \( x_{2}=x_{0}+d \), а если измерить \( K_{1} \) и \( k_{1} \) то мы получим соотношение \( k_{2}=K_{0}-K_{1}-k_{1} \), выражающее закон сохранения импульса. В предыдущих рассуждениях неявно предполагалось, что в результате измерения получено \( K_{1}=K_{0} \).

Выяснив таким образом физический смысл рассмотренной нами функции \( \psi \), мы видим, что, поскольку участок экрана шириной \( d \) осуществляет передачу импульса между двумя частицами, частицы следует считать взаимодействующими между собой, когда \( x_{2}=x_{1}+d \). Но в таком случае их нельзя считать «изолированными», и мы снова видим, что по крайней мере частично трудность связана с точным смыслом слова «изолированные», задача определения которого в волновой механике усложняется тем, что в общем случае не может быть точной локализации частицы в заданном состоянии \( \psi \).

В своей работе, явившейся ответом на работу Эйнштейна, Подольского и Розена, Бор подчеркнул то обстоятельство, что в квантовой механике нельзя отрывать математический формализм от экспериментальных устройств, при помоши которых производится измерение. Поэтому он сразу же дал физическую интерпретацию функции \( \psi \), рассматриваемой Эйнштейном, Подольским и Розеном, взяв экран с двумя щелями. И тогда стало ясно, что два возможных вида измерений (положений и импульсов) соответствуют разным экспериментальным устройствам. При измерении положений необходимо закрепить экран на макроскопическом основании, определяющем нашу пространственную систему координат. Тогда первая щель будет иметь известную координату \( x_{0}=a \) и мы получим \( x_{1}=x_{0} \) и \( x_{2}=x_{1}+d \). Однако сведения об импульсе полностью теряются, поскольку, если щель жестко закреплена в нашем устройстве, то импульс отдачи экрана теряется в основании устройства. Если же мы хотим измерить импульс, то необходимо измерить начальное и конечное значения импульса экрана, а для этого нужно, чтобы он сохранял свою подвижность, откуда следует, что нельзя будет точно узнать координаты щелей. В этом случае изменение \( K_{0}-K_{1} \) импульса экрана известно и измерение величины \( k_{2} \) дает для \( k_{1} \) значение \( k_{1}=-k_{2}+K_{0}-K_{1} \). Задачу нельзя рассматривать абстрактно, в отрыве от экспериментального устройства, поскольку с самого начала опыта необходимо сделать приготовления, соответствующие одному из возможных видов измерений. Бор выразил его следующими словами: «Мы здесь имеем дело не с неполным описанием, основанным на произвольном выборе некоторых элементов физической реальности, при котором теряются сведения о некоторых других элементах реальности, а с рациональным выбором одного из существенно различающихся экспериментальных устройств и одной из существенно различающихся процедур, позволяющих либо недвусмысленно пользоваться представлением о пространственно-временной локализации, либо обоснованно применять закон сохранения импульса». В

—————————————————————-
001_book2_original_page-0185.jpg.txt

184
Глава X
этой связи Бор сделал также важное замечание \( { }^{1)} \), что в конечном счете импульс всегда измеряют, передавая его какому-либо макроскопическому телу, к которому можно применить понятия классической механики и импульс которого вследствие этого можно определить по двум значениям координаты, измеренным с достаточно большим временным интервалом.

Впрочем; «эксперименталистская» точка зрения Бора, как нам представляется, согласуется с замечанием о том, что в действительности две системы не