Мы показали, что в случае двух коммутирующих величин нетрудно определить характеристическую функцию и найти распределение вероятностей, поступая так, как это обычно делается в статистике. В случае же некоммутирующих величин, которые, как мы знаем, не могут быть одновременно измерены, в соответствии со сказанным на с. 208 и далее при применении обычного аппарата мы должны ожидать трудностей. Так и происходит в действительности, в связи с чем нам нужно тщательно изучить данную проблему. Но сначала уточним некоторые важные вопросы.
a) Еще раз о редукции пакета вероятности в прочессе измерения
Как мы знаем, в физической интерпретации волновой механики измерение играет принципиально важную роль. Именно оно, давая нам новую информацию, изменяет состояние наших знаний об изучаемой системе и тем самым заставляет нас резко менять форму волны \( \psi \), которая представляет все, что нам известно о системе. Например, если при измерении более или менее точно определяется положение, то волновой пакет, который до измерения характеризовался функцией \( \psi \), «редуцируется» в более узкий волновой пакет, который стягивается почти в точку, если измерение является точным, поскольку уменьшаются размеры области пространства, в которой вероятность \( |\psi|^{2} \) отлична от нуля. Этим и объясняется термин «редукция пакета вероятности», введенный Гейзенбергом для указанного резкого изменения функции \( \psi \). Если же при измерении определяется одна из составляющих импульса, то редукция пакета вероятности происходит не в обычном, а в импульсном пространстве.

Редукция пакета вероятности приводит к новому состоянию, характеризующемуся новой функцией \( \psi \), – состоянию, которое нельзя было предсказать заранее, поскольку до фактического проведения измерений можно было вычислить лишь вероятности различных результатов измерения. В последних главах данной книги мы более детально проанализируем вопрос о том, каким образом операция измерения выделяет одну из возможностей, имевшихся в том состоянии, которое существовало до измерения. Вместе с фон Нейманом мы покажем, что недетерминированность, вводимая таким путем в атомную физику, несомненно, носит принципиальный характер, поскольку невозможно объяснить) необходимость введения вероятностей так, как это делается в классической физике, – тем, что нам неизвестны точные значения некоторых «скрытых» величин.

Если измерение дало нам максимум сведений, допускаемый теорией некоммутирующих переменных, то мы можем найти волновую функцию \( \psi \), характеризующую наши знания после измерения, и затем проследить за ее эволюцией во времени по волновому уравнению. Таким путем можем вычислять вероятности результатов различных измерений, которые захотели бы провести в какой-либо момент времени. Так обстоит дело до тех пор, пока мы не узнаем результаты новых измерений, которые изменят состояние наших знаний и резко прервут плавную эволюцию волны \( \psi \). Эволюция же волны \( \psi \) в промежутке между двумя измерениями, описываемая волновым уравнением, полностью определяется начальным значением \( \psi \), так как относительно времени волновое уравнение есть уравнение первого порядка. Таким образом, можно говорить о детерминированности эволюции функции \( \psi \) между двумя измерениями, но не о детерминированности наблюдаемых явлений.

Зная величину \( \psi \) после измерения, совершенно невозможно найти функцию \( \psi \) до измерения, так что измерение вносит в эволюцию разрыв. Возьмем очень большое число систем, находящихся в одном и том же состоянии \( \psi \), и для каждой из них измерим какую-либо величину \( A \) с собственными функциями \( \varphi_{l} \) и собственными значениями \( \alpha_{l} \); доля систем, для которых величина \( A \) принимает значение \( \alpha_{l} \), будет равна квадрату модуля коэффициента \( c_{l} \) в разложении \( \psi=\sum_{l} c_{l} \varphi_{l} \) функции \( \psi \) до измерения. Таким образом, если мы знаем функцию \( \psi \) для ансамбля систем после измерения, то мы можем найти значения \( \left|c_{l}\right|^{2} \), т. е. модули коэффициентов \( c_{l} \), но для того, чтобы найти саму функцию \( \psi \) до измерения, нам нужно знать еще и фазы коэффициентов \( c_{l} \), а таких сведений у нас нет.

Итак, при всяком измерении полностью теряется информация о фазах (Бор). Из этого следует, что акт измерения вносит в эволюцию функции \( \psi \)
1) Поправка, сделанная другими чернилами и несомненно гораздо позднее, существенно ослабляет это утверждение, которое в новой редакции выглядит так: «Вместе с фон Нейаном мы спросим себя, не носит ли недетерминированность, вводимая таким путем в атомную физику, принципиального характера и действительно ли невозможно объяснить … »\”. Курсивом мы выделили новые слова, добавленные автором; обратим внимание на исчезновение слова «несомненно». – Ж. Л.
разрыв, непреодолимый как в направлении от прошлого к будущему, так и в қаправлении от будущего к прошлому. Разности же фаз между состояниями \( \varphi_{i} \) функции \( \psi \) имеют принципиально важное значение; любые сведения о \( \psi \), не содержащие информации о разности фаз, следует считать существенно неполными. Все важное значение фаз можно увидеть при исследовании принципиального вопроса об интерференции вероятностей.
б) Интерференция вероятностей
Рассмотрим две величины \( A \) и \( B \), которые будем считать не коммутирующими между собой. Пусть собственными значениями и собственными функциями наблюдаемой \( A \) будут \( \alpha_{i} \) и \( \varphi_{i} \), а наблюдаемой \( B-\beta_{i} \) и \( \chi_{i} \). Наборы функций \( \varphi_{i} \) и \( \chi_{i} \) не могут совпадать, так как операторы \( A \) и \( B \) не коммутируют (см. теорему на с. 89). Поскольку собственные функции \( \chi_{k} \) образуют полную систему, функции \( \varphi_{i} \) можно выразить через \( \chi_{k} \) по формулам вида
\[
\varphi_{i}=\sum_{k} s_{i k} \chi_{k},
\]

где \( s_{i k} \) – элементы унитарной матрицы \( \mathscr{f} \). В этом разложении, вообще говоря, должно быть несколько членов, поскольку системы функций \( \varphi_{i} \) и \( \chi_{k} \) не совпадают между собой. Предіположим теперь, что началіное состояние системы характеризуется волновой функцией \( \psi=\sum_{i} c_{i} \varphi_{i} \). Тогда имеем
\[
\psi=\sum_{i} c_{i} \varphi_{i}=\sum_{i, k} c_{i} s_{i k} \chi_{k} .
\]

Если для системы, находящейся в данном состоянии, измерить величину \( \boldsymbol{A} \), то мы получим одно из собственных значений \( \alpha_{i} \), причем вероятность получить значение \( \alpha_{j} \) будет равна \( \left|c_{j}\right|^{2} \). После этого измерения система окажется в состоянии \( \varphi_{i} \), а в этом новом состоянии измерение величины \( B \) дает значение \( \beta_{k} \) с вероятностью \( \left|s_{i k}\right|^{2} \). Таким образом, полная вероятность получить для \( B \) значение \( \beta_{k} \), измерив сначала \( A \), а затем \( B \), будет равна \( \sum_{i}\left|c_{i}\right|^{2}\left|s_{i k}\right|^{2} \).

Предположим теперь, что мы измеряем величину \( \dot{B} \) непосредственно в начальном состоянии \( \psi \). Тогда, разложив \( \downarrow \) по функциям \( \chi_{k} \), на основании общих принципов волновой механики получим, что вероятность получить для \( B \) значение \( \beta_{k} \) равна \( \left|\sum_{i} c_{i} s_{i k}\right|^{2} \).

Это выражение существенно отличается от предыдущего, поскольку оно зависит от фаз козффициентов \( c_{i} \) и \( s_{i k} \), тогда как предыдущее выражение от них не зависит.

Приведем простой пример. Рассмотрим одномерную область протяженностью \( L \). В этой области нормированные собственные функции импульса \( p=A \) имеют вид
\[
\varphi_{i}=\frac{1}{\sqrt{L}} \exp \left(-\frac{2 \pi i}{h} p_{i} x\right) .
\]
Пусть
\[
\psi=\sum_{i} \frac{c_{i}}{\sqrt{L}} \exp \left(\frac{2 \pi i}{h}\left(W_{i} t-p_{i} x\right)\right)
\]

будет волновая функция частицы в начальном состоянии. Если сначала измерить импульс \( p \), а затем координату \( x \), то вероятность получить значение \( x=x_{0} \) будет равна
\[
\sum_{i}\left|c_{i}\right|^{2}\left|\frac{1}{\sqrt{L}} \exp \left(-\frac{2 \pi i}{h} p_{i} x_{0}\right)\right|^{2}=\frac{1}{L}
\]
(поскольку \( \sum_{i}\left|c_{i}\right|^{2}=1 \) ). Таким образом, все возможные положения частицы в рассматриваемой области \( L \) будут равновероятны. Если же непосредственно измерять \( x \) в начальном состоянии, то вероятность получить значение \( x=x_{0} \) будет равна
\[
\left|\sum_{i} \frac{c_{i}}{\sqrt{L}} \exp \left(-\frac{2 \pi i}{h} p_{i} x_{0}\right)\right|^{2},
\]

что соответствует интерференции плоских волн, составляющих \( \psi \), причем данное выражение необходимо для объяснения явления интерференции в оптике и при дифракции электронов. Итак, мы видим, что интерференция вероятностей, существование которой необходимо для интерпретации экспериментальных данных, в большой степени зависит от фаз, и, следовательно, фазы играют очень важную роль.

То обстоятельство, что вероятность получить значение \( \beta_{k} \) величины \( B \), измерив ее непосредственно в начальном состоянии, равна \( \left|\sum_{i} c_{i} s_{i k}\right|^{2} \), а не \( \sum_{i}\left|c_{i}\right|^{2}\left|s_{i k}\right|^{2} \), может показаться противоречащим теореме об умножении вероятностей. Но на самом деле противоречия нет. Величина \( \sum_{i}\left|c_{i}\right|^{2}\left|s_{i k}\right|^{2} \) есть вероятность для того случая, когда сначала измеряется \( A \), а затем \( B \), но она совершенно не обязана быть равной вероятности получить значение \( \beta_{k} \) величины \( B \) при измерении \( B \) непосредственно в начальном состоянии, поскольку измерение величины \( A \), несовместимое с измерением величины \( B \), полностью меняет вероятностное состояние.

Некоторые недоразумения в данном вопросе могут возникать из-за того, что, как мы видели, при обычных статистических применениях теории вероятностей допускается, что измерение одной случайной величины (в терминологии статистики – «испытание») никак не сказывается на вероятностях других случайных величин. Такая гипотеза, которая, очевидно, справедлива, когда речь идет о задачах из области макроскопической физики, которыми обычно и занимается статистика, совершенно неприемлема в микрофизике.
Именно этим объясняется невозможность в случае некоммутирующих величин сконструировать функции \( \rho(\alpha, \beta), \rho_{B}^{(A)}(\alpha, \beta), \rho_{A}^{(B)}(\alpha, \beta) \), соответствующие той схеме, которую обычно принимают в классической статистике. С этим, в частности, мы и столкнемся, рассматривая попытку такого рода (впрочем, очень интересную), сделанную Бассом [35].
в) Функция распределения \( \rho\left(x, p_{x}\right) \) Вигнера [36] и Басса
Рассмотрим две канонически сопряженные величины \( x \) и \( p_{x} \). Мы знаем, что они не коммутируют между собой и не могут быть измерены одновременно. Априори можно сказать, что не должно существовать плотности распределения \( \rho\left(x, p_{x}\right) \), определяемой обычным образом, поскольку тогда величина \( p\left(x, p_{x}\right) d x d p_{x} \) должна была бы быть равна вероятности одновременного нахождения значения \( x \) в интервале \( d x \) и значения \( p_{x} \) в интервале \( d p_{x} \). Но определить одновременно \( x \) и \( p_{x} \) невозможно, а если проводить измерения этих двух величин последовательно, то первое измерение будет полностью нарушать вероятностное состояние, существовавшее ранее.

Тем не менее Бассу удалось весьма хитроумно подобрать функцию \( \rho\left(x, p_{x}\right) \), для которой выполняются условия
\[
\int \rho(\alpha, \beta) d \alpha=\rho_{B}(\beta), \quad \int \rho(\alpha, \beta) d \beta=\rho_{A}(\alpha) .
\]

И все же, как мы увидим, нельзя считать, что эта функция дает одновременную вероятность значений \( \alpha \) и \( \beta \).

Чтобы получить функцию Басса, будем рассуждать следующим образом. Возьмем в качестве исходной формулу Арнуса для двух коммутирующих величин
\[
\varphi(u, v)=\int \psi^{*} e^{i u A} e^{i v B} \psi d \tau
\]

и попытаемся (от чего благоразумно воздержался Арнус) применить ее к двум некоммутирующим переменным. Мы тотчас же столкнемся со следующей трудностью. Если в случае коммутирующих переменных можно под знаком интеграла писать либо \( e^{i u A} e^{i v B} \), либо \( e^{i v B / 2} e^{i u A} e^{i v B / 2} \), поскольку экспоненты, разумеется, коммутируют, то здесь этого, казалось бы, сделать уже нельзя. Но, как нетрудно убедиться, на самом деле эти два выражения оказываются равными, даже если \( A \) и \( B \) не коммутируют между собой. Например, при \( A=x \) и \( B=p_{x} \) мы можем положить (не принимая во внимание зависимость от переменных \( y, z, \ldots \) )
\[
\begin{aligned}
\varphi(u, v)=\int_{-\infty}^{\infty} \psi^{*}(x) \exp \left(i \frac{v}{2}\left(p_{x}\right)_{\text {onep }}\right) \exp (\text { iux }) & \times \\
& \times \exp \left(i \frac{v}{2}\left(p_{x}\right)_{\text {onep }}\right) \psi(x) d x .
\end{aligned}
\]

Поскольку оператор \( \exp \left[i(v / 2)\left(p_{x}\right)_{\text {опер }}\right\} \) эрмитов, с учетом свойств операторов
\[
\begin{array}{l}
\exp \left\{ \pm i(v / 2)\left(p_{x}\right)_{\text {опер }\}}\right\} \text { можно написать } \\
\varphi(u, v)=\int_{-\infty}^{\infty}\left[\exp \left(-i \frac{v}{2}\left(p_{x}\right)_{\text {oпер }}\right) \psi^{*}(x)\right] \exp (\text { iux }) \exp \left(i \frac{v}{2}\left(p_{x}\right)_{\text {oпер }}\right) \psi(x) d x= \\
=\int_{-\infty}^{\infty} \psi^{*}\left(x+\frac{h v}{4 \pi}\right) \exp (\text { iux }) \psi\left(x-\frac{h v}{4 \pi}\right) d x .
\end{array}
\]

Это и есть выражение для функции, которую можно было бы назвать «характеристической функцией Вигнера – Басса», но которая, как это будет видно далее, в действительности не является истинной характеристической функцией.

Путем обратного преобразования Фурье перейдем к плотности распределения:
[здесь в выражении для экспоненты \( \exp \left(-i v p_{x}\right. \) ) величина \( p_{x} \) – собственное значение, а не оператор \( \left(p_{x}\right)_{\text {опер }} \) ]. Подставляя в эту формулу выражение, полученное выше для \( \varphi(u, v) \), находим
\[
\begin{array}{l}
\rho\left(x, p_{x}\right)=\frac{1}{4 \pi^{2}} \iint_{-\infty}^{\infty} \int \psi^{*}\left(w+\frac{h v}{4 \pi}\right) \exp (i u(w-x)) \times \\
\times \exp \left(-i v p_{x}\right) \psi\left(w-\frac{h v}{4 \pi}\right) d u d v d w .
\end{array}
\]

Ho
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \exp (i u(w-x)) d u=2 \pi \delta(w-x)=2 \pi \lim _{N \rightarrow \infty} \sin \frac{2 \pi N(w-x)}{\pi(w-x)} .
\]

Следовательно,
\[
\rho\left(x, p_{x}\right)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \psi^{*}\left(x+\frac{h v}{4 \pi}\right) \exp \left(-i v p_{x}\right) \psi\left(x-\frac{h v}{4 \pi}\right) d z,
\]

и, положив \( z=h v / 4 \pi \), получим
\[
\rho\left(x, p_{x}\right)=\frac{2}{h} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left(-\frac{4 \pi i}{h} p_{x} z\right) \psi^{*}(x+z) \psi(x-z) d z .
\]
Это и есть плотность распределения Вигнера – Басса \( { }^{1)} \).
Мы покажем, что, хотя это выражение и получено путем недостаточно строгих рассуждений, оно удовлетворяет двум условұям:
\( \rho_{A}(\alpha)=\int \rho(\alpha, \beta) d \beta, \quad \rho_{B}(\beta)=\int \rho(\alpha, \beta) d \alpha \).
Здесь мы в силу принципа интерференции имеем \( \rho_{A}(\alpha)=|\psi(x)|^{2} \). Таким образом, первое из указанных условий имеет вид
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \rho\left(x, p_{x}\right) d p_{x}=|\psi(x)|^{2} .
\]

Напишем
\[
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty} \rho\left(x, p_{x}\right) d p_{x}=\frac{2}{h} \int_{-\infty}^{\infty}\left[\lim _{p_{x} \rightarrow \infty}\left(-\frac{h}{2 \pi z} \sin \frac{4 \pi}{h} p_{x} z\right)\right] \times \\
\times \psi(x-z) \psi^{*}(x+z) d z .
\end{aligned}
\]

Поскольку
\[
\delta(u)=\lim _{p_{x} \rightarrow \infty} \frac{\sin 2 \pi p_{x} u}{\pi u},
\]

мы получим то, что и требовалось доказать:
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \rho\left(x, p_{x}\right) d p_{x}={ }_{h}^{2} \int_{-\infty}^{\infty} \delta\left(\frac{2 z}{h}\right) \psi(x-z) \psi^{*}(x+z) d z=|\psi(x)|^{2},
\]

где мы воспользовались свойством \( \delta \)-функции Дирака, взяв в качестве переменной интегрирования \( 2 z / h \).
Вторая формула, которую необходимо доказать, имеет вид
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \rho\left(x, p_{x}\right) d x=\left|c\left(p_{x}\right)\right|^{2},
\]

где \( c\left(p_{x}\right)- \) коэффициент перед экспонентой \( \exp \left((-2 \pi i / h) p_{x} x \mid\right. \) в разложении \( \psi \) по нормированным плоским волнам
\” Само собой разумеется, что \( \rho \), вообще говоря, есть функция времени, так как \( \psi \) зависит от \( t \). Следовало бы писать \( \rho\left(x, p_{x}, t\right) \). – . Б.
Обратное преобразование Фурье дает
\[
c\left(p_{x}\right)=\frac{1}{\sqrt{h}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left(\frac{2 \pi i}{h} p_{x} x\right) \psi(x) d x,
\]

откуда
\[
\left|c\left(p_{x}\right)\right|^{2}=\frac{1}{h} \int_{0}^{\infty} \int_{\infty} \exp \left(\frac{2 \pi i}{h} p_{x}(\xi-\eta)\right) \psi(\xi) \psi^{*}(\eta) d \xi d \eta .
\]

Таким образом,
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \rho\left(x, p_{x}\right) d x=\frac{2}{h} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{\infty} \exp \left(-\frac{4 \pi i}{h} p_{x} z\right) \psi(x-z) \psi^{*}(x+z) d z d x .
\]

Положив \( x-z=\xi \) и \( x+z=\eta \), получим \( D(x, z) / D(\xi, \eta)=1 / 2 \), так что
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \rho\left(x, p_{x}\right) d x=\frac{1}{h} \int_{-\infty}^{\infty} \int^{\infty} \exp \left(\frac{2 \pi i}{h} p_{x}(\xi-\eta)\right) \psi(\xi) \psi^{*}(\eta) d \xi d \eta=\left|c\left(p_{x}\right)\right|^{2},
\]

что и требовалось доказать.
Несмотря на справедливость выведенных формул, нельзя считать, что функция Вигнера – Басса \( \rho\left(x, p_{x}\right) \) дает вероятность одновременно получить значения \( x \) и \( p_{x} \). Если даже не учитывать того обстоятельства, что, как это показали Бор и Гейзенберг, исследовав методы измерения, точное одновременное измерение величин \( x \) и \( p_{x} \) невозможно, вместе с Арнусом следует отметить, что функция \( \rho\left(x, p_{x}\right) \) не является положительно определенной; она может принимать отрицательные значения, а’ это не дает возможности интерпретировать ее как плотность распределения.
К тому же функции
\[
\rho_{B}^{(A)}(\alpha, \beta)=\frac{\rho(\alpha, \beta)}{\rho_{A}(\alpha)}, \rho_{A}^{(B)}(\alpha, \beta)=\frac{\rho(\alpha, \beta)}{\rho_{B}(\beta)}
\]

больше уже не имеют значения условных вероятностей в обычном смысле. В самом деле, \( \rho(\alpha, \beta) \) определяется функцией \( \psi \) до какого-либо измерени- и то же самое можно сказать о величинах \( \rho_{A}(\alpha) \) и \( \rho_{B}(\beta) \). Стало быть, величины \( \rho_{B}^{(A)} \) и \( \rho_{A}^{(B)} \) определены в состоянии, предшествующем любым измерениям; таким образом, они не могут давать вероятность значения величины \( B \) при известном значении величины \( A \) и вероятность значения величины \( A \) при известном значении величины \( B \), поскольку первое же проведенное измерение полностью изменит распределение вероятностей, относившееся к неизмеренной величине. Ни с чем таким мы никогда не встречаемся в макроскопической статистике; это соответствует влиянию, оказываемому измерением роста призывника на окружность его груди! В микрофизике же в случае некоммутирующих величин такое положение становится правилом.

В качестве простого примера рассмотрим случай, когда начальное состояние описывается плоской монохроматической волной
\( \psi=c \exp \left(-\frac{2 \pi i}{h} p_{x}^{(0)} x\right) \),
соответствующей собственному значению \( p_{x}^{(0)} \) оператора \( p_{x} \). В этом случае измерение величины \( p_{x} \), проведенное в указанном начальном состоянии, с достоверностью дает значение \( p_{x}^{(0)} \). В противоположность этому измерение координаты \( x \) в том же начальном состоянии может с равной вероятностью дать любое значение, поскольку \( |\psi|^{2}= \) const. Это – хорошо известный результат: при описании частицы плоской монохроматической волной импульс частицы имеет определенное значение, а ее положение является полностью неопределенным. Вычислим плотность распределения Басса \( \rho\left(x, p_{x}\right) \) для начального состояния:
\[
\begin{array}{l}
\rho\left(x, p_{x}\right)=C \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left(-\frac{4 \pi i}{h} p_{x} z\right) \exp \left(\frac{2 \pi i}{h} p_{x}^{(0)}(x+z)\right) \times \\
\times \exp \left(-\frac{2 \pi i}{h} p_{x}^{(0)}(x-z)\right) d z=C \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left(\frac{4 \pi i}{h}\left(p_{x}^{(0)}-p_{x}\right) z\right) d z=C \delta\left(p_{x}^{(0)}-p_{x}\right),
\end{array}
\]

где \( C \) – константа. Такая форма функции \( \rho\left(x, p_{x}\right) \) вполне понятна: умножение на \( \delta \)-функцию говорит о том, что для \( p_{x} \) возможно лишь одно значение, а отсутствие в этом выражении \( x \) соответствует тому, что все значения \( x \) равновероятны. Но если мы возьмем
\( \rho P_{x}^{X}\left(p_{x}\right)=\frac{\rho\left(x, p_{x}\right)}{\rho_{X}(x)} \), то получим \( C \delta\left(p_{x}^{(0)}-p_{x}\right) \).
Тем не менее этот результат является ошибочным, так как если мы сначала измерим координату \( x \), чтобы узнать ее точное значение \( x_{0} \), то это измерение полностью изменит функцию \( \psi \), которая примет вид \( \delta\left(x-x_{0}\right) \), а в этом новом состоянии все значения величины \( p_{x} \) равновероятны. Таким образом, истинная величина \( \rho_{P_{x}}^{(X)}\left(p_{x}\right) \), даюшая вероятность значений величины \( p_{x} \) при известном значении \( x_{0} \) величины \( x \), будет постоянной, и мы видим, что условные вероятности нельзя вычислить по \( \rho\left(x, p_{x}\right) \), пользуясь обычными формулами классической статистики.

Если в обычной статистике известна функция \( \rho(\alpha, \beta) \), плотность распределения для величин \( A \) и \( B \), то любая величина вида \( f(\alpha, \beta) \) имеет среднее значение
\( \overline{f(\alpha, \beta)}=\iint f(\alpha, \beta) \rho(\alpha, \beta) d \alpha d \beta \).
Другими словами, если величина \( f(\alpha, \beta) \) измеряется для бесконечного множества систем, каждая из которых характеризуется плотностью распределения вероятностей \( \rho(\alpha, \beta) \), то формула (78) дает среднее значение величины \( f \).

В волновой механике наблюдаемая \( f \) определяется не числовой функцией, а оператором. Пусть \( f\left(x,\left(p_{x}\right)_{\text {onер }}\right) \) – линейный эрмитов оператор, соответствующий некоторой наблюдаемой. Его среднее значение равно
\[
\bar{f}=\int_{-\infty}^{\infty} \psi^{*}(x) f\left(x,\left(p_{x}\right)_{\text {onep }}\right) \psi(x) d x .
\]

Можно спросить себя, будет ли указанное среднее равно тому, которое можно вычислить с помощью плотности распределения Вигнера – Басса \( \rho\left(x, p_{x}\right) \) \”по формуле
\[
\bar{f}_{B}=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{\infty} f\left(x, p_{x}\right) \rho\left(x, p_{x}\right) d x d p_{x} .
\]

Это будет справедливо, если \( f \) зависит либо только от \( x \), либо только от \( p_{x} \). В самом деле, в первом случае квантовое среднее таково:
\[
\bar{f}=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)|\psi(x)|^{2} d x
\]

а среднее по Бассу имеет вид
\[
\bar{f}_{B}=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x \int_{-\infty}^{\infty} \rho\left(x, p_{x}\right) d p_{x}=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)|\psi(x)|^{2} d x=\bar{f},
\]

что следует из свойств функции \( \rho\left(x, p_{x}\right) \). Во втором случае квантовое средне вычисляется по формуле
\[
\bar{f}=\int_{-\infty}^{\infty} d x \int_{-\infty}^{\infty} d p_{x}^{\prime} c\left(p_{x}^{\prime}\right) \frac{\exp \left[(2 \pi i / h) p_{x}^{\prime} x\right]}{\sqrt{h}} \int_{-\infty}^{\infty} d p_{x} f\left(p_{x}\right) c\left(p_{x}\right) \frac{\exp \left[-(2 \pi i / h) p_{x}(x)\right]}{\sqrt{h}},
\]

поскольку
\[
\left.f\left(p_{x}\right)_{\text {опер }}\right) \exp \left(-\frac{2 \pi i}{h} p_{x} x\right)=f\left(p_{x}\right) \exp \left(-\frac{2 \pi i}{h} p_{x} x\right),
\]
в справедливости чего можно убедиться, разложив \( \left.f\left(p_{x}\right)_{\text {опер }}\right) \) в ряд Тейлора. В силу ортогональности плоских волн имеем
\[
\bar{f}=\int f\left(p_{x}\right)\left|c\left(p_{x}\right)\right|^{2} d p_{x} .
\]

Среднее же по Бассу, если учесть свойства функции \( \rho\left(x, p_{x}\right) \), таково:
\[
\tilde{f}_{B}=\int_{-\infty}^{\infty} f\left(p_{x}\right) d p_{x} \int_{-\infty}^{\infty} \rho\left(x, p_{x}\right) d x=\int_{-\infty}^{\infty} f\left(p_{x}\right)\left|c\left(p_{x}\right)\right|^{2} d p_{x}=\bar{f},
\]

что и требовалось доказать.
Но если \( f\left(x,\left(p_{x}\right)_{\text {опер }}\right) \) зависит и от \( x \), и от \( p_{x} \), то уже оказывается невозможным показать, что \( \bar{f}_{B}=\bar{f} \), так как измерение величины \( f\left(x, p_{x}\right) \), вообще говоря, невозможно осуществить одновременно с измерением как \( x \), так и \( p_{x}{ }^{1)} \).

Итак, мы видим, что, хотя функция Вигнера – Басса \( \rho\left(x, p_{x}\right) \) и обладает некоторыми интересными свойствами, она не аналогична плотности распределения \( \rho(\alpha, \beta) \), с которой обычно имеют дело в макроскопической статистике. Для большей ясности остановимся еще на данном вопросе.

Пусть с квантовой системой связаны две некоммутирующие величины \( A \) и \( B \), причем \( \varphi(\alpha, q) \) и \( \chi(\beta, q) \) – отвечающие им собственные функции. Тогда
\[
\varphi(\alpha, q)=\int_{-\infty}^{\infty} d(\alpha, \beta) \chi(\beta, q) d \beta .
\]

Если разложение волновой функции системы имеет вид
\[
\psi(q)=\int_{-\infty}^{\infty} c(\alpha) \varphi(\alpha, q) d \alpha=\int_{-\infty}^{\infty} c(\alpha) d(\alpha, \beta) \chi(\beta, q) d \alpha d \beta,
\]

то плотности вероятности для \( A \) и \( B \) в состоянии \( \psi \) будут равны
\[
\rho_{A}(\alpha)=|c(\alpha)|^{2}, \quad \rho_{B}(\beta)=\left|\int_{-\infty}^{\infty} c(\alpha) d(\alpha, \beta) d \alpha\right|^{2},
\]

причем второе выражение соответствует интерференции вероятностей.
Если же измерить сначала величину \( A \), а затем величину \( \boldsymbol{B} \), то по теореме об умножении вероятностей вероятность значений величины \( B \) будет равна
\[
\rho_{B}^{\prime}(\beta)=\int^{\infty}|c(\alpha)|^{2}|d(\alpha, \beta)|^{2} d \alpha=\int^{\infty} \rho_{A}(\alpha) \rho_{B}^{(A)}(\alpha, \beta) d \alpha,
\]
причем \( \rho_{B}^{+\infty}(\beta)
eq \rho_{B}(\beta) \) и \( \rho_{B}^{(A)}(\alpha, \beta) \stackrel{-\infty}{
eq} \rho(\alpha, \beta) / \rho_{A}(\alpha) \).
\”См. ниже работы Ивона. – Л. Б.
Если в том случае, когда \( A=x \) и \( B=p_{x} \), ввести плотность распределени Вигнера – Басса \( \rho\left(x, p_{x}\right) \), то можно написать
\[
\rho_{X}^{(x)}=\int_{-\infty}^{\infty} \rho\left(x, p_{x}\right) d p_{x}, \quad \rho_{P_{x}}\left(p_{x}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} \rho\left(x, p_{x}\right) d x,
\]

но вероятность значения \( p_{x} \) после последовательного измерения \( x \) и \( p_{x} \) не будет равна \( \rho_{P_{x}}\left(p_{x}\right) \), и истинную условную вероятность нельзя вычислить по формуле \( \rho_{P_{x}}^{X}\left(x, p_{x}\right)=\rho\left(x, p_{x}\right) / \rho_{X}(x) \).

Таким образом, нужно очень осторожно пользоваться функцией Вигнера Басса в расчетах, иначе, как будет сейчас показано, мы рискуем встретиться с трудностями, аналогичными тем, которые возникают в теории волны-пилота.
г) Плотность распределения Вигнера – Басса \( \rho\left(x, p_{x}\right) \) и гидродинамическая интерпретация волновой механики

Существование плотности распределения Вигнера – Басса \( \rho\left(x, p_{x}\right) \), обладающей рядом интересных свойств, может снова возродить надежду на то, что окажется возможной гидродинамическая интерпретация волновой механики.

Рассмотрим жидкость, состоящую, согласно представлениям классической механики, из бесчисленного множества частиц, которые в каждый момент времени имеют вполне определенное положение и вполне определенную скорость. Для простоты будем рассматривать одномерный случай, что не приведет к ограничению общности, поскольку это эквивалентно тому, чтобы рассматривать только проекцию координат и скоростей жидкости на одну из осей. Тогда можно ввести функцию \( \rho_{X}(x, t) \), равную вероятности того, что в момент времени \( t \) координата частицы окажется в интервале от \( x \) до \( x+d x \), а также функцию \( \rho_{P_{x}}\left(p_{x}, t\right) \), равную вероятности того, что в момент времени \( t \) значение величины \( p_{x} \) окажется в интервале от \( p_{x} \) от \( p_{x}+d p_{x} \). Можно также определить функцию \( \rho\left(x, p_{x}, t\right) \), такую, что произведение \( \rho\left(x, p_{x}, t\right) d x d p_{x} \) будет равно вероятности одновременно найти \( x \) и \( p_{x} \) в указанных интервалах. Получим
\[
\begin{array}{c}
\rho_{X}(x, t)=\int_{-\infty}^{\infty} \rho\left(x, p_{x}, t\right) d p_{x}, \\
\rho_{P_{x}}\left(p_{x}, t\right)=\int_{-\infty}^{\infty} \rho\left(x, p_{x}, t\right) d x .
\end{array}
\]

Можно ввести также функции
\[
\rho_{X}^{(P)}\left(x, p_{x}, t\right)=\frac{\rho\left(x, p_{x}, t\right)}{\rho_{X}(x)}, \rho_{P_{x}}^{(X)}\left(x, p_{x}, t\right)=\frac{\rho\left(x, p_{x}, t\right)}{\rho_{P}\left(p_{x}\right)},
\]

—————————————————————-
001_book2_original_page-0253.jpg.txt

252
Глава XIII
т. е. плотность распределения координат частиц, для которых в момент времени \( t \) величина \( p_{x} \) известна, и плотность распределения импульсов частиц, которые в момент \( t \) проходят через известную заданную точку \( x \). Если очень большое число частиц взаимодействует между собой таким образом, что в каждый момент времени их положения и скорости зависят от положений и скоростей других частиц, то вполне понятно, что значение функции \( \rho\left(x, p_{x}, t\right) \) в точке \( \left(x, p_{x}\right. \) ) зависит от значений этой функции при других значениях \( x \) и \( p_{x} \). Но такая зависимость была бы совершенно непонятной, если бы частицы не взаимодействовали между собой и испытывали лишь действие внешних сил.

Теперь, вместо того чтобы рассматривать жидкость, состояшую из беєконечного числа частиц, рассмотрим одну частицу, движение которой носит случайный характер. В такой ситуации мы тоже можем ввести различные рассмотренные выше функции \( \rho \), но теперь, по-видимому, значение функции \( \rho\left(x, p_{x}, t\right) \) в точке \( x \) и \( p_{x} \) уже не может зависеть от значений этой функции в других точках пространства \( x, p_{x} \), поскольку эти ее значения при \( x \) и \( p_{x} \), отличных от тех, которые соответствуют мгновенному локальному состоянию частицы, отвечают нереализовавшимся возможностям, которые как таковые не могут влиять на состояние частицы.

Как мы знаем, формализм волновой механики должен быть применим и к одной частице. Чтобы это было совместимо с представлением о том, что частица движется по траектории и, следовательно, в каждый момент времени занимает определенное положение и имеет определенную скорость, соответствующая функция \( \rho\left(x, p_{x} t\right) \) в момент времени \( t \) должна зависеть только от вероятностей значений \( x \) и \( p_{x} \) рассматриваемой частицы. Но плотность Вигнера Басcа
\[
\rho\left(x, p_{x}, t\right)=\frac{2}{h} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left(-\frac{4 \pi i}{h} p_{x} z\right) \psi^{*}(x+z) \psi(x-z) d z
\]

вследствие интегрирования по переменной \( z \) зависит от всех значений функции \( \psi \), а стало быть, и от \( |\psi|^{2} \). Таким образом, значение функции \( \rho\left(x, p_{x}, t\right) \) в данной точке \( x \) зависит от вероятности присутствия частицы во всех точках оси \( O x \).

Данное обстоятельство, вполне аналогичное тем трудностям, с которыми мы уже встречались в теории волны-пилота (движение частицы зависело от вероятности присутствия частицы в начальный момент во всех точках пространства), по-видимому, не дает какой-либо возможности видеть в функции Вигнера – Басса пути возврата к классическим представлениям о движении частицы, помимо других известных нам затруднений \( { }^{1)} \).
1) Луи де Бройль, несомненно, существенно изменил бы это свое высказывание, поскольку его критические замечания здесь в действительности относятся лишь к теории волны-пилота, но не затрагивают теории двойного решения. В самом деле, к недопустимому выводу о том, что «мгновенное локальное состояние», зависит от «нереализовавшихся возможностей», мы приходим, если вводим функцию \( \rho\left(x, p_{x}, t\right) \), определяе-
Несколько лет назад Верле и Дедебан разработали «Вероятностную механику», опирающуюся на свойства случайных функций; основы этой теории были, в частности, изложены Бассом в необычайно изящной статье [38].

В вероятностной механике в явной форме не постулируется, что «случайная» частица в каждый момент времени занимает определенное положение и движется с определенной скоростью; здесь вводятся лишь плотности распределения координат и составляющих скорости, которые рассматриваются как случайные переменные, причем предполагается, что скорость есть случайная производная координаты, и дается соответствующее определение случайной производной. Эта очень интересная теория, несомненно, может быть применена к движению жидкостей, рассматриваемых с макроскопической точки зрения без предположения о том, что координаты частиц являются дифференцируемыми функциями времени, предположения, необходимого для того, чтобы определить скорость с помощью обычной операции дифференцирования. Но эта теория, по-видимому, не применима к волновой механике, поскольку основывается на обычной схеме классической статистики и, в частности, предполагает существование совместимой плотности распределения \( \rho\left(x, v_{x}\right) \), позволяющей находить условные распределения, что, как мы видели, в волновой механике уже недопустимо.

Самое большее, законы случайной механики могут быть применены к движению фиктивной вероятностной жидкости, рассматриваемой в волновой механике. Но, как мы видели, уравнения движения этой фиктивной жидкости, позволяюшие следить за эволюцией во времени вероятности присутствия, отнюдь не эквивалентны волновой механике, поскольку в них не учитывается

мую на основе чисто вероятностной волны \( \psi \). Но мы не придем к подобному выводу, если будем иметь в виду физическую волну, обладающую сингулярностью; в этом случае можно сказать, что воздействия, которым подвергается сингулярная область, есть не что иное, как воздействия, испытываемые всей волной \( v \), на распространение которой оказывают влияние различные силовые поля и различные препятствия, которые, действуя на нее, через ее посредство изменяют направление и скорость движения сингулярной области. Таким образом, в теории двойного решения неприемлемое представление о частице, которая «пилотируется» неким распределением вероятностей осуществления событий, заменяется представлением о сингулярности, составляющей одно целое с физической волной, которая в каком-то смысле «ощупывает» окружающее пространство и передает соответствующую информащию сингулярности, направляя ее движение. Именно поэтому сингулярность, проходя через одно из отверстий в опыте Юнга, «знает» о существовании другого отверстия и в связи с этим движется с большей вероятностью к одной из светлых полос, нежели к темной полосе, чем и объясняется интерференция одиночных квантов (см. работы [II, 26, 29], а также статью Фера [37). Точно так же, когда де Бройль критикует теорию волны-пилота за то, что в ней движение частицы зависит от «вероятности присутствия в начальный момент», зта критика теряет силу, если частица связана с физической, а не с вероятностной волной. Тогда движение частицы зависит не от некоего распределения вероятностей, а от ее собственных начальных условий, а также от начальных условий волны, которая направляет ее движение. – Ж. Л.

обобщенный принцип спектрального разложения, а также не принимается во внимание особая роль процесса измерения в волновой механике \( { }^{1)} \).

В своей статье Басс вводит скорость, связанную с заданной точкой пространства, которая в схеме классической статистики соответствует средней скорости в случае, когда известно положение частицы. Таким образом, в одномерном случае принимается, что
\[
\hat{v}_{x}(x, t)=\int v_{x} \rho_{V}^{(X)}\left(v_{x}, x, t\right) d v_{x},
\]

где \( \hat{v}_{x} \) – средняя скорость по Бассу в точке \( x \) в момент \( t \). Поскольку, согласно классической статистике,
\[
\rho_{V}^{(X)}\left(v_{x}, x, t\right)=\rho\left(v_{x}, x, t\right) / \rho_{X}(x, t),
\]

мы имеем
\[
\hat{v}_{x}(x, t)=\frac{\int v_{x} \rho\left(v_{x}, x, t\right) d v_{x}}{\rho_{X}(x, t)} .
\]

Если предположить, что каждая из частиц имеет свою траекторию, то \( \hat{v}_{x}(x, t) \) будет средней скоростью частиц, прохэдящих в момент времени \( t \) через точку \( x^{2)} \).
1) Как мы уже знаем, в дальнейшем де Бройль смог ответить на это возражение, перестроив теорию измерений и выделив в волновой механике три вида вероятностей (фактические, предсказываемые и скрытые). – Ж. Л.
2) Пусть \( p_{g} \) – импульс ведения, а \( v_{g} \) – скорость ведения. Тогда
\[
\begin{array}{l}
p_{g}=\int p_{x} \rho\left(x, p_{x}\right) d x d p_{x} /|\psi|^{2}, \\
\tilde{p}_{g}=\int|\psi|^{2} p_{g} d x=\int d x \int d p_{x} p_{x} \rho\left(x, p_{x}\right)=\int p_{x}\left|c\left(p_{x}\right)\right|^{2} d p_{x},
\end{array}
\]

или \( \bar{v}_{g}=\int v_{x}\left|c\left(v_{x}\right)\right|^{2} d v_{x} \).
Средний импульс ведения равен среднему взвешенному значению \( p_{x} \) с весовым множителем \( \left|c\left(p_{x}\right)\right|^{2} \). Если \( c\left(p_{x}\right) \) не зависит от времени, то вынолняется закон сохранения усредненного по пространству импульса ведения. – Л. Б.

Данное примечание автора, сделанное карандащом, имеет более важное значение, чем может показаться на первый взгляд. В самом деле, хотя формально оно, казалось бы, не содержит ничего нового по сравнению с основным текстом, здесь впервые появляется термин «ведение» (guidage), характерный для теории двойного решения. Другими словами, автор здесь имеет в виду уже не фиктивную, а физическую волну, что говорит о существенном концептуальном различии между основным текстом и данным примечанием. – Ж. Л.

В своем примечании Луи де Бройль, так же как и в теории двойного решения, для обозначения понятий, выражаемых в русском языке словами управление, веде́ние, пилотирование и т. д., употребляет слово guidage вместо обычно используемого им в теории волны-пилота слова pilotage. – Прим. перев.
Попробуем применить это к вероятностной жидкости волновой механики, приняв, что \( v_{x}=(1 / m) p_{x} \) и что \( \rho\left(x, p_{x}, t\right) \) определяется по формуле Басса. Тогда
\[
\begin{array}{l}
\rho_{X}(x, t)=|\psi(x, t)|^{2}, \\
\rho\left(x, p_{x}, t\right)=\frac{2}{h} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left(-\frac{4 \pi i}{h} p_{x} z\right) \psi^{*}(x+z) \psi(x-z) d z,
\end{array}
\]

откуда
\[
\hat{v}_{x}(x, t)=\frac{1}{|\psi|^{2}} \frac{2}{h} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty} \frac{p_{x}}{m} \exp \left(-\frac{4 \pi i}{h} p_{x} z\right) \psi^{*}(x+z) \psi(x-z) d z d p_{x} .
\]

Ho
\[
p_{x} \exp \left(-\frac{4 \pi i}{h} p_{x} z\right)=-\frac{d}{d z}\left[\frac{h}{4 \pi i} \exp \left(-\frac{4 \pi i}{h} p_{x} z\right)\right] \text {, }
\]

так что после интегрирования по частям (с учетом того, что \( \psi \) на бесконечности обращается в нуль) получаем
\[
\begin{array}{l}
\rho \hat{v}_{x}(x, t)=\frac{1}{2 \pi i m} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left(-\frac{4 \pi i}{h} p_{x} z\right) \frac{d}{d z}\left[\psi^{*}(x+z)(x-z)\right] d z d p_{x}, \\
=\frac{1}{2 \pi i m} \iint_{-\infty}^{\infty} \exp \left(\frac{4 \pi i}{h} p_{x} z\right)\left[\psi(x-z) \frac{d}{d x} \psi^{*}(x+z)-\psi^{*}(x+z) \frac{d}{d x} \psi(x-z)\right] d p_{x} d z .
\end{array}
\]

Ho
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \exp \left(-\frac{4 \pi i}{h} p_{x} z\right) d p_{x}=\frac{h}{4 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \exp (-i u z) d u=\frac{h}{4 \pi} 2 \pi \delta(z)=\frac{h}{2} \delta(z),
\]

так что окончательно
\[
\rho \hat{v}_{x}(x, t)=-\frac{h}{4 \pi i m}\left[\psi^{*} \frac{\partial \psi}{\partial x}-\psi \frac{\partial \psi^{*}}{\partial x}\right] \quad\left(\rho=|\psi|^{2}\right) .
\]

Таким образом, здесь скорость по Бассу совпадает со скоростью фиктивной вероятностной жидкости (см. определение вектора тока вероятности \( \mathbf{f} \) на
c. 213). Это та скорость, которая в теории волны-пилота приписывалась частице.

Введя условную скорость \( \mathbf{v} \), Басс показал, что в вероятностной механике для трехмерной жидкости выполняется закон сохранения
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div}(\rho \hat{v})=0 .
\]

В применении к вероятностной жидкости волновой механики это соответствует закону сохранения вероятностной жидкости, так как по своему определению скорость \( v \) совпадает со скоростью этой фиктивной жидкости. Случайная механика, по-видимому, может быть применена для описания движения вероятностной жидкости волновой механики, но мы знаем, что этого далеко не достаточно для учета новых представлений последней. Все подобного рода попытки классической интерпретации волновой механики неизменно ограничиваются гидродинамическим аспектом этой теории (состоящим в описании движения вероятностной жидкости), но упускают саму суть новых представлений волновой механики \( { }^{1)} \).
Сделаем еще одно замечание. Формула, определяющая \( \hat{v}_{x} \),
\[
\rho \hat{v}_{x,}=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{p_{x}}{m} \rho\left(x, p_{x}, t\right) d p_{x},
\]

где \( \rho=|\psi|^{2} \), а \( \rho\left(x, p_{x}, t\right)- \) функция Вигнера – Басса, дает нам возможность написать соотношение
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \rho \hat{v}_{x} d x=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{x} \frac{p_{x}}{m} \rho\left(x, p_{x}, t\right) d p_{x} d x .
\]

Но, поскольку \( p_{x} / m \) зависит только от \( p_{x} \), выражение в правой части, согласно установленным выше свойствам функции Вигнера – Басса, равно квантовому среднему величины \( p_{x} / m \) :
\[
\frac{\vec{p}_{x}}{m}=\int_{-\infty}^{\infty} \psi^{*}(x, t)\left(\frac{p_{x}}{m}\right)_{\text {onep }} \psi(x, t) d x .
\]
1) Это совершенно не так! Но де Бройль в то время еще не знал, что сам он вскоре поймет и покажет, что вся эта схема должна основываться не на вероятностной волне \( \psi \), а на физической волне \( v \), и что тогда (благодаря своей теории измерений) он сможет найти в новой форме то, что он здесь называет «сутью новых представлений волновой механики», а именно влияние измерительного прибора на значения наблюдаемых величин [II, 27]. – Ж. Л.

Таким образом,

Следовательно, можно написать (хотя это и не является строгим следствием из предыдущего уравнения)
\[
\rho \hat{v}_{x}(x, t)=\psi^{*}(x, t) \stackrel{\left(p_{x}\right)_{\text {onep }}}{m(x, t) .}
\]

Величину \( \psi^{*}(x, t)\left[\left(p_{x}\right)_{\text {опер }} / m\right] \psi(x, t) \) часто называют плотностью среднего значения величины \( p_{x} / m \) в волновой механике, поскольку в результате интегрирования этого выражения по пространственным переменным мы получим среднее значение.
Согласно последнему уравнению, должно выполняться равенство
\[
\rho \hat{v}_{x}=-\frac{h}{2 \pi i m} \psi^{*} \frac{\partial \psi}{\partial x},
\]

что не соответствует формуле (93). Но мы можем также, очевидно, положить
\[
\rho \hat{v}_{x}(x, t)=\psi^{*}(x, t)^{-}{ }_{m}^{\left(p_{x}\right)_{\text {onep }}} \psi(x, t)+{ }_{\partial x}^{\partial} f(x),
\]

если только \( f( \pm \infty)=0 \). Два полученных выражения для \( \rho \hat{v}_{x} \) различаются лишь на величину \( (\mathrm{h} / 4 \pi \mathrm{im})(\partial / \partial x)\left(\psi \psi^{*}\right) \). Поэтому в интегральном отношении они эквивалентны между собой, так как интегрирование по пространственным переменным в обоих случаях дает один и тот же результат.

В волновой механике реальный физический смысл имеют лишь интегралы, дающие средние значения; плотности же в этих интегралах определяются с точностью до дивергенции и носят фиктивный характер. На это обстоятельство я неоднократно обращал внимание в своих курсах волновой механики. Физический смысл в волновой механике имеет интеграл \( \int_{D} \psi^{*} A \psi d \tau=\bar{A} \), а не \( \psi^{*} A \psi \) (исключение – случай \( A \equiv 1 \), в котором \( |\psi|^{2} \) приобретает физический смысл). Компоненты вектора тока вероятностной жидкости определяются заданием плотности, и именно поэтому указанная жидкость носит фиктивный характер \( { }^{1)} \).
1) Вскоре в связи с построением теории двойного решения Луи де Бройль изменил свою точку эрения и стал приписывать этой жидкости физический смысл, рассматривая волну \( v[11,26] \). Как это часто бывает в теоретической физике, автор излагает здесь теорию, которую он считает «чисто математической», но которая позже для него наполнится реальностью благодаря новой физической интерпретации. Напомним, что именно так Фарадей ввел понятие поля: сначала он просто рисовал силовые линии, но теория возникла с того момента, когда он стал считать, что эти линии соответствуют действительности. – Ж. Л.
\( 9-782 \)

д) Работы Ж. Ивона

Ивону принадлежат интересные работы [39], относящиеся почти к тому же вопросу, который рассматривался у Басса. Я не буду касаться деталей работ Ивона, которые с математической точки зрения очень красивы. Приведу лишь одну теорему Ивона, которую он, несомненно, доказал с тайной надеждой свести формализм волновой механики к обычному формализму классической статистики.

Обозначим символом \( \theta \) оператор \( -\partial^{2} / \partial x \partial p_{x} \). Пусть \( G \) – линейный эрмитов оператор, соответствующий измеряемой величине \( G \). Положим
\[
\gamma\left(x, p_{x}\right)=\exp \left(\begin{array}{l}
i h \\
4 \pi
\end{array}\right)\left[\exp \left(\frac{2 \pi i}{h} p_{x} x\right) G \exp \left(-\frac{2 \pi i}{h} p_{x} x\right)\right],
\]

где \( \gamma\left(x, p_{x}\right) \) – некая функция переменных \( x \) и \( p_{x} \), а \( G \) – оператор, выражающийся через операторы \( x_{\text {опер }} \) и ( \( \left.p_{x}\right)_{\text {опер }} \). Всякому оператору \( G \), а следовательно, и всякой наблюдаемой можно поставить в соответствие функцию \( \gamma\left(x, p_{x}\right) \). Тогда можно доказать следующую теорему Ивона.
Теорема. Квантовое среднее
\[
\bar{G}=\int_{-\infty}^{\infty} \psi^{*}(x) G \psi(x) d x
\]

можно найти как среднее функции \( \gamma\left(x, p_{x}\right) \), соответствующей оператору \( G \), вычисленное на основе плотности распределения Вигнера – Басса.
Другими словами,
\[
\bar{G}=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty} \gamma\left(x, p_{x}\right) \rho\left(x, p_{x}, t\right) d x d p_{x} .
\]

Мы непосредственно убедимся в правильности этой формулы, которую Ивон вывел путем остроумных преобразований. Пусть \( \bar{G} \) определяется последней формулой. Тогда
\[
\begin{aligned}
\bar{G}=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty} \exp \left(\frac{i h}{4 \pi} \theta\right) & {\left[\exp \left(\frac{2 \pi i}{h} p_{x} x\right) G \exp \left(-\frac{2 \pi i}{h} p_{x} x\right)\right] \times } \\
\times & \frac{2}{h} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left(-\frac{4 \pi i}{h} p_{x} z\right) \psi^{*}(x+z) \psi(x-z) d x d p_{x} d z
\end{aligned}
\]

Интегрирование по частям по \( x \) и \( p_{x} \) дает
\[
\begin{aligned}
\bar{G}=\iint_{-\infty}^{\infty} & \int \frac{2}{h} \exp \left(\frac{2 \pi i}{h} p_{x} x\right) G\left[\exp \left(-\frac{2 \pi i}{h} p_{x} x\right)\right] \times \\
& \times \exp \left(\frac{i h}{4 \pi} \theta\right)\left[\exp \left(-\frac{4 \pi i}{h} p_{x} z\right) \psi^{*}(x+z) \psi(x-z) d x d p_{x} d z\right.
\end{aligned}
\]
Ho
\[
\begin{aligned}
\exp \left(-\frac{i h}{4 \pi} \frac{\partial^{2}}{\partial x \partial p_{x}}\right)\left[\exp \left(-\frac{4 \pi i}{h} p_{x} z\right) F(x, z)\right] & \\
= & \exp \left(-\frac{4 \pi i}{h} p_{x} z\right) F(x-z, z)
\end{aligned}
\]

в чем легко убедиться, разложив экспоненциальный оператор в ряд. Таким образом,
\[
\begin{aligned}
\exp \left(\frac{i h}{4 \pi} \theta\right)\left[\exp \left(-\frac{4 \pi i}{h} p_{x} z\right) \psi^{*}(x+z) \psi(x-z)\right] & \\
& =\exp \left(-\frac{4 \pi i}{h} p_{x} z\right) \psi(x-2 z) \psi^{*}(x)
\end{aligned}
\]

и, следовательно,
\[
\begin{aligned}
\bar{G}=\frac{2}{h} \int_{-\infty}^{\infty} \iint & {\left[G \exp \left(-\frac{2 \pi i}{h} p_{x} x\right)\right] \times } \\
& \times \exp \left(\frac{2 \pi i}{h} p_{x}(x-2 z)\right) \psi(x-2 z) \psi^{*}(x) d x d p_{x} d z
\end{aligned}
\]

Возьмем в качестве новых переменных \( x, p_{x} \) и \( u=x-2 z \). Тогда
\[
\begin{array}{l}
\frac{D\left(x, p_{x}, z\right)}{D\left(x, p_{x}, u\right)}=\frac{1}{2} \text {, } \\
\bar{G}=\frac{1}{h} \int_{-\infty}^{\infty} \iint \psi^{*}(x)\left[G \exp \left(-\frac{2 \pi i}{h} p_{x} x\right)\right] \times \\
\times \exp \left(\frac{2 \pi i}{h} p_{x} u\right) \psi(u) d x d p_{x} d u . \\
\end{array}
\]

Если разложение функции \( \psi(u) \) имеет вид интеграла Фурье
\[
\psi(u)=\int_{-\infty}^{\infty} c\left(p_{x}\right) \exp \left(-\frac{2 \pi i}{h} p_{x} u\right) d p_{x},
\]

то формула обратного преобразования Фурье дает
\[
c\left(p_{x}\right)=\frac{1}{h} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left(\frac{2 \pi i}{h} p_{x} u\right) \psi(u) d u
\]

—————————————————————-
001_book2_original_page-0261.jpg.txt

260
Глава XIII
Таким образом,
\[
\begin{aligned}
\bar{G} & =\int_{-\infty}^{\infty} \int^{*}(x) G \exp \left(-\frac{2 \pi i}{h} p_{x} x\right) c\left(p_{x}\right) d p_{x} d x= \\
& =\int_{-\infty}^{\infty} \psi^{*}(x) G \psi(x) d x,
\end{aligned}
\]

что и требовалось доказать.
Этот результат, полученный Ивоном, очень красив и может оказаться очень полезным, но его нельзя считать доказательством того, что возможна интерпретация классического типа волновой механики. То, что среднее \( \bar{G} \) можно вычислить по известной функции \( \psi \), следует уже из самого определения \( \bar{G}=\int_{D} \psi^{*} G \psi d \tau \). Формула Ивона дает другой способ вычисления этого среднего значения, который похож на классический способ, пригодный в том случае, когда сушествует истинная плотность совместного распределения \( \rho(x \), \( \left.p_{x}, t\right) \). Функция, для которой вычисляется классическое среднее, – это не функция \( G\left(x, p_{x}\right) \), соответствующая классически наблюдаемой \( G \), а новая функция \( \gamma\left(x, p_{x}\right) \), которая выражается через квантовомеханический оператор \( G(x \), \( \left.\left(p_{x}\right)_{\text {onep }}\right) \).

В связи с этим сделаем некоторые замечания. Оператор \( \exp \{(\mathrm{ih} / \mathbf{4 \pi}) \theta\} \), примененный к функции только координаты \( x \) или только импульса \( p_{x} \), дает саму эту функцию, например:
\[
\left[1+\frac{i h}{4 \pi} \frac{\partial^{2}}{\partial x \partial p_{x}}+\ldots+\left(\frac{i h}{4 \pi}\right)^{n} \frac{\partial^{2 n}}{\partial x^{n} \partial p_{x}^{n}}+\ldots\right] f(x)=f(x) .
\]

Таким образом, функция \( G \) сводится к \( f(x) \), что возможно в волновой механике; если же \( G \) сводится к \( f\left(p_{x}\right) \), с чем мы не встречаемся в волновой механике, ибо там \( p_{x} \) в выражении для \( G \) всегда является оператором, то мы имеем
\[
\begin{aligned}
\gamma\left(x, p_{x}\right)=\exp \left(\frac{i h}{4 \pi} \theta\right)\left[\exp \left(\frac{2 \pi i}{h} p_{x} x\right) G \exp \left(-\frac{2 \pi i}{h} p_{x} x\right)\right] & = \\
& =G=\left\{\begin{array}{l}
f(x) \\
f\left(p_{x}\right)
\end{array} .\right.
\end{aligned}
\]

В этом случае \( \gamma\left(x, p_{x}\right) \) совпадает с \( G\left(x, p_{x}\right) \) и среднее по Ивону совпадает с классическим средним. Но дело обстоит иначе, если \( G \) – функция обеих переменных \( x \) и \( p_{x} \). Если даже рассматривать величину \( p_{x} \) в выражении для \( G \) как обыкновенную переменную (что в волновой механике неверно), то \( \gamma\left(x, p_{x}\right. \) ) сводится к \( G\left(x, p_{x}\right) \) лишь в том случае, когда \( G=f(x)+\varphi\left(p_{x}\right) \). Это тем более справедливо, когда величина \( p_{x} \) в выражении для \( G \) является оператором, как это и должно быть в волновой механике, Здесь опять приложимо все сказанное на с. 250 по поводу плотности распределения Вигнера – Басса.
Впрочем, нетрудно видеть, что если
\[
G=\iint_{-\infty}^{\infty} \gamma\left(x, p_{x}\right) \rho\left(x, p_{x}, t\right) d x d p_{x}
\]

то, вообще говоря, не выполняется формула
\[
\dot{G}^{2}=\int_{-\infty}^{\infty} \int^{2}\left(x, p_{x}\right) \rho\left(x, p_{x}, t\right) d x d p_{x},
\]

которая должна была бы выполняться, если бы функция \( \rho\left(x, p_{x}, t\right) \) была истинной плотностью совместного распределения величин \( x \) и \( p_{x} \). Рассмотрим, например, оператор
\[
\begin{aligned}
G={ }_{2}^{1}\left[x\left(p_{x}\right)_{\text {onep }}+\left(p_{x}\right)_{\text {onep }} x\right]=-\frac{h}{4 \pi i}\left(x \frac{\partial}{\partial x}\right. & \left.+\frac{\partial}{\partial x} x\right)= \\
& =-\frac{h}{2 \pi i}\left(x \frac{1}{\partial x}+\frac{1}{2}\right),
\end{aligned}
\]

получаемый путем симметризации классического выражения \( x p_{x} \). Такой оператор \( G \) эрмитов и может соответствовать некой измеряемой величине. Найдем функцию \( \gamma\left(x, p_{z}\right) \), соответствующую этому оператору \( G \). Прежде всего имеем
\[
\exp \left(\frac{2 \pi i}{h} p_{x} x\right) G \exp \left(-\frac{2 \pi i}{h} p_{x} x\right)=x p_{x}-\frac{h}{4 \pi i}
\]

далес,
\[
\begin{array}{l}
\gamma\left(x, p_{x}\right)=\exp \left(\frac{i h}{4 \pi} \theta\right)\left[\exp \left(\frac{2 \pi i}{h} p_{x} x\right) G \exp \left(-\frac{2 \pi i}{h} p_{x} x\right)\right]= \\
= \exp \left(\frac{i h}{4 \pi} \theta\right)\left(x p_{x}-\frac{h}{4 \pi}\right)=x p_{x}-\frac{i h}{4 \pi}-\frac{h}{4 \pi i}=x p_{x} .
\end{array}
\]

Рассмотрим теперь оператор (тоже эрмитов)
\[
G^{2}=-\frac{h^{2}}{4 \pi^{2}}\left[x \frac{\partial}{\partial x} x \frac{\partial}{\partial x}+x \frac{\partial}{\partial x}+\frac{1}{4}\right] .
\]

Очевидно, что
\[
\exp \left(\frac{2 \pi i}{h} p_{x} x\right) G^{2} \exp \left(-\frac{2 \pi i}{h} p_{x} x\right)=p_{x}^{2} x^{2}-2 \frac{h}{2 \pi i} p_{x} x-\frac{h^{2}}{16 \pi^{2}}
\]
\( 10-782 \)
и, следовательно,
\[
\begin{array}{l}
\gamma_{2}\left(x, p_{x}\right)=\exp \left(\frac{i h}{4 \pi} \theta\right)\left[p_{x}^{2} x^{2}-2 \frac{i h}{2 \pi i} p_{x} x-\frac{h^{2}}{16 \pi^{2}}=\right. \\
=p_{x}^{2} x^{2}-\frac{i h}{4 \pi} 4 p_{x}+\frac{4}{2}\left(\frac{i h}{4 \pi}\right)^{2}- \\
-2 \frac{h}{2 \pi i} p_{x} x+2 \frac{h}{2 \pi i} \frac{i h}{4 \pi}-\frac{h^{2}}{16 \pi^{2}}=p_{x}^{2} x^{2}+\frac{h^{2}}{16 \pi^{2}}
\end{array}
\]

Таким образом, равенство \( \gamma_{2}\left(x, p_{x}\right)=\left[\gamma\left(x, p_{x}\right)\right]^{2} \) не выполняется.
Итак, сколь бы ни были изяшны и интересны в математическом отношении рассмотренные выше исследования, они отнюдь не устраняют принципиального различия между формализмом волновой механики и классическим формализмом. Это различие проистекает из весьма замечательных физических положений, вскрытых квантовой теорией, таких, как невозможность одновременного измерения двух канонически сопряженных (или, в более общем случае, некоммутирующих) величин, создание нового вероятностного состояния актом измерения, интерференция вероятностей, стирание информации о фазах актом измерения. Все это не имеет аналогии в классических теориях и не может быть описано методами классической статистики, в которой измерение (испытание) рассматривается как простая констатация.
[Какой-либо возврат к классическому описанию микроскопических явлений представляется невозможным. Именно это вытекает из красивых результатов бон Неймана и, в частности, из его теории измерений. Перейдем теперь к их изложению \( { }^{1)} .1 \)
1) Текст, заключенный в квадратные скобки, автор по очевидным соображениям в дальнейшем зачеркнул и сделал пометку карандашом «Диссертация Бодью».Имеется в виду Ж. Бодью, диссертация которого (1949 г.), оппонируемая Луи де Бройлем, называлась «Исследования по основам квантового исчисления вероятностей для чистых состояний». К вычеркнутому тексту автор сделал, несомненно гораздо позже, следующее примечание, которое может показаться несколько загадочным, но которое на самом деле таковым не является и которое мы легко объясним. – Ж. Л.
Применение обычной схемы классической статистики к теории волны-пилота
\( \rho_{X}(x)=|\psi(x)|^{2} \),
\[
\psi=a e^{i \varphi}
\]
\( \rho_{v_{x}}^{X}\left(v_{x}\right)=\delta\left(v_{x}+\frac{h}{2 \pi m} \frac{d \varphi}{\partial x}\right) \)
\[
\mathbf{v}=-\frac{h}{2 \pi m}-\operatorname{grad} \varphi
\]
\( \rho\left(x, v_{x}\right)=\rho_{X}(x) \rho_{V_{x}}^{(X)}\left(v_{x}\right)=|\psi(x)|^{2} \delta\left(v_{x}+\frac{h}{2 \pi m} \frac{d \varphi}{\partial x}\right) \).
Можно убедиться, что
\[
\int \rho\left(x, v_{x}\right) d v_{x}=|\psi(x)|^{2}=\rho_{X}(x) .
\]

Таким образом, должно выполняться равенство
\[
\begin{array}{l}
\rho_{V_{x}}\left(v_{x}\right)=\int \rho\left(x, v_{x}\right) d x= \\
=\int|\psi(x)|^{2} \delta\left(v_{x}+\frac{h}{2 \pi m} \frac{\partial \varphi}{\partial x}\right) d x=\sum_{i}\left|\psi\left(x_{i}\right)\right|^{2},
\end{array}
\]

где \( x_{i} \) – решение уравнения – \( (h / 2 \pi m)(\partial \varphi / \partial x)=v_{x} \) и
\[
\begin{array}{l}
\rho_{X}^{\left(v_{x}\right)}(x)=\frac{\rho\left(x, v_{x}\right)}{\rho_{V_{x}}\left(v_{x}\right)}= \\
=\frac{|\Psi(x)|^{2}\left(v_{x}+\frac{h}{2 \pi m} \frac{\partial a}{\partial x}\right)}{\int|(x)|^{2} \delta\left(v_{x}+\frac{h}{2 \Pi m} \frac{\partial \varphi}{\partial x}\right) d x} \\
\end{array}
\]

Имеем также
\[
\bar{v}_{x}(x, t)=\int\left(v_{x}+\frac{h}{2 \pi m} \frac{\partial \varphi}{\partial x}\right) d v_{x}=-\frac{h}{2 \pi m} \frac{\partial \varphi}{\partial x} \cdot-\text { Л. Б. }
\]

Прежде всего отметим, что приведенные выше формулы (с небольшой разницей в записи) рассмотрены на с. \( 89-93 \) работы автора «Теория измерений в волновой механике» [11, 27] и что они применимы как в теории двойного решения, так и в теории волны-пилота. Речь здесь идет о скрытой статистической схеме, опирающейся на два постулата:
1. В любой момент частица предполагается локализованной в некоторой точке волны;а эта точка нам не известна, но плотность вероятности обнаружить частицу в точке \( x \) (т. е. получить значение \( x \) величины \( X \) ) считается равной \( |\psi(x)|^{2} \).
2. Если частица находится в некой точке \( x \), то ее скорость считается равной \( (-h / 2 \pi m) \operatorname{grad} \varphi \), где \( \varphi \) – фаза волны. Данное предположение есть не что иное, как постулат веде́ния (guidage): условная вероятность того, что при известном значении \( X=x \) скорость будет соответствовать формуле ведения, равна единице.

В свете этих постулатов становятся очевидными приведенные де Бройлем выражения для двух первых плотностей вероятностей \( \rho_{X}(x) \) и \( \rho^{(X)}\left(v_{x}\right) \). Что касается других выражений, то они выводятся с помощью общей схемы, изложенной выше в главе «Основные понятия теории вероятностей».

Не следует забывать, однако, что здесь речь идет пока еще только о скрытой схеме, так как если вероятность положения по-прежнему допускает прямую проверку (это – фактическая вероятность), то в противоположность этому плотность вероятности, относящаяся к скорости, вообще говоря, оказывается скрытой, поскольку во всех состояниях, кроме некоторых особых, скорость веде́ния не является наблюдаемой (это скрытый параметр) и не соответствует результатам измерений. Таким образом, остается еще разъяснить, каким путем из этой схемы можно вывести обычную вероятностную схему квантовой механики, относящуюся к измерению импульса; Луи де Бройль сделал это позднее на указанных выше страницах книги по теории измерений. – Ж. Л.