Ничто не мешает обобщить метод Арнуса на случай двух (или большего числа) коммутирующих величин. Пусть \( A \) и \( B \) – две физические величины, которым соответствуют коммутирующие операторы, т. е. \( [A, B]=0 \). Тогда можно положить
\[
\varphi(u, v)=\int_{D} \psi^{*} e^{i u A+i v B} \psi d \tau .
\]

Отсюда находится функция распределения \( F(\alpha, \beta) \) для собственных значений \( \alpha \) и \( \beta \) операторов \( A \) и \( B \) или (в непрерывном случае) плотность распределения \( \rho(\alpha, \beta) \). Здесь какие-либо трудности не возникают, поскольку величины \( A \) и \( B \)
могут быть измерены одновременно. Обобщение на случай \( n \) коммутирующих величин \( A, B, C, \ldots \) проводится тривиальным образом.

Чтобы более конкретно представить себе, как применяется данная вероятностная схема, нужно вспомнить теорему о том, что необходимым и достаточным условием существования общей системы собственных функций \( у \) двух операторов \( A \) и \( B \) является их коммутируемость.

Не останавливаясь на различных особенностях, связанных с применением этой теоремы к различным частным случаям (что было сделано выше), я приведу лишь один простой пример. Представим себе свободную частицу (внешнее поле равно нулю). Рассмотрим два оператора \( H_{\text {опер }} \) и \( \left(p_{x}\right)_{\text {опер }} \) :
\[
H_{\text {oпер }}=-\frac{h^{2}}{8 \pi^{2} m} \Delta,\left(p_{x}\right)_{\text {oпер }}=-\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial x} .
\]

Поскольку эти операторы коммутируют, они должны иметь общую систему собственных функций. В самом деле, для полного оператора \( H \) собственными (ненормированными) функциями будут плоские волны
\[
\psi\left(p_{x}, p_{y}, p_{z}\right)=\exp \left(-\frac{2 \pi i}{h}\left(p_{x} x+p_{y} y+p_{z} z\right)\right),
\]

а для оператора \( \left(p_{x}\right)_{\text {опер }} \) собственными функциями будут функции \( \exp \left\{(-2 \pi i / h) p_{x} x\right\} \). По указанной выше теореме собственную функцию оператора \( H \) всегда можно представить в виде произведения собственной функции оператора \( p_{x} \) на функцию переменных \( y \) и \( z \), на которые не действует оператор \( p_{x} \). К тому же, как мы знаем, собственные значения оператора \( H_{\text {опер }} \) имеют вид
\[
E=(1 / 2 m)\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}\right) .
\]

Поэтому если \( p_{x}^{2} / 2 m<E \), то при заданных значениях \( E \) и \( p_{x} \) имеется бесконечное число возможных значений \( p_{y} \) и \( p_{z} \). Таким образом, данное собственное значение \( E \) вырождено с порядком вырождения, равным бесконечности, и имеется бесконечное число соответствующих собственных функций, пропорциональных собственной функции \( \exp \left(-2 \pi i p_{x} x / h\right) \) оператора \( \left(p_{x}\right)_{\text {опер }} \).

Предположим теперь, что мы имеем дело с двумя коммутирующими величинами \( A \) и \( B \), оператор одной из которых, а именно \( A \), является полным. Пусть \( \varphi_{i} \) – собственные функции оператора \( A \) и \( \chi_{k} \) – собственные функции оператора \( B \). Мы имеем \( \varphi_{i k}(x, \ldots, y, \ldots)=f_{i k}(y, \ldots) \chi_{k}(x) \), и если написать разложение волновой функции \( \psi \), то мы получим
\[
\begin{aligned}
\psi(x, \ldots, y, \ldots)=\sum_{i} c_{i} \varphi_{i}(x, \ldots, y, \ldots) & = \\
& =\sum_{i, k} c_{i} f_{i k}(y, \ldots) \chi_{k}(x)=\sum_{k} b_{k}(y) \chi_{k}(x) .
\end{aligned}
\]
В результате будем иметь
\[
\varphi(u, v)=\int_{D} \psi^{*} e^{i u A+i v B} \psi d \tau=
\]
\[
=\sum_{k}\left|c_{k}\right|^{2} e^{i u \alpha} k e^{i v \beta_{k}}=e^{j u \alpha+i v \beta} .
\]

Предположение о полноте оператора \( \boldsymbol{A} \) не имеет существенного значения, и от него можно отказаться, что приведет лишь к некоторым усложнениям в записи формул.

В случае когда оба оператора \( A \) и \( B \) полные, из указанной выше теоремы следует, что имеется полная система собственных функций, зависящих от всех переменных, входящих в выражения для операторов \( A \) и \( B \), которая является общей для обоих операторов. Если \( A \) и \( B \) обладают невырожденными собственными значениями, то каждая собственная функция системы соответствует одновременно некоему собственному значению оператора \( A \) и некоему собственному значению оператора \( B \), так что собственные значения этих двух операторов находятся во взаимно однозначном соответствии: зная некое значение оператора \( A \), мы знаем соответствующее значение \( B \), и наоборот. Если же один из двух операторов имеет вырожденные собственные значения, то соответствие не является взаимно однозначным.

Если операторы \( A \) и \( B \) независимы, т. е. если они действуют на разные переменные \( x \) и \( y \), то все общие собственные функции операторов \( A \) и \( B \) можно получить, умножив каждую из собственных функций оператора \( A \) на все собственные функции оператора \( B \).