Введение
7
ОПРОКИДЫВАЮПИЕсЯ сОЛитОНЫ
Г э а а I. Интегрируемые уравнения с аттракторами
11
§ 1. Алгебраптеская конструкция дифференциальных уравнений с аттракторами . . . . . . . . 11
§ 2. Динамические системы с аттракторамй . . . . 16
§ 3. Одномерные интегрируемые уравнения . . . . 19
Глав а II. Опрокидываоциеся солитоны в двумерных интегрируемых уравнениях
§ 1. Двумерное интегрируемое уравнение . . . . 27
§ 2. Основная лемма . . . . . . . . . . . 31
§ 3. Опрокидывающиеся солитоны і $N$-солитонные решения . . . . . . . . . . . . . . 38
§ 4. Второе двумерное интегрируемое уравнение . . 46
\$ 5. О связи с уравнением Ғадомцева – Петвиашвили 49
§ 6. Динамика полюсов мероморфных решений . . . 51
§ 7. Трехмерное интегрируемое уравнение . . . . 55
§ 8. Третье двумерное интегрируемое уравнение . . . 56
§ 9. Интегрируемая двумеризация уравнения Бюргерса и динамика особенностей
58
Глава III. Двумерное модифицированное интегрируемое уравнение
26
$\begin{array}{r}1 \\ 56 \\ \hline\end{array}$
58
§ 1. Двумерное модифицированное уравнение . . . 61
§ 2. Счетное множество законов сохранения . $\cdot$ : : 65
§ 3. Представление Лакса для двумерного модифицированного уравнения ( 1.5 )
§ 4. Представление Лакса для двумерных уравнений (1.5)
§ 5. Представление Јанса с эрмитовым оператором $\dot{L}$
61
\& 6. Оирокидываюшиеся солитоны
6. Опрокидывающиеся солитоны . . . . . . . 74
§ 9. Интегрируемые расширения уравнения Кд $\Phi$ с оператором $L$ четвертого порядка. Модифицированная ценочка Тода
68
80
84
Г ла в а IV. Трехмерное комплексное интегрируемое уравнение
91
§ 1. Представление Јакса для трехмерного комплексного уравненил . . . . . . . . . . . .
91
2. Опрокидывающиес солитоны двумерных редукций \$. Двумерное матричное уравнсние, допускающее пред-
96
ставление Јакса
98
\[
\text { Ч } A C T B I I
\]

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ ИITЕГРИРУЕМЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ

Глав л. Интегрируемые дискретизации уравнения Кортевега – де Фриза
§ 1. Интегрируемые динамические системы с квадратичной нелинейностью
§ 2. Интегрируемые редукции динамических систем (1.3)
§ 3. Интегрируемые динамические сиетемы с произволь-
§ 4. Интегрируемье редукции динамических систем (3.1)
$\S 5$. Интегрируемые дискретизации второго уравнения КдФ
§ 6. Общие конструкции интегрируемых дискретизаций уравнения КдФ

Г л а в а VI. Интегрируемое интегро-дифференциальное уравнение
§ 1. Интегро-дифференциальное уравнение кағ континуальный предел семейства динамических систем
§ 2. Основные свойства интегро-дифференциального уразнения (1.3) . . . . . . . . . . . . 134
§ 3. Иерархия высших уравнений

Г лав а VII. Интегрируемье уравнения в алгебрах гладких функций и в непрерывных ассоциативных алгебрах . . 146
§ 1. Первые ингегралы дифференциальных уравнений, связанных с автоморфнзмами ассоциативных алгебр
§ 2. Алгебраические конструкции некоторых интегрируемых уравнений
§ 3. Дифференциальные ‘и интегро-диффференциальные уравнения в алгебрах функций
§ 4. Теорема о двух коммутирующих автоморфизмах і ее применения
§ 5. Применения к уравнениям Эйлера в прямой сумме алгебр Ли $\operatorname{gl}(n, \mathbb{R})$ и so $(n, \mathbb{R})$.
§ 6. Третья теорема о двух коммутирующих автоморфизмах и ее применения
§ 7. Матричные уравнения, допускающие представление Јакса с несколькими спектральными параметрами
146
149
160
167
174
179
182

Глав V VII. Интегрируемые динамические системы, связанные с простыми алгебрами Ли . . . . . . . 187
§ 1. Алгебраические обобщения цепочки Тода . . . 187
§ 2. Алгебраические аналоги системы Вольтерра . . 191
§ 3. Интегрируемые гамильтоновы возмущения цепочки Тода и ее обобщений
199
§ 4. Представление нулевой кривизны для некоторых расширений обобщенных цепочек Тода и уравнения Синус Гордона
§ 5. Континуальные пределы цешочки Тода и ее двумеризации. Опрокидывающиеся решения.
§ 6. Опрокидывающиеся решения в континуальных пределах систем Ферми – Паста – Улама и их двумеризаций
$\Psi A C T$ G $I I I$
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА
НА КОАЛГЕБРАХ ЛИ, ВОЗНИКАЮЩИЕ
В ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОИ ФИЗИКИ

Гл ав а IX. Уравнения Эйлера на конечномерных коалгебрах Ли, возникающие в физических задачах
§ 1. Классические исследования уравнений Эйлера вращения $n$-мерного твердого тела
§ 2. Уравнения Эйлера на коалгебрах Ли, связанные с динамикой твердого тела, имеющего неподвижную точку, и с движением тела в жидкости
§ 3. Алгебраическая и гамильтонова структура уравнений вращения спутника вокруг центра масс .
$\Gamma$ лав а $X$. Интегрирование динамики произвольного твердого тела в ньютоновском гравитационном поле с произвольным квадратичным потенциалом .
§ 1. История вопроса
§ 2. Интегрируемоеть по Лиувиллю уравнений вращения твердого тела вокруг неподвижного центра масс в поле удаленных притягивающих объектов
§ 3. Интегрируемость по Лиувиллю уравнений постушательно-вращательного движения твердого тела в ньютоновском гравитационном шоле с квадратичным потенциалом
§ 4. Интегрирование динамики в тәта-функциях Римана
§ 5. Динамика симметричного твердого тела в ньютоновском гравитационном поле с квадратичным потенциалом
§ 6. Интегрируемые случаи уравнений вращения твердого тела в незинейных гравитационных полях . .
§ 7. Интегрируемость $n$-мерного аналога задачи о динамике твердого тела в ньютоновском гравитационном поле с произвольным квадратичным потенциалом
236
241
250
254
256
Г лав а XI. Интегрируемые уравнения Эйлера на некоторых шестимерных коалгебрах Ји
260
§ 1. Уравнения Эйлера для двух классов шестимерных коалгебр Ли . . . . . . . . . . . 260
§ 2. Интегралы $J_{4}$ четвертой стегени . . . . . . 263
§ 3. Явное интегрирование некоторых уравнений эйлера на коалгебре Ли SO(4). . . . . . . . . 267
§ 4. Интегралы $J_{4}$ второй степени . . . . . . . 272
§ 5. Физические применения уравнений Эйлера на коалгебре Ли SO(4). . . . . . . . . . 278
§ 6. Јагранжева структура уравнений Кирхгофа . . 284
Г лаваXII. Периодические решения в модели вращения пульсара . . . . . . . . . . . . . .
291
§ 1. Магнитогидродинамическая модель вращения пульсара . . . . . . . . . . . . . .
292
§ 2. Динамика твердого тела с эллицсоидальной полостью, заполненной магнитной жидкостью
§ 3. Первые интегралы динамической системы. Интегри-
294
297
300
До о олпелие. Системы гидродинамического типа, допу- скающие операторные предетавления . . . . . § 1. Система гидродинамического типа, связанная с моделью Вольтерра.
305
§ 2. Интегрируемое $2+i$-мерное уравнение как континуальный предел систем гидродинамического типа
§ 3. Система гидродинамического типа, связанная с цепочкой Тода . . . . . . . . . . . . 308 Список литературы . . . . . . . . . . . . 311