I. В данном параграфе предлагается общая конструкция дифференциальных уравнений в произвольной непрерывной ассоциативной алгебре $\mathfrak{A}$, которые допускают эквивалентное представление Лакса в пространстве линейных операторов, действующих на $\mathfrak{A}$. Пусть $\mathrm{G}, \mathrm{H}$ – два произвольных коммутирующих автоморфизма алгебры $\mathfrak{A}$.

Tеорема 1. (Теорема о дву коммутирующих автоморфизмах.) Дифференциальное уравнение в ассоциативной алгебре $\mathfrak{A}$ вида
\[
\frac{d a_{1}}{d t}=a_{1} \mathrm{G}(b)-b a_{1},
\]

где элементы $a_{1}$ и $b$ алгебры $\mathfrak{A}$ связаны соотношением
\[
\mathrm{H}(b)-b=\mathrm{HG}^{-1}\left(a_{1}\right)-a_{1},
\]

допускает эквивалентное представление Лакса со спектральным параметром.

Доказательство. Определим следующие эинейные операторы $L$ п $\Lambda$, действуюцше па ассоциатівной алгебре $\mathfrak{U}$ :
\[
\mathrm{L}(t, \lambda)=a_{1}(t) \mathrm{G}+\lambda \mathrm{H}, \quad \Lambda(t, \lambda)=b(t)+\lambda \mathrm{HG}^{-1},
\]

где $\lambda$ – произвольный спектральный параметр. Уравнение Лакса
\[
\dot{L}=\mathrm{LA}-\mathrm{AL}
\]

с ошераторами (4.3) эквивалентно следующей системе уравнений, которые являются коэффициентами при степенях параметра $\lambda$ :
\[
\begin{array}{l}
\lambda^{2}: \mathrm{H}^{2} \mathrm{G}^{-1}-\mathrm{HG}^{-1} \mathrm{H}=0, \\
\lambda^{1}: \mathrm{H}(b) \mathrm{H}-b \mathrm{H}+a_{1} \mathrm{GHG}^{-1}-\mathrm{HG}^{-1}\left(a_{1}\right) \mathrm{H}=0, \\
\lambda^{0}: \dot{a}_{1}=a_{1} \mathrm{G}(b)-b a_{1} .
\end{array}
\]

В силу коммутативности автоморфизмов $\mathrm{G}$ и $\mathrm{H}$ первое уравнение (4.5) тождественно справедливо. Второе уравнение (4.5) в силу $\mathrm{GHG}^{-1}=\mathrm{H}$ сводится $к$ уравненио (4.2), третье уравнение (4.5) совпадает с уравнением (4.1). Поэтому уравнение (4.1), (4.2) эквивалентно уравнению Јакса со спектральным параметром (4.4).

Из уравнения (4.4), как показано в § 2, следует, что функции $I_{k}(\lambda)=T\left(\mathrm{~L}(t, \lambda)^{k}\right.$ ) являются первыми интегралами дифференциального уравнения (4.1), (4.2). В случае конечномерной алгебры $\mathfrak{I}$ первыми интегралами являются также функции $J_{k}(\lambda)=\operatorname{Tr}\left(\mathrm{L}(t, \lambda)^{k}\right)$. Теорема доказана.

Теорема о двух коммутирующих автоморфизмах имеет многочисленные применения, которые возникают при конкретном выборе ассоциативной алгебры $\mathfrak{A}$ и автоморфизмов G и Н. Перечислим важнейшие из этих применений.
II. Пусть $\mathrm{G}=\mathrm{H}^{1-p}$, где $p$ – целое число. Тогда уравнение (4.2) принимает вид
\[
\mathrm{H}(b)-b=\mathrm{H}^{p}\left(a_{1}\right)-a_{1} .
\]

При $p>0$ решение уравнения (4.6) имеет вид
\[
b=\sum_{k=0}^{p-1} \mathrm{H}^{k}\left(a_{1}\right) .
\]

При $p<0$ решение уравнения (4.6) определяется формулой
\[
b=-\sum_{k=1}^{-p} \mathrm{H}^{-k}\left(a_{1}\right) .
\]

Дпфференцильне уравпенше (4.1) после подстановки формул (4.7), (4.8) принимает вид
\[
\begin{array}{l}
p>0: \dot{a}_{1}=a_{1}\left(\sum_{k=1}^{p-1} \mathrm{H}^{-k}\left(a_{1}\right)\right)-\left(\sum_{k=1}^{p-1} \mathrm{H}^{k}\left(a_{1}\right)\right) a_{1}, \\
p<0: \quad \dot{a}_{1}=-a_{1}\left(\sum_{k=1}^{p} \mathrm{H}^{k}\left(a_{1}\right)\right)+\left(\sum_{k=1}^{p} \mathrm{H}^{-k}\left(a_{1}\right)\right) a_{1} .
\end{array}
\]

Полученные уравнения (4.9), (4.10), очевидно, переходят одно в другое после замены $\mathrm{H}$ на $\mathrm{H}^{-1}$ и замены $p-1$ на $-p$. Поәтому достаточно рассматривать только уравнение (4.9). В частном случае, когда алгебра $\mathfrak{A}$ является алгеброй функции на мпожестве целых чисел $\mathfrak{A}=\mathscr{F}(\mathbb{Z}, \mathbb{R}), \quad$ оператор $\mathrm{H}$ является сдвигом на 1 : $\mathrm{H}(a(t, k))=a(t, k+1)$ и целое число $p=2$, уравнение (4.9) переходит в систему Вольтерра
\[
\dot{a}_{i}=a_{i}\left(a_{i+1}-a_{i-1}\right) .
\]

При произвольном натуральном $p>2$ уравнение (4.9) в алгебре $\mathscr{F}(\mathbb{Z}, \mathbb{R})$ принимает вид
\[
\dot{a}_{i}=a_{i}\left(\sum_{k=1}^{p-1} a_{i+k}-\sum_{k=1}^{p-1} a_{i-k}\right) .
\]

Системы (4.12) подробно изучались в гл. V.
III. Пусть ассоциативная алгебра $\mathfrak{A}$ является алгеброй комплексных матриц $\operatorname{gl}(n, \mathbb{C})$ и автоморфизмы $H$ и $\mathrm{G}$ являются внутренними:
\[
\mathrm{H}(x)=\alpha x \alpha^{-1}, \quad \mathrm{G}(x)=\beta_{1}^{-1} x \beta_{1},
\]

где $\alpha$ и $\beta_{1}$ – некоторые обратимые матрицы. Условие коммутативности $\mathrm{GH}=\mathrm{HG}$ принимает вид
\[
\beta_{1}^{-1} \alpha x \alpha^{-1} \beta_{1}=\alpha \beta_{1}^{-1} x \beta_{1} \alpha^{-1} \text {. }
\]

Обозначим $\alpha^{-1} \beta_{1} \alpha \beta_{1}^{-1}=\mu$, тогда условие (4.14) имеет вид $\mu x \mu^{-1}=x$, что при произвольной матрице $x$ возможно лишь, если матрица $\mu$ является скалярной: $\mu_{i j}=m \delta_{i j}$. Вычисляя определитель матрицы $\mu=\alpha^{-1} \beta_{1} \alpha \beta_{1}^{-1}$, находим, что $m^{n}=1$. Таким образом, условие коммутативности двух автоморфизмов (4.13) сводится к условию
\[
\alpha \beta_{1}^{-1}=m \beta_{1}^{-1} \alpha, m^{n}=1 .
\]

Уравнения (4.1), (4.2) при условиях (4.13) принимают вид
\[
\dot{a}_{1}=a_{1} \beta_{1}^{-1} b \beta_{1}-b a_{1}, \quad \alpha b \alpha^{-1}-b=\alpha \beta_{1} a_{1} \beta_{1}^{-1} \alpha^{-1}-a_{1} .
\]

Введем обозначения $a=a_{1} \beta_{1}^{-1}, \beta=\alpha \beta_{1}$. Уравнения (4.16) после умножения первого уравнения справа на $\beta_{1}^{-1}$, а второго уравнения справа на $\alpha$ принимают вид
\[
\dot{a}=[a, b], \alpha b-b \alpha=\alpha \beta_{1} a-a \beta_{1} \alpha .
\]

Из равенства (4.15) следуют равенства
\[
\beta_{1} \alpha=m \alpha \beta_{1}, \alpha \beta=m^{-1} \beta \alpha .
\]

Поэтому уравнения (4.17) принимают вид
\[
\dot{a}=[a, b],[\alpha, b]=\beta a-m a \beta .
\]

Согласно проведенному выводу уравнения (4.19) при условии, что матрицы $\alpha, \beta$ удовлетворяют соотношению (4.18): $\alpha \beta=m^{-1} \beta \alpha, m^{n}=1$, эквивалентны уравнению Лакса со спектральным параметром (4.4), (4.3), (4.13). Уравнения (4.19) принимают простейший вид при $m=1$ :
\[
\dot{a}=[a, b], \quad[\alpha, b]=[\beta, a], \quad[\alpha, \beta]=0 .
\]

В этом случае, как показано впервые в работе [52], уравнения $\dot{a}=[a, b]$ допускают представление Лакса со спектральным параметром вида
\[
(a+\lambda \alpha)^{\cdot}=[a+\lambda \alpha, b+\lambda \dot{\beta}] .
\]

Выше указано еще одно представление Лакса со спектральным параметром для уравнений (4.20) – в пространстве линейных операторов над матричной алгеброй gl $(n, \mathbb{C})$.

Укажем явный вид связи матриц $b$ и $a$ в силу соотношений (4.19) при $m
eq 1$. Пусть матрица $\alpha$ диагональна с элементами $\alpha_{k k}$, матрица $\beta$ имеет в каждой строке и каждом столбце только один ненулевой элемент $\beta_{k, k+1}$. Тогда соотношение (4.18) сводится к системе уравнений
\[
\alpha_{k k} \beta_{k, k+1^{\prime}}=m^{-1} \beta_{k, k+1} \alpha_{k+1, k+1} .
\]

Эти уравнения тождественно справедливы при произвольных $\beta_{k, k+1}$ и $\alpha_{k k}=m^{k}, m^{n}=1$. Поэтому уравнения (4.19) принимают вид
\[
\dot{a}=\left[\begin{array}{ll}
a, & b
\end{array}\right], \quad b_{k j}=\left(m^{h}-m^{j}\right)^{-1}\left(\beta_{k, k+1} a_{k+1, j}-m a_{h, j-1} \beta_{j-1, j}\right) .
\]

Согласно проведенному выводу уравнения (4.22) при произвольных числах $\beta_{k, k+1}$ и произвольном $m$ – примитивном корне $n$-й степени из $1\left(m^{k}
eq m^{j}\right.$ при $\left.k
eq j \leqslant n\right)$ – допускают представление Лакса со спектральным параметром вида (4.4), (4.3), (4.13) и поэтому обладают большим набором дополнительных первых интегралов. Уравнения (4.22), очевидно, имеют квадратичную нелинейность.
IV. Разберем подробнее специальный случай $m=-1$. При этом необходимо $n=2 k$, так как $m^{n}=1$. Используем стандартное обозначение для антикоммутатора $\{x, y\}=x y+y x$. Уравнепия (4.19) при $m=-1$ принимают вид
\[
\dot{a}=[a, b], \quad[\alpha, b]=\{\beta, a\}, \quad\{\alpha, \beta\}=0 .
\]

Уравнения (4.23) существенно отличаются от уравнений (4.20) [52] и являются новыми условиями интегрируемости уравнения $\dot{a}=[a, b]$ в пространстве матриц.

Покажем, что уравнения (4.23) так же, как и уравнения (4.20), имеют смысл и в вещественном случае (в отличие от общих уравнений (4.22)), причем дифференциальное уравнение (4.23) определено в алгебре кососимметрических матриц so $(2 n, \mathbb{R})$. Пусть матрицы $a, b, \alpha$ кососимметрические и разбиты на двумерные блоки, которые являются матрицами размера $2 \times 2$ и обозначаются $a_{i j}, b_{i j}, \alpha_{i j}$. Матрица $\beta$ является диагональной и также разбита на двумерные блоки. При этом в матрицах $\alpha$ и $\beta$ отличны от нуля только диагональные блоки, которые имеют вид
\[
\alpha_{i i}=\left(\begin{array}{cc}
0 & -\alpha_{i} \\
\alpha_{i} & 0
\end{array}\right), \quad \beta_{i i}=\left(\begin{array}{cc}
\beta_{i} & 0 \\
0 & -\beta_{i}
\end{array}\right) .
\]

В этом случае соотношение $\{\alpha, \beta\}=0$ выполнено тождественно при любых $\alpha_{i}, \beta_{j}$. Соотношение $[\alpha, b]=\{\beta, a\}$ является равенством двух кососимметрических матриц, причем в этих матрицах все диагональные двумерные блоки тождественно равны нулю. Для недиагональных двумерных блоков получаем уравнения
\[
\alpha_{i i} b_{i j}-b_{i j} \alpha_{j j}=\beta_{i i} a_{i j}+a_{i j} \beta_{j j} .
\]

Введем обозначения для матричных элементов двумерных блоков
\[
a_{i j}=\left(\begin{array}{ll}
X_{i j} & Z_{i j} \\
U_{i j} & Y_{i j}
\end{array}\right), \quad b_{i j}=\left(\begin{array}{ll}
x_{i j} & z_{i j} \\
u_{i j} & y_{i j}
\end{array}\right) .
\]

Матричное уравнение (4.25), (4.24) распадается на две линейные системы из двух скалярных уравнений
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{i} x_{i j}-\alpha_{j} y_{i j}=-\left(\beta_{i}-\beta_{j}\right) U_{i j}, \\
\alpha_{j} x_{i j}-\alpha_{i} y_{i j}=\left(\beta_{i}-\beta_{j}\right) Z_{i j}, \\
\alpha_{i} u_{i j}+\alpha_{j} z_{i j}=-\left(\beta_{i}+\beta_{j}\right) X_{i j}, \\
\alpha_{j} u_{i j}+\alpha_{i} z_{i j}=-\left(\beta_{i}+\beta_{j}\right) Y_{i j} .
\end{array}
\]

Решения әтих уравнений имеют следующий явный вид:
\[
\begin{array}{c}
x_{i j}=-\frac{\beta_{i}-\beta_{j}}{\alpha_{i}^{2}-\alpha_{j}^{2}}\left(\alpha_{i} U_{i j}+\alpha_{j} Z_{i j}\right), \\
y_{i j}=-\frac{\beta_{i}-\beta_{j}}{\alpha_{i}^{2}-\alpha_{j}^{2}}\left(\alpha_{j} U_{i j}+\alpha_{i} Z_{i j}\right), \\
z_{i j}=\frac{\beta_{i}+\beta_{j}}{\alpha_{i}^{2}-\alpha_{j}^{2}}\left(\alpha_{j} X_{i j}-\alpha_{i} Y_{i j}\right), \\
u_{i j}=-\frac{\beta_{i}+\beta_{j}}{\alpha_{i}^{2}-\alpha_{j}^{2}}\left(\alpha_{i} X_{i j}-\alpha_{j} Y_{i j}\right) .
\end{array}
\]

Нетрудно проверить, что если матрица $a$ была кососимметрической, то матрица $b$, определенная формулами (4.26), (4.28), также является кососимметрической и поэтому уравнение $\dot{a}=[a, b]$ определено в алгебре Ли so $(2 n, \mathbb{R})$. Это уравнение не является гамильтоновым в стандартной симплектической структуре, так как линейное отображение $a \rightarrow b$, определенное формулами (4.28), не является самосопряженным относительно метрики Киллинга – Картана в алгебре Ли so $(2 n, \mathbb{R})$.
V. Укажем вторую конструкцию дифференциальных уравнений в ассоциативной алгебре $\mathfrak{U}$, связанную с коммутирующими автоморфизмами $\mathrm{G}$ и $\mathrm{H}$.

Теорема 2. Дифференциальне уравнение в ассоциативной алгебре $\mathfrak{U}$ вида
\[
\frac{d a}{d t}=\mathrm{H}(b)-b+a G(\beta)-\beta a,
\]

где элементы $a(t), b(t)$ и $\beta(t)$ алгебры $\mathfrak{A}$ связаны соотношениями
\[
a \mathrm{G}(b)=b \mathrm{GH}^{-1}(a), \quad \mathrm{H}(\beta)=\beta,
\]

допускает эквивалентное представление Лакса со спектральным параметром.

Доказательство. Определим линейные операторы $\mathrm{L}$ и А формулами
\[
\mathrm{L}=a \mathrm{G}+\lambda \mathrm{H}, \quad \mathrm{A}=\lambda^{-1} b \mathrm{GH}^{-1}+\beta .
\]

Уравнение Лакса $\mathrm{L}=[\mathrm{L}, \mathrm{A}]$, очевидно, эквивалентпо уравнениям (4.29), (4.30).

Укажем применения теоремы 2. Пусть автоморфизм $\mathbf{H}=\mathrm{G}^{1-p}, p \geqslant 2, \beta=0$. Тогда алгебраическое уравненіе (4.30) принимает вид $a \mathrm{G}(b)=b \mathrm{G}^{p}(a)$ и имеет решение
\[
b=a \mathrm{G}(a) \ldots \mathrm{G}^{p-1}(a) .
\]

Дифференциальное уравнепие (4.29) после подстановки формулы (4.32) переходит в уравнение
\[
\frac{d a}{d t}=\mathrm{G}^{1-p}(a) \mathrm{G}^{2-p}(a) \ldots \mathrm{G}^{-1}(a) a-a \mathrm{G}(a) \ldots \mathrm{G}^{p-1}(a) .
\]

Таким образом, уравнение (4.33) в пропзвольной ассоциативной алгебре допускает представление Лакса. Уравнение (4.33) в алгебрах функций на многообразиях и на множестве целых чисел $\mathbb{Z}$ исследовалось в § 3 и в гл. V. Конструкция теоремы 2 с автоморфизмами $G$ и $Н$ вида $\mathrm{G}(x)=x, \mathrm{H}(x)=\alpha x \alpha^{-1}, \alpha \beta=\beta \alpha$, где $\alpha$ – постоянный обратимый элемент алгебры $\mathfrak{A}$, приводит к уравнению
\[
\frac{d a}{d t}=[P(a), \alpha]+[a, \beta] .
\]

Здесь $P(a)$ – произвольный многочлен от әлемента $a$. При этом операторы $\mathrm{L}$ и А имеют вид
\[
\mathrm{L}=a+\lambda \mathrm{H}, \quad \mathrm{A}=-\lambda^{-1} P(a) \alpha \mathrm{H}^{-1}+\beta .
\]

Уравнение (4.34) допускает также представление Лакса в самой алгебре $\mathfrak{A}$ с операторами $\mathrm{L}_{1}=a+\lambda \alpha, \mathrm{A}_{1}=$ $=-\lambda^{-1} P(a)+\beta$ и имеет поэтому большой набор первых интегралов. В частном случае $P(a)=a^{2}, \beta=0$ уравнение (4.34) переходит в интегрируемый случай работы [52].

Замечание. Формулировки теорем 1 и 2 можно несколько расширить, рассматривая вместо операторов (4.3) и (4.31) соответственно операторы вида
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{L}=a \mathrm{G}+\lambda d_{1} \mathrm{H}, \mathrm{A}=\mathrm{A}_{1}=b+\lambda d_{2} \mathrm{HG}^{-1}, \\
\mathrm{~A}=\mathrm{A}_{2}=\lambda^{-1} b \mathrm{GH}^{-1}+\beta,
\end{array}
\]

где $d_{1}$ – постоянный элемент алгебры $\mathfrak{A}$ Однако такое расширение во многих случаях приводит к дифференциальным уравнениям, эквивалентным случаю $d_{1}=1$.