I. Рассмотрим в алгебре матриц $\operatorname{gl}(n, \mathbb{R})$ или $\mathrm{gl}(n, \mathbb{C}$ ) дифференциальное уравнение второго порядка
\[
\ddot{a}=[\dot{a}, a] .
\]

Очевидно, собственные числа матрицы $\dot{a}$ или функции $I_{k}=\operatorname{Tr}(\dot{a})^{k}$ являются первыми интегралами уравнения (7.1). В силу (5.1) имеем
\[
\left(\operatorname{Tr} a^{2}\right)^{\bullet}=2 \operatorname{Tr}\left(\ddot{a} \ddot{a}+\dot{a}^{2}\right)=2 \operatorname{Tr}\left(\dot{a}^{2}\right)=\text { const. }
\]

Поэтому справедливо равенство
\[
\operatorname{Tr} a^{2}(t)=\operatorname{Tr}\left(\dot{a}^{2}\right) t^{2}+c_{1}(a) t+c_{2}(a),
\]

где $T\left(\dot{a}^{2}\right), c_{1}(a)$ п $c_{2}(a)$ – первые интегралы уравнения (7.1).

Покажем, что уравнение (7.1) имеет большое количество других первых интегралов. Пусть $P(\dot{a},[\dot{a}, a])$ произвольный многочлен от некоммутирующих образующих $\dot{a}$ и $[\dot{a}, a]$, например
\[
P(\dot{a},[\dot{a}, a])=\lambda_{0} \dot{a}+\lambda_{1}[\dot{a}, a]+\lambda_{2} \dot{a}[\dot{a}, a]+\lambda_{3}[\dot{a}, a]^{2} .
\]

Утверждение 1. B силу уравнения (7.1) справедливо уравнение
\[
P(\dot{a},[\dot{a}, a])^{\cdot}=[P(\dot{a},[\dot{a}, a]), a] .
\]

Собственные числа матрицы $P(\dot{a}[\dot{a}, a])$ являются первыми интегралами уравнения (7.1).

Доказательство. Уравнение (7.1) после дифференцирования по $t$ принимает вид $\ddot{a}=[\ddot{a}, a]$. Подставляя сюда в силу (7.1) $\ddot{a}=[\dot{a}, a]$, находим
\[
[\dot{a}, a]=[[\dot{a}, a], a] .
\]

Из двух уравнений
\[
\ddot{b}=[b, a], \quad \dot{c}=[c, a]
\]

следует уравнение
\[
(b c)^{*}=[b c, a],
\]

также имеющее вид (7.6). Поэтому если $P(b, c)$-любой многочлен от матриц $b$ и $c$, то в силу уравнений (7.6) получаем
\[
P(b, c)^{\cdot}=[P(b, c), a] .
\]

Уравления (7.1) и (7.5) имеют вид (7.6). Поэтому в силу (7.8) справедливо уравнение изоспектральной деформации (7.4). Следовательно, собственные числа матрицы $P(\dot{a},[\dot{a}, a])$ являются первыми интегралами уравнения (7.1). Утверждение 1 доказано.

Уравнение (7.4) с функциями $P(\dot{a},[\dot{a}, a])$ вида (7.3) является представлением Лакса с произвольным числом спектральных параметров $\lambda_{0}, \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ для уравнения (7.1). Как известно, с уравнением Лакса, зависящим от одного спектрального параметра $\lambda$, связано семейство римановых поверхностей, заданных уравнением
\[
\operatorname{det}(\mathrm{L}(\lambda)-\mu \cdot 1)=0 .
\]

Уравнение (7.1) в силу представления (7.4) оказывается связанным с алгебраическими многообразиями произвольной размерности, определенными уравнением
\[
\operatorname{det}\left(P\left(\dot{a},[\dot{a}, a], \lambda_{0}, \ldots, \lambda_{n}\right)-\mu \cdot 1\right)=0 .
\]

Все коэффициенты уравнения (7.10) являются первыми интегралами уравнения (7.1).
II. Предположим, что матрица $a(t, x)$ зависит от двух переменных $t$ и $x$ и удовлетворяет уравнению
\[
a_{x t}=\left[a_{x}, a\right] \text {. }
\]

Дифферешируя уравнешие (7.11) по $x$, приходим к уравнению
\[
a_{x x i}=\left[a_{x x}, a\right] .
\]

Уравнения (7.11), (7.12) имеют вид (7.6). Поэтому из них также следуют уравнения вида (7.8). Тем самым доказано следующее утверждение.

Утверждение 2. B cuлу уравнения (5.11) cnраведливо уравнение
\[
P\left(a_{x}, a_{x x}\right)^{\cdot}=\left[P\left(a_{x}, a_{x x}\right), a\right],
\]

где $P\left(a_{x}, a_{x x}\right)$ – произвольный многочлен от матриц $a_{x}, a_{x x}$. Функции $\operatorname{Tr}\left(P^{k}\left(a_{x}, a_{x x}\right)\right)$, где $k=1,2, \ldots$, не зависят от времени и являются поточечными первыми интегралами уравнения (7.11).

С уравнением (7.11) связано зависящее от параметра $x$ семейство алгебраических многообразий произвольной размерности, заданшы уравнением
\[
\operatorname{det}\left(P\left(a_{x}, a_{x x}, \lambda_{0}, \ldots, \lambda_{n}\right)-\mu \cdot 1\right)=0 .
\]

Все коэффициенты уравнения (7.14) в силу уравнения Јакса (7.13) не зависят от времени $t$ и являются поточечными первыми интегралами уравнения (7.11).
Уравнение (7.11) для матриц $a$ размера $2 \times 2$ вида
\[
a=\left(\begin{array}{cc}
r & p \\
q & -r
\end{array}\right)
\]

эквивалентно системе уравнений
\[
r_{x t}=p_{x} q-p q_{x}, \quad p_{x t}=2\left(p r_{x}-p_{x} r\right), \quad q_{x t}=2\left(q_{x} r-q r_{x}\right) .
\]

Эта система имеет поточечные первые интегралы следующего вида:
\[
\frac{1}{2} \operatorname{Tr} a_{x}^{2}=p_{x} q_{x}+r_{x}^{2}=C_{1}(x), \quad \frac{1}{2} \operatorname{Tr} a_{x x}^{2}=p_{x x} q_{x x}+r_{x x}^{2}=C_{2}(x) .
\]
III. Покажем, что дифференциальное уравнение
\[
\ddot{a}=[\dot{a}, a+c]+[[c, a], a],
\]

где $c$ – постоянная матрица, так же как и уравнение (7.1), допускает представление Лакса с произвольным числом спектральных параметров. Уравнение (7.15) представляется в виде
\[
\left(\mathrm{D}_{1} a\right)_{t}=\left[\mathrm{D}_{1} a, a\right], \quad \mathrm{D}_{1} a=a_{t}+[c, a],
\]

где $\mathrm{D}_{1}$ – оператор дифференцирования
\[
\mathrm{D}_{1}=\frac{\partial}{\partial t}+a d_{c} .
\]

Из уравнения (7.16) после применения оператора $\mathrm{D}_{1}$ получаем уравнепие
\[
\left(\mathrm{D}_{1}^{2} a\right)_{t}=\left[\mathrm{D}_{1}^{2} a, a\right], \quad \mathrm{D}_{1}^{2} a=\ddot{a}+2[c, \dot{a}]+[c,[c, a]] .
\]

Уравнения (7.16) и (7.18) имеют вид (7.6). Поэтому в силу (7.8) произвольный многочлен $P\left(\mathrm{D}_{1} a, \mathrm{D}_{1}^{2} a\right)$ удовлетворяет уравнению
\[
P\left(\mathrm{D}_{1} a, \mathrm{D}_{1}^{2} a\right)^{\cdot}=\left[P\left(\mathrm{D}_{1} a, \mathrm{D}_{1}^{2} a\right), a\right] .
\]

Это уравпение и является представлением Лакса с пропзвольным числом спектральных параметров – коэффициентов многочлена $P\left(\mathrm{D}_{1} a, \mathrm{D}_{1}^{2} a\right)$. Уравнение (7.16) было впервые указано в работе [16].
IV. Уравнение в частных производных
\[
a_{x t}=\left[a_{x}, a\right]+\left[a_{t}, c\right]+[[c, a], a]
\]

представляется в виде ( $c=$ const)
\[
\left(\mathrm{D}_{2} a\right)_{t}=\left[\mathrm{D}_{2} a, a\right], \quad \mathrm{D}_{2} a=a_{x}+[c, a],
\]

где $\mathrm{D}_{2}$ – оператор дифференцирования
\[
\mathrm{D}_{2}=\frac{\partial}{\partial x}+a d_{c} .
\]

Применяя к уравнению (7.21) оператор $\mathrm{D}_{2}$, получаем $\left(\mathrm{D}_{2}^{2} a\right)_{i}=\left[\mathrm{D}_{2}^{2} a, a\right], \quad \mathrm{D}_{2}^{2} a=a_{x x}+2\left[c, a_{x}\right]+[c[c, a]]$.
Из уравшений (7.21), (7.22) аналогично (7.19) следует, что для произвольного многочлена $P\left(\mathrm{D}_{2} a, \mathrm{D}_{2}^{2} a\right)$ функции
\[
I=\operatorname{Tr} P\left(\mathrm{D}_{2} a, \mathrm{D}_{2}^{2} a\right)
\]

являются поточечными первыми интегралами уравнепия (7.20).

Замечание. Уравнения (7.1), (7.11), (7.15) и (7.20) естественно обобщаются в произвольной алгебре Ли (). Уравнения (7.16) и (7.18) по-прежнему являются их следствиями. Уравнения вида (7.4), (7.13), (7.19) также справедливы, если многочлен $P\left(\mathrm{D} a, \mathrm{D}^{2} a\right)$ является произвольной суммой любого числа коммутаторов элементов $\mathrm{D} a, \mathrm{D}^{2} a$. Поэтому если $f(x)$ – любой инвариант алгебры Ли (E), т. е. функция, постоянная па орбитах присоединенного представления, то функции
\[
f\left(P\left(\mathrm{D} a, \mathrm{D}^{2} a\right)\right)
\]

являются первыми иитегралами уравнений (7.1), (7.11), (7.15), (7.20).
V. Пусть $c_{1}, \ldots, c_{n}$ – некоторые постоянпые матрицы, $\mathfrak{G}_{1}$ – IIX совместный аннулятор, т. е. множество матриц $x$ таких, что $\left[c_{k}, x\right]=0, k=1, \ldots, n$. Множество $\mathscr{B}_{1}$ является подалгеброй Ји в $\operatorname{gl}(n, \mathbb{R})$. Обозначим через $\varphi$ неко-
Утверждение 3. Матричное уравнение
\[
\dot{a}=[a, \varphi(a)]
\]

допускает представление Лакса с несколькими спектральными параметрами.
Доказательство. Введем обозначения
\[
b_{\lambda}=a+\lambda_{1} c_{1}+\ldots+\lambda_{n} c_{n}, \quad b_{k}=\left[c_{k}, a\right],
\]

где $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ – произвольные параметры. Из уравнения (7.23) в силу определения отображения $\varphi$ следуют уравнения
\[
\dot{b}_{\lambda}=\left[b_{\lambda}, \varphi(a)\right], \quad \dot{b}_{k}=\left[b_{k}, \varphi(a)\right] .
\]

Поэтому для произвольного многочлена $P\left(b_{\lambda}, b_{1}, \ldots, b_{n}\right)$ в силу (7.24) справедливо уравнение
\[
P\left(b_{\lambda}, b_{1}, \ldots, b_{n}\right)^{*}=\left[P\left(b_{\lambda}, b_{1}, \ldots, b_{n}\right), \varphi(a)\right] .
\]

Очевидно, уравнение (7.26) содержит произвольное число спектральных параметров. Собственные числа матрицы $P\left(b_{\lambda}, b_{1}, \ldots, b_{n}\right)$ являются первыми интегралами уравнения (7.23). Утверждение 3 доказано.

Утверждение 3 без изменения переносится в произвольную алгебру Ли.

Пусть $h: \mathbb{S} \rightarrow \mathbb{S}$ произвольный гомоморфизм алгебры Ли $\mathfrak{G}$ в себя, $\mathfrak{G}_{h}$ – неподвижная подалгебра: $h(x)=x$, $x \in \mathscr{G}_{h}$. Обозначим через $\psi$ произвольное отображение алгебры Ли $\mathscr{S}^{\circ} \mathbb{G}_{h}$.
Покажем, что матричное уравнение
\[
\dot{a}=[a, \psi(a)]
\]

допускает представление Лакса с несколькими спектральными параметрами.

Действительно, из уравнения (7.27) следуют уравнения ( $k=1,2, \ldots$ )
\[
h^{k}(a)^{v}=\left[h^{k}(a), \psi(a)\right] .
\]

Пусть $P\left(a, h(a), \ldots, h^{n}(a)\right)$ – произвольная сумма коммутаторов любото числа элементов $a, h(a), \ldots, h^{n}(a)$. Из уравнений (7.28) следуют уравнения
\[
P\left(a, h(a), \ldots, h^{n}(a)\right)^{\cdot}=\left[P\left(a, h(a), \ldots, h^{n}(a)\right), \psi(a)\right] .
\]

Уравнения (7.29), очевидно, содержат произвольное число спектральных параметров.